培优专题 一次函数的性质(知识盘点+11题型+3易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(沪教版)

培优专题 一次函数的性质 一次函数的性质 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线 y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（    ） A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．函数图象必经过点 D．与轴交于点 判断一次函数的增减性 例1下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】在下列叙述中，正确的个数有（   ） ①正比例函数的图象经过二、四象限； ②一次函数中，y随x的增大而增大； ③函数中，当时，函数值为； ④一次函数图象与x轴交点为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】一次函数（）的图象经过点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式1-3】已知，一次函数（m为常数，且）．当变化时，下列结论正确的有 （把正确的序号填上）．①当时，图像经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③点肯定在函数图像上；④当时，一次函数变为正比例函数． 根据一次函数增减性求参数 例2已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【变式2-2】若函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，则 ． 【变式2-3】当时，函数的值恒大于0，则实数k的取值范围是 ． 根据-次函数的增 减性判断自变量的变化情况 例3取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【变式3-3】已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将 ． 比较一次函数值的大小 例4若点，，在一次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-1】关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 【变式4-2】如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【变式4-3】已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 一次函数的规律探究问题 例5如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】 如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 求一次函数解析式 例6以 ， 为端点的线段的垂直平分线的方程为 （   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 【变式6-3】小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 正比例函数的性质 例7下列说法正确的个数是（    ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-1】关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【变式7-3】已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3． （1）求点A坐标及此正比例函数解析式； （2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由． 一次函数与反比例函数图象综合判断 例8已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【变式8-1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式8-2】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是 一次函数与反比例函数的交点问题 例9如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是 ． 【变式9-1】如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 【变式9-2】已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【变式9-3】问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 一次函数与反比例函数的实际应用 例10某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【变式10-1】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：35）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的(    ) A．7：05 B．7：15 C．7：30 D．7：35 【变式10-2】已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 【变式10-3】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 一次函数与反比例函数的其他综合应用 例11若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（   ）    ①；②；③直线与轴的交点坐标为； ④的值随．的增大而增大． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【变式11-2】已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．    (1)求点A、B坐标． (2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求． 【变式11-4】如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为． (1)①直线的解析式为__________；     ②反比例函数的解析式__________． (2)根据图象写出：当x满足__________时，． (3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【例1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【例2】已知一次函数，当时，对应的的取值范围是，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．或 【例3】定义运算“※”为a※b＝，如1※（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，则函数y＝2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【防错警示】 一次函数y=kx+b中变量间的变化规律与常量的符号关系比较密切,常量k,b的符号类型情况复杂,解题时稍不留意,就会出现错解,出现错误大致可分为不注意函数定义中的限制条件,不对条件指向不明的题进行分类讨论、不重视变量的范围等.. 1.先画图再填空： 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)y的值随x的增大而______； (2)图象与x轴的交点坐标是______；与y轴的交点坐标是______； (3)当x______时，； (4)求函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 2.一次函数（为常数，且） (1)若点在此函数的图像上，求这个函数的解析式． (2)当时，函数最大值为2，求出的值． 3.已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 4.当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 5. 正方形，，… 按如图的方式放置， 点，，， … 和点 ，，，分别在直线和轴上， 则点的坐标 ．    6.如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ． (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出当不等式 成立时， 的取值范围． 7.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 9.已知：一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．    (1)求与的值； (2)设一次函数的图像与轴交于点，为轴上一点，连接，若为等腰三角形，求的坐标． 10.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)过点作轴于点，连接，求四边形的面积； (3)根据图像直接写出使成立的的取值范围． 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一次函数的性质 一次函数的性质 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线 y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（    ） A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．函数图象必经过点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质即可判断A、B；求出当时的函数值即可判断C、D． 【详解】解：∵直线解析式为，，， ∴直线经过第一、二、四选项，y随x增大而减小，故A、B不符合题意； 当时，，即函数经过点，故C符合题意； 当时，，即直线与轴交于点，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数与y轴的交点，熟知一次函数的相关知识是是解题的关键． 判断一次函数的增减性 例1下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得． 【详解】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意； B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意； C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意； D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】在下列叙述中，正确的个数有（   ） ①正比例函数的图象经过二、四象限； ②一次函数中，y随x的增大而增大； ③函数中，当时，函数值为； ④一次函数图象与x轴交点为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据中，可知函数图象经过第一、三象限；②根据中，可知y随x的增大而增大；③当时， ；④中，当时，，可知一次函数与x轴交点为，正确的叙述有3个． 【详解】解：①∵正比例函数中，， ∴有该函数图象经过第一、三象限， 故错误； ②∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， 故正确； ③∵时， ∴中，， 故正确； ④∵一次函数中，时， ， ∴一次函数图象与x轴交点为， 故正确． ∴综上所述：正确的叙述是3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握由一次函数的图象特征判定函数性质，由解析式的系数特征判定函数图象特征，点和图象位置关系的判定，是解题的关键． 【变式1-2】一次函数（）的图象经过点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一次函数的性质求不等式的解集，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据得到y随着x的增大而减小，再由图象经过点即可求出答案． 【详解】解：∵一次函数（）， ∴y随着x的增大而减小， ∵一次函数（）的图象经过点， ∴当时，， 故答案为：． 【变式1-3】已知，一次函数（m为常数，且）．当变化时，下列结论正确的有 （把正确的序号填上）．①当时，图像经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③点肯定在函数图像上；④当时，一次函数变为正比例函数． 【答案】①③/③① 【分析】根据一次函数的解析式，性质，图像过点的意义等计算判断填空即可． 【详解】当时，， 所以图像经过一、三、四象限； 所以①正确； 当时，y随x的增大而减小； 所以②错误； 当时，， 所以点肯定在函数图像上； 所以③正确； 当时，不是正比例函数， 所以④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，增减性，图像过点，熟练掌握图像分布，性质是解题的关键． 根据一次函数增减性求参数 例2已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与y轴正半轴相交且y随x的增大而减小，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，结合k为整数可确定一次函数的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出当时x的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图像与y轴正半轴相交，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∵k为整数， ∴k＝－2， ∴一次函数的解析式为y＝−3x＋1， 当y＝－5时，即−3x＋1＝－5， 解得：x＝2； 当y＝4时，即−3x＋1＝4， 解得：x＝−1， ∴当时，x的取值范围为−1＜x＜2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的性质以及解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 【变式2-1】已知一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，解不等式即可． 【详解】 的函数值y随x的值增大而增大， 解得． 故答案为：． 【变式2-2】若函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，则 ． 【答案】1 【分析】 本题考查了一次函数的定义和增减性，解一元二次方程，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，反之，y随x的增大而减小．先根据一次函数的定义，得出，求出m的值，再根据增减性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：， ∵y随着x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【变式2-3】当时，函数的值恒大于0，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数的图象是一条直线可知要使函数的值恒大于0，则需要两个端点值都大于0；再验证当y是常函数，即当时是否满足题意即可． 【详解】解：∵当时，函数的值恒大于0， ∴当和时，的值都大于0， 当时，， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴实数k的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像是一条直线是解题的关键． 根据-次函数的增 减性判断自变量的变化情况 例3取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选：C 【变式3-1】我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将，两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题． 【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得， ， 两式相减得， ， 所以， 因为， 所以， 则， 所以， 则． 故选：A． 【变式3-2】已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 【变式3-3】已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将 ． 【答案】增加 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量的变化，先利用待定系数法求出一次函数解析式为，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：把、代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， ∴， ∴当y的值增加1时，x的值将增加， 故答案为：增加． 比较一次函数值的大小 例4若点，，在一次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵、在一次函数图象上，且， ∴， 故选：． 【变式4-1】关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意； 、把代入得，， ∴， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意； 、将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小， 若，则，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式4-2】如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 【变式4-3】已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 一次函数的规律探究问题 例5如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，点坐标规律的探索；利用等腰直角三角形的性质求得，是解题的关键． 利用直线上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得，，由此归纳总结即可求得的坐标． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵ 是等 腰 直 角 三 角 形， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形． ∴ ∴． 同理可得， ∴点的坐标是． 故选 A． 【变式5-1】 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 【变式5-2】 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 【变式5-3】 如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律题，结合等边三角形的性质和一次函数的图象和性质求解是解题的关键． 根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 把代入得∶， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 同理， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 求一次函数解析式 例6以 ， 为端点的线段的垂直平分线的方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解题的关键是得出的线段的垂直平分线是． 先求出中点，得出的线段的垂直平分线是，再根据待定系数法求解即可； 【详解】解：如图，设中点为， ，， ∴，， ， ∵， 则点在的线段的垂直平分线上，故的线段的垂直平分线是， ∴设直线的垂直平分线的方程为， 则， 解得：， ∴的垂直平分线的方程为， 即：， 故选：C． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， 设点E的坐标为，则，， 在中，，， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中， 得，解得：， ∴所在直线的解析式为． 故选C． 【变式6-2】将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据平移不改变的值，可设平移之后的直线的解析式为：，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设平移之后的直线的解析式为：， 将代入直线解析式得：， ∴平移后的直线的表达式是， 故答案为：． 【变式6-3】小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 【答案】(1) (2)个月 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为，当时，，解得，即可求出答案； （3）当时，，当时，，设这个降低的百分率为，根据题意得到一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， （2）当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 正比例函数的性质 例7下列说法正确的个数是（    ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查正比例函数的性质，函数的概念、变量成反比例．根据函数的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①是的函数，正确； ②等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高的乘积为定值，故它的底边和底边上的高成反比例，原说法错误； ③已知，则，故直线经过第一、三象限，原说法错误， ∴正确的只有①， 故选：B． 【变式7-1】关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律．根据题意，先找到点所在的象限，然后再根据第三象限的点的变化，找出第三象限的点的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，， ∵点在4条射线上运动，， ∴点在第四象限， ∵，，， ∴第四象限的点的规律为：， ∴． 故答案为：． 【变式7-3】已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3． （1）求点A坐标及此正比例函数解析式； （2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）A（3，-2），y＝-x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0） 【分析】（1）结合题意，得；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案； （2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）如图， ∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3 ∴ ∵△AOH的面积为3 ∴ ∴AH＝2 ∵点A在第四象限 ∴A（3，-2）， 把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2 解得： ∴正比例函数解析式为y＝-x； （2）设P（t，0），即 ∵△AOP的面积为5 ∴ ∴t＝5或t＝-5 ∴能找到一点P使S△AOP＝5，P点坐标为（5，0）或（-5，0）． 【点睛】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解． 一次函数与反比例函数图象综合判断 例8已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴双曲线在第二、四象限， ∴函数的图象经过第一、三象限， 故选：A． 【变式8-1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意； 、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式8-2】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质．解决本题的关键是根据图象所在的象限与比例系数之间的关系逐一分析即可得到正确选项． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故A选项不符合； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故B选项不符合； C选项：一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴，一次函数的图象符合，反比例函数的图象在第二、四象限，也符合的情况，故C选项符合； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴，故D选项不符合； 故选：C． 【变式8-3】正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是 【答案】或 【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为 反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或． 故答案是或． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键． 一次函数与反比例函数的交点问题 例9如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点，反比例函数与面积，先求出，得到，反比例函数解析式为，再设，最后由列方程求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点， ∴设，反比例函数解析式为， ∵过点作轴，垂足为点， ∴， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为， ∴设， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 【变式9-1】 如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标是或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积． （1）设，过A作于H，等腰直角三角形的性质得到，求得，把代入得即可得到结论； （2）根据双曲线上一点D的纵坐标为8，得到，如图，过D作轴于G，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么的面积就应该是四边形面积的四分之一即3．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出的面积，由于的面积为3，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：设， 过A作于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入得，， ∴； （2）解：∵双曲线上一点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作轴于G， 则， ∴的面积=四边形的面积； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为且， 得， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴（舍去）， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 【变式9-2】已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是反比例函数、反比例函数与一次函数的交点的求法以及等腰三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、利用二元二次方程组求出反比例函数与一次函数的交点坐标是解题的关键； （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a的值，代入一次函数求出k; （2）根据坐标与图形的关系，证明得到答案; （2）分和两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ， 将代入一次函数的图像得， ， 解得：； （2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D， ， 解得，， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， 如图，作轴，轴， ，点A的坐标为， ，， 点C的坐标为 ，， 在和中， ， ， ． （3）点B的坐标为，点C的坐标为， ， 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点在点的右侧，时，点的坐标为； 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形． 【变式9-3】问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析；当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半 (4)两；见解析 (5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4 【分析】（1）根据矩形的周长公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （3）根据反比例函数图象和一次函数图象的画法画出函数图象，得出结果即可； （4）根据图象得出答案即可； （5）根据函数图象得出答案即可． 【详解】（1）解：先长方形的周长为：， 只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是：，定义域为； （2）解：新长方形的面积为： 只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是，它的定义域是； （3）解：列表： … 2 3 4 6 … … 5 4 3 1 … … 6 4 3 2 … 描点，连线，如图所示： 观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半． （4）解：这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽； （5）解：存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，反比例函数解析，画一次函数和反比例函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是数形结合． 一次函数与反比例函数的实际应用 例10某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 【变式10-1】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：35）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的(    ) A．7：05 B．7：15 C．7：30 D．7：35 【答案】AC 【分析】先求出两个函数的解析式；再求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；然后求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；最后结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论即可． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃， ∴从30℃到100℃需要7min， 设一次函数关系式为：， 将（0，30），（7，100）代入得：， 解得：， ∴，令y=50，解得x=2； 设反比例函数关系式为：， 将（7，100）代入y=得k=700， ∴y=， 将y=30代入y=，解得x=， ∴y=（7≤x≤），令y=50，解得x=14， ∴饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环周期内，在时间段0≤x≤2或水温不超过50℃， A.7：05至8：35之间有90min，90-×3=20（min），20位于14≤x≤时间段内，故A可行，符合题意； B.7：15至8：35之间有80min，80-×3=10，10不在0≤x≤2或14≤x≤时间段内，故B不可行，不符合题意； C.7：30至8：35之间有65min，65-×2=≈18.3，18.3位于14≤x≤时间段内，故C可行，符合题意； D.7：35至8：35之间有60min，60-×2=≈13.3，不在0≤x≤2或14≤x≤时间段内，故D不可行，不符合题意． 故选：AC． 【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题，解题的关键是读懂题意，求出一个循环周期所需要的时间，且每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段． 【变式10-2】已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）根据点的纵坐标是2，代入正比例函数解出y，将x，y代入反比例函数即可得到答案； （2）联立两个函数解方程即可得到答案； （3）设点C的坐标为根据点到坐标轴距离直接代入求解即可得到答案； （4）根据交点直接可得到答案． 【详解】（1）解：当 ，， 将，代入反比例函数得， ， 解得； （2）由（1）得， ， 联立正比例函数与反比例函数可得， ， 解得：或， ∴； （3）解：设点C的坐标为，由题意可得， ， 解得：或， 当时， ， 当时，， ∴点C的坐标为：或； （4）解：由题意可得， ，在及上都是随x增大而减小， 随x增大而增大， ∴，函数大于反比例函数． 【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数图像共存问题，解题的关键是先利用一个交点求出反比例函数的解析式，再根据交点判断不等式的解． 【变式10-3】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 一次函数与反比例函数的其他综合应用 例11若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（   ）    ①；②；③直线与轴的交点坐标为； ④的值随．的增大而增大． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，根据题意图形即可判断①正确，根据证明，先求得直线的函数表达式为，进而即可判断③，分，两种情形讨论，即可求解． 【详解】提示：①点P，Q都在第一象限， ，①正确； ①， ②正确； ③设直线的函数表达式为,则， 解得 ∴直线的函数表达式为， 当时， 直线与轴的交点坐标为，③正确； ④直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 当时，的值随的增大而减小， 当时，的值随的增大而增大， ④错误． 故选：D． 【变式11-2】已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．    (1)求点A、B坐标． (2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合运用． （1）由反比例函数关系式求出点A，再由点A平移得到点B的坐标，将点B代入反比例函数表达式即可求解； （2）根据反比例函数图象与性质可得点B与点C关于原点对称，从而得到点C的坐标，由A、C的坐标，运用待定系数法即可求得直线的解析式，进而得到直线与y轴的交点D的坐标，作轴，轴，再由即可求解． 【详解】（1）∵点在反比例函数上的图像上， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， ∵点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B， ∴点B的坐标为， ∵恰好落在反比例函数的图像上， ∴， 解得 ∴点B的坐标为． （2）由反比例函数性质可得点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得 ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， 过点作轴于点E，过点作轴于点F， ∵，，，，    ∴ ． 【变式11-4】如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为． (1)①直线的解析式为__________；     ②反比例函数的解析式__________． (2)根据图象写出：当x满足__________时，． (3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①② (2)或 (3)E的坐标为或 【分析】（1）①把，分别代入解析式，再利用待定系数法求解即可．②把代入解析式，确定A的坐标，再代入求解即可． （2）直接利用函数图象解题即可； （3）设，则，根据题意，得到，计算即可． 【详解】（1）解：①把，分别代入解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为． ②∵点A的坐标为，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （2）解：∵，， 由图象可得：当x满足或时， （3）解：∵直线的解析式为． 当时，则， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴E的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段坐标的转化，三角形面积的分割法表示，利用函数图象解不等式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【例1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴． 解得． 观察各选项，只有D选项的数字符合 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【例2】已知一次函数，当时，对应的的取值范围是，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据题意知，一次函数经过两点或两点，所以这两点满足，将这两点代入，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意知，①当两点满足一次函数时， ， 解得，； ∴； ②当两点满足一次函数时， ， 解得，， ∴， 综上，的值为1或9． 故选：C． 【例3】定义运算“※”为a※b＝，如1※（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，则函数y＝2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得y=2※x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象． 【详解】解：y＝2※x＝， x＞0时，图象是y＝﹣2x的正比例函数中在第三象限的部分； x≤0时，图象是y＝2x的正比例函数中y轴右侧的部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，利用定义运算“※”为：a※b=，得出分段函数是解题关键． 【防错警示】 一次函数y=kx+b中变量间的变化规律与常量的符号关系比较密切,常量k,b的符号类型情况复杂,解题时稍不留意,就会出现错解,出现错误大致可分为不注意函数定义中的限制条件,不对条件指向不明的题进行分类讨论、不重视变量的范围等.. 1.先画图再填空： 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)y的值随x的增大而______； (2)图象与x轴的交点坐标是______；与y轴的交点坐标是______； (3)当x______时，； (4)求函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析，减小 (2)， (3) (4) 【分析】（1）分别求时x的值、时y的值即可画出函数图象，根据一次项的图象判断增减性即可； （2）由（1）即可解答； （3）根据图象在x轴上方的部分对应的x的值解答即可； （4）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：令，则，故函数图象与x轴的交点坐标为， 令，则，故函数图象与y轴的交点坐标为， 画图如下： 从图象可以看出随的增大而减小； 故答案为：减小； （2）解：图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是； 故答案为：，； （3）解：由图象可知：当时，； 故答案为：； （4）解：函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是． 【点睛】此题考查了一次函数中的综合知识，涉及作图、增减性、交点坐标、与不等式的关系及与坐标轴围成的图形的面积，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2.一次函数（为常数，且） (1)若点在此函数的图像上，求这个函数的解析式． (2)当时，函数最大值为2，求出的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式； （2）分两种情况讨论：当时，随的增大而增大，则当时，有最大值2，将代入函数关系式即可求得的值；当时，随的增大而减小，则当时，有最大值2，将代入函数关系式即可求得的值； 【详解】（1）∵一次函数，点在此函数的图像上， ∴将代入得，， ∴， ∴ ∴一次函数的解析式为：． （2）①当时，随的增大而增大，则当时，有最大值2， ∴， ∴， ②当时，随的增大而减小，则当时，有最大值2， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3.已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解； （3）分别求得当和时，的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，， ∴； （3）解：对于， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时， ∴． 4.当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 5. 正方形，，… 按如图的方式放置， 点，，， … 和点 ，，，分别在直线和轴上， 则点的坐标 ．    【答案】 【分析】本题是一次函数的规律题，得到点的坐标是解题的关键解． 根据题意确定一次函数上点点，，，，…的坐标，进而得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：四边形，，都是正方形， ，，. 直线，当时，， ， ， ， 点与点的横坐标相等，均为， 点的纵坐标为，即点， ， ， ， 点与点的横坐标相等，均为， 点的纵坐标为，即点， 通过推理不难得到： 的纵坐标是：，的横坐标是：， 的纵坐标是：，的横坐标是：， 的纵坐标是：，的横坐标是：， 的纵坐标是：，的横坐标是：， 据此可以得到的纵坐标是：，横坐标是：， 即点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：． 6.如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ． (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出当不等式 成立时， 的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质与正比例函数图象和性质等知识点， （1）待定系数法求出正比例函数与反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可； 熟练掌握反比例函数的对称性质是关键． 【详解】（1）将点坐标分别代入和得： ， ∴正比例函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）根据反比例函数对称性可知点B坐标为， ∵不等式成立时，即一次函数的图象要位于反比例函数图象上方， ∴由图象可知，x的取值范围为：或． 7.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据点在正比例函数的图像上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）利用基本作图作的垂直平分线即可； （3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图1，直线即为所求． （3）解：如图，过点A作轴于点E，连接，设点． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵点， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴点， ∴． 【点睛】本题考查作图-基本作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，待定系数法求反比例函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理等知识点．熟练掌握种基本作图是解题的关键． 8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 9.已知：一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．    (1)求与的值； (2)设一次函数的图像与轴交于点，为轴上一点，连接，若为等腰三角形，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，等腰三角形的定义； （1）将点代入反比例函数解析式可得，进而将代入得，得出； （2）先求点的坐标，勾股定理求得的长度，进而分三种情况讨论，结合坐标系，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例数的图象上， ∴， ∴， ∴ 将代入得， 解得： （2）解：由（1）可得 当时，， ∵一次函数的图像与轴交于点B， ∴， ∴，    如图所示，设， 当时，点的坐标为或 当时， ， ， ， 解得：； 当时， ， 综上所述满足条件的点C坐标为或或或． 10.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)过点作轴于点，连接，求四边形的面积； (3)根据图像直接写出使成立的的取值范围． 【答案】(1)， (2)5 (3)或 【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点的坐标代入反比例函数解析式，求出值，再将点代入反比例函数解析式求出n值，然后将点坐标代入一次函数解析数即可． （2）四边形的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积． （3）结合图像确定的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入中， 得，解得， 故； 将点代入，可得， 将，代入， 得，解得， 故； （2）如图所示，    对于一次函数， 令，则，即 令，则，即， ∴，， ∵，轴， ∴，， 设的高为，由可知， ； （3）结合图像可知，当时， 的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形放在大三角形中求解面积． 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$