特训01 一次函数解答压轴题（十三大题型,上海精选+其他补充）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训01 一次函数解答压轴题（十三大题型） 目录： 题型1：角度问题 题型2：面积问题 题型3：存在性问题—全等三角形 题型4：存在性问题—等腰三角形 题型5：存在性问题—综合 题型6：一次函数与反比例函数 题型7：根据几何关系在平面直角坐标系中列函数解析式 题型8：根据平行关系求点的坐标 题型9：平移问题 题型10：翻折问题 题型11：旋转问题 题型12：对称问题 题型13：一次函数的综合应用 题型1：角度问题 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，点是轴上一动点． (1)求直线的解析式； (2)连结、．若，求点的坐标； (3)连结、交线段于点，且．求的面积． 题型2：面积问题 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 4．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）. (1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合） ①当m=2,n=3时，求△POA的面积. ②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域. （2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）. 题型3：存在性问题—全等三角形 6．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4：存在性问题—等腰三角形 7．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 8．（20-21八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的长： (3)若是等腰三角形，写出点F的坐标． 题型5：存在性问题—综合 9．（20-21八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上． (1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标； (2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标； (3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由． 题型6：一次函数与反比例函数 11．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．    (1)求点的坐标； (2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； (3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 12．（20-21八年级下·上海·期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型7：根据几何关系在平面直角坐标系中列函数解析式 13．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 14．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 15．（2022八年级下·上海·专题练习）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． (4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 题型8：根据平行关系求点的坐标 16．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； (3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 题型9：平移问题 17．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 18．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，， (1)求直线的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 题型10：翻折问题 19．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11：旋转问题 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 题型12：对称问题 21．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 题型13：一次函数的综合应用 22．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 23．（21-22八年级下·上海·期中）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）． (1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积； (2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值； (3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 一次函数解答压轴题（十三大题型） 目录： 题型1：角度问题 题型2：面积问题 题型3：存在性问题—全等三角形 题型4：存在性问题—等腰三角形 题型5：存在性问题—综合 题型6：一次函数与反比例函数 题型7：根据几何关系在平面直角坐标系中列函数解析式 题型8：根据平行关系求点的坐标 题型9：平移问题 题型10：翻折问题 题型11：旋转问题 题型12：对称问题 题型13：一次函数的综合应用 题型1：角度问题 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【解析】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，点是轴上一动点． (1)求直线的解析式； (2)连结、．若，求点的坐标； (3)连结、交线段于点，且．求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）过点作轴交于，证明，求出，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，由，可设直线的解析式为，将点代入求解即可； （3）作点关于直线的对称点，连接与轴交于，与线段交于，设，，由勾股定理得，①，②，联立①②可得，，即可求，再求三角形的面积即可． 【解析】（1）如图1，过点作轴交于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）设直线的解析式为， ， 解得， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， ， 当时，则有， 解得：， ，； （3）如图2，作点关于直线的对称点，连接与轴交于，与线段交于， 由对称性可知，， ，， ，， 设，， ①，②， 联立①②可得，（不合题意的值已舍去）， ， ， ． 题型2：面积问题 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）对于，分别令和，求出y值和x值，即得出答案； （2）结合（1）可求出，由题意可知或．设，直线的解析式为，即得出．分类讨论：当时和当时，分别列方程求出t的值，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意结合（2）可知直线的解析式为．过点作x轴垂线，交直线于点C．设，则，即可求出，再根据三角形面积公式可求出，可求得，再分别求出即可． 【解析】（1）解：对于，令，则， ∴； 令，则， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ∵过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分， ∴或． 设，直线的解析式为， ∴． 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为； 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为． 综上可知直线的表达式为或； （3）解：∵， ∴由（2）可知，即此时直线的解析式为． 如图，过点作x轴垂线，交直线于点C． 设，则， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． 当时，，即； 当时，，即． 综上可知点P的坐标为或． 4．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【解析】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； （2）解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 5．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）. (1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合） ①当m=2,n=3时，求△POA的面积. ②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域. （2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）. 【答案】（1）6；（2）S=3m，0<m<4；（3）y=3x或y= -3x 【分析】（1）根据点坐标可得△POA的底和高，根据三角形面积公式计算；（2）根据点坐标可得△POB的底和高，根据三角形面积公式列出S与m的解析式；（3）分别讨论当P在第二、第一、第四象限内，根据题意列出等式求P点坐标，确定直线OP解析式. 【解析】解：（1）如图，过P作PM⊥x轴，垂足为M， ∵A（4,0），P（2,3）， ∴S△POA==. （2）如图，过P作PN⊥y轴，垂足为N， ∵B（0,6），P（m,n）， ∴S ==. ∵P在线段AB上（不与点A、B重合） ∴0<m<4 ∴S关于m的函数解析式为S=3m，0<m<4. （3）如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（4,0），B（0,6）代入， ， 解得， ， ∴直线AB的解析式为 ， ∴P（m, ）. ∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP ①当m≤0，即点P在第二象限时， 根据题意得， 解得，m= -4， ∴P（-4,12）， 设直线OP解析式为y=ax，将P点代入， -4a=12, 解得，a= -3， ∴直线OP解析式为y= -3x； ②当0<m≤4，即点P在第一象限时， 根据题意得， 解得，m= ， ∴P（,4）， 设直线OP解析式为y=ax，将P点代入， a=4, 解得，a= 3， ∴直线OP解析式为y= 3x； ③当m>4，即点P在第四象限时， 根据题意得， 解得，m= -4（不符合题意，舍去） . 综上所述，直线OP的解析式为：y=3x或y= -3x 【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，利用数形结合的思想，按照“表达式坐标线段长几何图形的性质及应用”的思路思考是解答此题的关键. 题型3：存在性问题—全等三角形 6．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标；，， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【解析】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 题型4：存在性问题—等腰三角形 7．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点坐标为或或或 【分析】（1）将点的坐标代入直线中，即可求出； （2）利用三角形的面积公式即可得出与之间函数关系式，并写出的取值范围； （3）利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论． 【解析】（1）解：直线经过点， ， ； （2）点，点， 的面积为 ， ， 直线与轴交于点， ， ； （3）点，点， 则 ，，， Ⅰ、当时，， 解得：或， 或； Ⅱ、当时，， 解得：， ； Ⅲ、当时，， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，能为等腰三角形，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 8．（20-21八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的长： (3)若是等腰三角形，写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或或或． 【分析】 （1）先求出B点的坐标，将A和B的坐标代入即可求出的解析式； （2）先求出的长，再通过，可求出的长； （3）当，，分别为等腰三角形的底边的时候进行分类讨论． 【解析】（1）解：∵点A坐标为，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设的解析式：， 将和分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式：． （2）解：如图，过点F作轴于点G，延长交x轴于P点， ∵直线沿直线翻折交y轴于点C， ∴，，， 在中，， ∴，（对顶角相等）， 同理（1）可得， ∴， ∴在中，，则，， ∴在中，，则，， 同理（1）可得，， ∴F点的横坐标为， ∵F在直线上， ∴把代入中，F点的纵坐标为， ∴， ∴． （3）解：①如图，当： 在（2）的情况下， ∴此时， ∴在（2）的点F，点A，点O组成的三角形为等腰三角形， ∴当时，， ②如图，当时： 过点F作于点H， 则， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴此时， ③如图，当时： 过点F作于点K， 可得，中，，， ∵，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴F点的横坐标为，， ∴此时， 点F在点A左侧，x轴下方时，点F的坐标为， 综上所述：满足条件的点F的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠、含角的直角三角形和等腰三角形，第三问的重难点在于分类讨论，属于中等题． 题型5：存在性问题—综合 9．（20-21八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)当为等腰三角形时，点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点坐标的计算方法可求出点的坐标，根据直角三角形中勾股定理可求出，由此可求出的度数； （2）如图所示，过点作于点，设，在中，根据含角的直角三角形的特点可求出的，根据列式求解即可； （3）根据等腰三角形的判定和性质，动点的运动规律，分类讨论：①，为等腰三角形；②如图所示，，是等腰三角形；③如图所示，，是等腰三角形；根据等腰三角形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，即可求解． 【解析】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∵， ∴在，，即， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作于点，    ∵点在一次函数的图像上，设， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，，， ∴，， ∵，即是等腰三角形，且， ∴点是中点， ∴，则，且， ∴，则是等边三角形，即， ∵， ∴，整理得， ∴，， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由（1）可知，，则， ∵点分别是射线上一动点，如图所示，    ①，为等腰三角形， 取的中点，则，过点作，交与点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则，即是等腰三角形， ∵是中位线，且，，， ∴，则， ∴根据（2）中的证明过程可得，是等边三角形， ∴， ∴点与原点重合，即； ②如图所示，，是等腰三角形，    ∴， ∴， ∴； ③如图所示，，是等腰三角形，过点作轴于点，作轴于点，    ∴，， ∴，且， 在中，，， ∴，， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴四边形是矩形，则，且是等边三角形，即， 在中，， ∴，则， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握一次函数图像的性质，勾股定理，几何图形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上． (1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标； (2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标； (3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)A（2，2）； (2)（2，2）或（10，﹣2）； (3)在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2） 【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可； （2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标； （3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可． 【解析】（1）如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上． ∵B（0，0），C（4，0）， ∴BC的中垂线为x＝2． 又点A在直线l：y＝﹣x+3上， ∴y＝﹣×2+3＝2， 即A（2，2）； （2）设A（a，b）．则依题意得 BC•|b|＝4，即×4|b|＝4， 解得|b|＝2 ∴b＝±2． ①当b＝2时，2＝﹣a+3， 解得 a＝2 则A（2，2）； ②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3， 解得 a＝10 则A（10，﹣2）． 综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）； （3）设点A的坐标为， B（0，0），C（4，0）， ，，， ∠BAC＝90°， ，即， 解得或， 所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解． 题型6：一次函数与反比例函数 11．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．    (1)求点的坐标； (2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； (3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 【答案】(1)点坐标为； (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，易证，根据全等三角形的性质可得点坐标； （2）设沿轴向右平移距离为，则，，根据点、都落在双曲线上，列方程求出的值，进一步可求出的值； （3）联立直线解析式与反比例函数解析式可得点和点坐标，根据可求出的面积． 【解析】（1）解：过点作轴于点，如图所示：    则， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ，， 点坐标为； （2）解：设沿轴向右平移距离为， 则，， 点、都落在双曲线上， ， 解得， 点， ； （3）解：联立， 解得或， 点坐标为，点坐标为， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积等，本题综合性较强，构造全等三角形是解题的关键． 12．（20-21八年级下·上海·期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式； （2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得； （3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标． 【解析】（1）过点分别作轴于，轴于，如图， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 设， 点在直线上， ， 解得， ， 反比例函数（）的图像经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； （2） , 把代入，解得， ， ， 在中，①， 在中，②， ①-②,得， （3）①若，，如图，连接， 在与中， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 把代入，得， ， ②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为， 在与， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， ③若，如图，过点作轴于，过作轴于， 在与中， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， 综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键． 题型7：根据几何关系在平面直角坐标系中列函数解析式 13．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)8 (3)， 【分析】（1）求出时的值，即可得解； （2）先求出点的坐标，进而求出，的长，勾股定理求出的长，等积法，求出的长，勾股定理求出的长，过点作于点，再用等积法求出的长，然后利用面积公式求出的面积即可． （3）同法（2），利用等积法求出函数解析式即可，根据点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），确定定义域即可． 【解析】（1）解：∵一次函数的图像与坐标轴交于A、B点， 当时，，解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 过点作于点， 则：，即：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴； ∵点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出点的坐标，利用等积法和勾股定理求线段的长． 14．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【解析】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 15．（2022八年级下·上海·专题练习）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． (4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)B（8，0） (2)y=﹣2x+6 (3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8 (4)y=（0＜x＜8） 【分析】（1）对于一次函数，令和求出对应的与的值，确定出 及的长，即可确定出的坐标； （2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出的长，过作垂直于，由为角平分线，利用角平分线定理得到，利用可得出直角三角形与直角三角形全等，可得出，设，由表示出，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，得出的坐标，即可求得直线的解析式； （3）延长与轴交于点，利用得出△≌△，可得出，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，过作垂直于轴于点，利用三线合一得到为的中点，求出的长，即为的横坐标，将求出的横坐标代入直线解析式中求出对应的纵坐标，即为的长，以为底，为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积； （4）在三角形中，设，再由的长，利用勾股定理表示出，再由表示出，由三角形的面积可以由为底，为高来求出，也可以由为底，为高来求出，两种方法表示出的面积相等列出关系式，整理后即可得到与的函数关系式，同时求出的范围即为函数的定义域． 【解析】（1）解：对于， 当时，；当时，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 则，； （2）解：过点作，垂足为（如图1所示）， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 设，则有，， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 则直线的表达式为； （3）解：延长交轴于点（如图2所示）， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即为的中点， 又为直角三角形， ， 为等腰三角形， 过点作，垂足为（如图2所示）， ，， ， 点的横坐标为， 设，将代入，得：， ， 则； （4）解：在中，，， 根据勾股定理得：， 又，（等积法）， ，又， 则． 【点睛】本题主要考查一次函数，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形面积的求法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高． 题型8：根据平行关系求点的坐标 16．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； (3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数图像与一次函数图像的交点问题、用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数图像上点的坐标特征，难度适中．求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）把点的横坐标代入反比例函数中，可以求出点的纵坐标，再把点的横纵坐标代入一次函数中，以此即可求解； （2）设点，则点，代入中可求出的值，以此即可求解． （3）根据待定系数法求出直线的解析式，再根据两直线平行以及经过点，再求出直线的解析式即可求解； 【解析】（1）解：∵横坐标为3的点在反比例函数的图像上， ， ∴点的坐标为， 将代入， 得， ， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点， ∵， 则点， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 解得：， ∵根据题意点在第一象限内， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）（2）知点的坐标为，点的坐标为，点， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， 故直线的解析式为， 令，则， 故点的坐标为． 题型9：平移问题 17．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【解析】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 18．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，， (1)求直线的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 或 或 或 【分析】（1）根据题意可得，再由，求出m的值，即可； （2）先求出，再由两点坐标公式分别求出的三边长，即可； （3）分若以点P为直角顶点时；若以点为直角顶点时；若以点为直角顶点时，即可求解． 【解析】（1）解：∵过点作平行于轴的直线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：对于直线：， 当时，，当时，， ∴， ∵点， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：设直线交x轴于点F，则点， ∴， 设平移后直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点， 如图，若以点P为直角顶点时，过点P作轴于点E，此时，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若以点P为直角顶点时，过点P作轴于点E，此时，，，， 同理此时点P的坐标为； 如图，若以点为直角顶点时，过点P作轴于点G，则， 同理， ∴，， ∴或0（舍去）， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 如图，若以点为直角顶点时，过点作轴于点M，则，， 同理， ∴，， ∴（舍去）； 如图，若以点为直角顶点时， 同理， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若以点为直角顶点时， 同理， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为 或 或 或 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 题型10：翻折问题 19．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)满足条件的点P的坐标为或或或． (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出点D的坐标，将点，点D，代入一次函数中求解，即可得到直线的函数表达式； （2）利用勾股定理算出，根据在x轴上求一点P使为等腰三角形，分以下三种情况讨论，①当时， ②当时，过点作轴于点，③当时，在的垂直平分线上，利用等腰三角形性质、勾股定理，对上述情况进行分析，即可解题． （3）记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为，由翻折的性质可得，，利用勾股定理算出，推出，再根据建立等式求解，即可解题． 【解析】（1）解：一次函数的图象过点D，且点D的横坐标为4， ， ， 一次函数的图象经过点，且与相交于点D， ，解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：． （2）解：当时，有，解得， ， ， 点P在x轴上， 为等腰三角形， 下面分情况讨论： ①当时，如图所示： ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ②当时，过点作轴于点，如图所示： 由（1）知，， ， ， 点的坐标为， ③当时，在的垂直平分线上， ，， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． （3）解：存在， 记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为， 由翻折的性质可知，，， 即， 点的坐标为， ， ， 解得， 点Q的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、坐标与图形、用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形性质、垂直平分线性质、勾股定理、翻折的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想对不同的情况进行分析． 题型11：旋转问题 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）①2，3；②；（2）的面积是定值，，理由见解析； （3）． 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【解析】解：（1）①若， 则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于， ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）如图4，过点作，交于，过点作轴于， 当时，设直线l函数关系式为， 对于直线，由得 ， 由得， ，， 由（1）得， ， ， 设直线为，则， 解得 直线为 由得， ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型12：对称问题 21．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）作轴，证，得， ，由点B、C即可求解． （2）①过点P作轴，由点B、C、D可得，由得，即可求，从而得点P坐标．②作，证得，由，，得点P坐标． （3）分两种情况讨论，当点在x轴正半轴，当点在x轴负半轴，当延长至点H，由折叠的性质可知，，由得，进而得点P坐标．或根据两点间距离公式求解即可． 【解析】（1） 作轴， ∴， 在和中， ∵，     ∴， ∴， ∵， ∴， 将B、C分别代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式． （2）①过点P作轴， 由点B、C、D可知， ∵， ∴， 由点B、D可得， ∵， ∴， ∴． ②作， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）①当点在x轴正半轴， 延长至点H， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标值为， ∴， ∴ ∴． ②当点在x轴负半轴， 同①可得， 设， 由题意得，即， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用、三角形的全等证明、勾股定理、角平分线的性质，掌握相关知识，根据题意正确画出辅助线是解题的关键． 题型13：一次函数的综合应用 22．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 23．（21-22八年级下·上海·期中）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）． (1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积； (2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值； (3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式． 【答案】(1)84 (2) (3) 【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解； （2）设，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入可得k的值； （3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而即可求得反比例函数解析式． 【解析】（1）∵将代入，得：， ∴点B（0，-7）， ∴， 又∵点D（0，18），即， ∴， 由翻折的性质可得：， 在Rt△BOC中，由勾股定理可得：， ∴直线BC的坐标三角形的面积； （2）设，， ∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴点A（，0）， ∵将点A（，0）代入，得：， ∴， （3）如图，连接CE交AB于点P， ∵点C与点D关于直线AB对称， ∴， ∴， ∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值， 又∵DE的长度不变， ∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小， 设直线CE的解析式， 将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：， 解得：， ∴直线CE的解析式， 联立， 解得：， ∴点P（-9，5）， 设反比例函数解析式为， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$