特训02 一次函数压轴题 强化篇（按上海特色精选强化题）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训02 一次函数压轴题 强化篇（按上海特色精选强化题） 一、解答题 1．（2025八年级下·上海·专题练习）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是一个动点，且，过点作轴的平行线交直线于点，交直线于点． ①若，求的值； ②连接，若，求点的坐标． 2．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 3．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，． (1)求直线的解析式； (2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由； (3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标． 4．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． (1)求点C，点D的坐标； (2)如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； (3)如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 6．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 8．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 9．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 10．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． (1)若点在轴上，且为等腰三角形，则点坐标为____________； (2)如图，直线交轴负半轴于点，且，为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，当点落在直线上时，写出点的坐标为________； (3)在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在直线上确定点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为___________． (4)过点作直线垂直于轴，点在直线上，若的面积等于的面积，则点的坐标为______． 11．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，已知，． (1)求直线的解析式： (2)如图2，点P是x轴负半轴上一点，点C在线段上，连接，，，使，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与b的函数关系式（不要求写出定义域）； (3)如图3，在（2）的条件下，将射线绕着点A逆时针旋转，交线段于点Q，点G是y轴负半轴上一点，连接，若，的周长为8，求点Q的坐标． 12．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标和直线的函数表达式； (2)如图2，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①当的面积为时，求点的坐标； ②当时，求点的坐标． 13．（2025八年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 14．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点．已知．    (1)求直线的解析式； (2)已知点为直线上第三象限的一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，，点关于轴的对称点为点，点在第一象限直线的右侧，点在线段上，连接相交于点，满足，，过作轴交直线于点，连接，取的中点，连接，过点作交轴于点，且，延长与相交于点，若，求的长． 15．（2025八年级下·上海·专题练习）已知：直线分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．    (1)如图1，若直线过，求． (2)如图2，点关于轴的对称点为，将线段沿轴正半轴移动到，直线交直线于点，直线交轴于点，求的值． (3)如图3，在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使得，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线经过点A与轴x交于点C． (1)求直线的解析式； (2)如图2，直线交于点，点M在线段上，连接交y轴于点H，设点M的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，线段绕点M逆时针旋转90°得到线段，过点B作直线的垂线，垂足为F，连接交于点G，连接，当是锐角三角形，时，求点E的坐标． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 一次函数压轴题 强化篇（按上海特色精选强化题） 一、解答题 1．（2025八年级下·上海·专题练习）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是一个动点，且，过点作轴的平行线交直线于点，交直线于点． ①若，求的值； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，对称性求出点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2），则：、，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； （2）①∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ 解得：； ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，，， ∴， 解得． ∴． 当点M在y轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点P的坐标为或． 2．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点的坐标，再在轴上找点，使得，过点作轴，再进行分类讨论求解即可． 【解析】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交轴于点， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点在点右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点在点左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在轴上找点，使得，过点作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 3．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，． (1)求直线的解析式； (2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由； (3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为或，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）先求得点A、B坐标，再证明得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）先证明得到，过F作轴于G，过E作轴于H，则，联立方程组求得点E的坐标为，证明，则，进而得到点F的坐标为；根据已知和等高的三角形面积比等于底边比得到，分当M为线段中点时，和当点M在延长线上时求解即可； （3）先由勾股定理求得，根据题意分当时和当时两种情况，可分别画出图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【解析】（1）解：∵直线交y轴交于点A，交x轴于点B， ∴当时，，当时，由得， ∴，，则，， ∵， ∴，则， ∴，即，又，， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 过F作轴于G，过E作轴于H，则， 联立方程组得：，解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； ∵点M在直线上，且， ∴， 当M为线段中点时，满足，此时； 当点M在延长线上时， ∵，， ∴，则点M与点B重合， ∴， 综上，满足条件的点M坐标为或； （3）解：∵， ∴， ∵,点N是直线上一点，点H是x轴上一点， ∴分两种情况： 当时，则，，，如图， ∵ ∴点N的坐标为； 由（1）中得点N与A重合、H与O重合时，也满足条件，此时； 当时，则，，，此时，， 设直线的解析式为， 当H在B的左侧时，如图，则，代入中，得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当H在B的右侧时，如图，则，代入中，得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 综上，满足条件的N的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 4．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【解析】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 5．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． (1)求点C，点D的坐标； (2)如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； (3)如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）联立两个解析式求出点坐标，令，求出的函数值，得到点坐标即可； （2）求出点坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，根据对称的性质，得到求出的坐标，进而求出的中点坐标，求出直线的解析式，联立直线和直线，求出点坐标即可． 【解析】（1）解：联立，解得：， ∴， 令，则：， ∴； （2）当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴或， ∴或； （3）设， ∵点C关于直线的对称点为， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴或， 当时，的中点坐标为：， ∵， ∴轴， ∴，此时，解得：， ∴， 当时，的中点坐标为：，即为点， 设直线与轴交于点，则：， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立：，解得：， ∴． 综上：或． 6．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 【答案】(1)①；② (2)①点坐标为或；② 【分析】（1）①根据可得点坐标，即可得出坐标，待定系数法即可求直线的解析式；②联立两条直线解析式，即可得到点，将分别代入两条直线解析式即可求出点，点，再根据，即可求解． （2）①设点，根据轴，可得点，分别讨论当点在点上方，当点在点上方两种情况即可得出点坐标；②由上可得，分别讨论和两种情况下，的不等式解集，再将可取的整数分别代入点中，即可得符合要求点个数． 【解析】（1）解：①对于直线，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 将代入直线中，可得， 解得：， 故直线的解析式为． ②联立直线和直线，即， 解得， ∴点为， 将分别代入和中，即，， 解得：，， ∴点为，点为， ∴， ∴． （2）解：①设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点坐标为或． ②由上可得， 当时，即时，， ∵ ∴ 解得： 当时，即时，， ∵， ∴， 解得：， ∴在和的范围内，可取的整数有， ∵点坐标为， ∴当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴整点的坐标有，，，， ∴符合条件的整点的个数为个． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数与二元一次方程组，不等式组解集的整数解，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【分析】（1）把代入，求出，即可得得直线； （2）求出点、、的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标，进而可得点的坐标；当时，由翻折得，根据勾股定理得，则，即可得点的坐标为． 【解析】（1）解：把代入得， ， 直线； （2）解：直线， 将代入得：， 点的坐标为， 直线与轴、轴、直线分别交于点、、， 当时，，当时，，解得， 、， 联立与得 ，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图2，当时，过点作轴于， 由翻折得， ， ， ，， ， ， ， ， 由翻折得， 点的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得，， ，， ，，， ， 设，则， ， 解得：， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【点睛】此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用． 8．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 【答案】(1)：，： (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，得到点的坐标，再利用待定系数法求出的函数表达式，根据点的坐标特征求出点的坐标，代入即可求出的函数表达式； （2）分以下两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时，求出两条直线的方程，联立求解即可； （3）分两种情况，当点在点的左侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出；当点在点的右侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入直线的表达式得： ， 解得：， 直线的表达式为， 点在直线上， ， ， ， 直线： 经过点， ， ， 直线的函数表达式为 ； （2）解：由已知得：，， 如图，分以下两种情况讨论： 当点在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当点在线段上时，在轴上取一点，使得，则， ， 点在直线上， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当点在点的左侧时，如图所示： 在直线： 中，令，得， ， ，， ，，， ， 为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 则，， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式， 得， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ； 当点在点的右侧时，如图所示： 由知为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式、全等三角形的判定与性质、翻折问题、一次函数与坐标轴的交点问题等知识，解答本题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 9．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 10．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． (1)若点在轴上，且为等腰三角形，则点坐标为____________； (2)如图，直线交轴负半轴于点，且，为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，当点落在直线上时，写出点的坐标为________； (3)在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在直线上确定点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为___________． (4)过点作直线垂直于轴，点在直线上，若的面积等于的面积，则点的坐标为______． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) 【分析】（1）利用两点间距离公式分当时，当时，当时，三种情况求解即可得解； （2）分点绕点逆时针旋转和点绕点顺时针旋转两种情况，利用直线和二元一次方程的关系讨论求解即可； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图，则，利用待定系数法求得直线为，设，证，得，，，利用勾股定理得，解得或（不符合题意，舍去），，由（）得直线∶，设，由，构造方程得，求解即可得； （4）如图，在轴上取，过点作轴交于点，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，连接，，则，证明，得，又证明，得，即和同底等高，和的面积相等，进而利用一次函数的性质即可得解． 【解析】（1）解：把点代入直线得， ∴， ∴， 设， 当时，则， 解得（舍去）或， ， 当时，则， 解得或， ∴或， 当时，则， 解得， ∴， 综上或或或， 故答案为：，，，； （2）解：在中，，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当点绕点逆时针旋转时， ∵点绕点逆时针旋转得点，绕点逆时针旋转得点， ∴当点在射线上时，点在射线上， 由图可知射线与直线不相交， ∴点绕点逆时针旋转时，不符合题意，应舍去， 当点绕点顺时针旋转时， 由点绕点顺时针旋转得点，绕点逆时针旋转得点，如图， ∵直线：中，， ∴直线∶， 设直线：， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线：， 联立和得 ， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图，则， 设直线为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线为 ∴设， ∵， ∴， ∵为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 由（）得直线∶， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为：； （4）解：如图，在轴上取，过点作轴交于点，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，连接，，则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即和同底等高， ∴和的面积相等， 由直线∶，设直线为， 把代入得， 解得， ∴直线为， 当时，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，求一次函数解析式，一次函数的图像及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 11．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，已知，． (1)求直线的解析式： (2)如图2，点P是x轴负半轴上一点，点C在线段上，连接，，，使，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与b的函数关系式（不要求写出定义域）； (3)如图3，在（2）的条件下，将射线绕着点A逆时针旋转，交线段于点Q，点G是y轴负半轴上一点，连接，若，的周长为8，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）作于，可证得，，从而得出，进一步得出结果； （3）作于，作，交的延长线于，可证得，从而，进而推出，从而，设，可推出，从而推出，所以，设，则，，根据勾股定理得方程，从而得出，进而在中，由勾股定理得出的长，从而求得结果． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）如图， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （3）如图， 作于，作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 12．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标和直线的函数表达式； (2)如图2，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①当的面积为时，求点的坐标； ②当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①或②或 【分析】（1）对于一次函数，分别令和，即可求得点，点的坐标，然后结合，可确定点坐标，然后利用待定系数法解得直线的解析式即可； （2）①分点在轴负半轴和点在轴正半轴两种情况，可设，则，则，然后结合的面积求得的值，即可获得答案；②可分两种情况讨论：当时，此时，证明，由全等三角形的性质可得，即可求得点坐标；当时，过点作，交于点，此时可有，证明，，由全等三角形的性质可得，进而确定的值，即可求得点坐标． 【解析】（1）解：对于一次函数， 令，则有，解得， ∴点， ∴， ∵， ∴， 对于一次函数， 令，则有， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）①根据题意，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点， 当点在轴负半轴时，如下图， 可设，则，则， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得（舍去）或； 此时； 当点在轴正半轴时，如下图， 可设，则，则， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得或（舍去）； 此时． 综上所述，点的坐标为或； ②由（1）可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 可分两种情况讨论： 当时，如下图， 可有， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，过点作，交于点， 可有， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当时，求点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 13．（2025八年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）证明，利用勾股定理列方程可求得的值，再利用待定系数法求解直线的解析式，再求出的中点T的坐标，过点T作于点S，得，进一步计算得的值，从而求得A点坐标； （2）在y轴上取一点，使得，可求得满足条件的两个点，的坐标，然后求出的解析式，作交l于P，可求得直线，的解析式，从而可求得答案； （3）分三种情况讨论：，，，画出对应的图形，逐步计算即可得到答案． 【解析】（1），， ，， ， 解得， ， 设直线为， 把M、N的坐标代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 垂直平分， 的中点T的坐标为，， 过点T作于点S，如图1， 则， ， ， ； （2）在y轴上取一点，使得， ， ， 解得，， ，， ，， 可求出的解析式为 ， 作交l于P，如图2， ∴直线的解析式为， ，即， 同理，直线的解析式为， ， 综上所述，点P的坐标为或； （3）①如图，当时， 由轴对称的性质可得， ， ， 由垂直平分线的判定定理可得，互相垂直平分， 点在y轴上，且， 设， ， 解得， ， ； ②当时，如图， 由， 得为等边三角形， 此时Q，N重合， ； ③当时，在直线上，如图， ， ，，， 作，R在y轴上， ，， ，， ； 同理：如图，当Q在K的位置，M1在H的位置， 此时． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线的判定与性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 14．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点．已知．    (1)求直线的解析式； (2)已知点为直线上第三象限的一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，，点关于轴的对称点为点，点在第一象限直线的右侧，点在线段上，连接相交于点，满足，，过作轴交直线于点，连接，取的中点，连接，过点作交轴于点，且，延长与相交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求出，，再运用待定系数法即可求得答案； （2）作轴于点，设，由点在第三象限，可得，利用三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作轴于点，根据题意可得，进而可得，设交轴于点，则，利用证明，得出点的横坐标为，再求得点的横坐标为，可得出轴，再证得，结合是的中点，可得出，，运用待定系数法求出直线的解析式，联立即可求得点的坐标，再运用两点间距离公式即可求得答案． 【解析】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 令，得， 令，得， 解得：， ，， ， ， ， 把，代入得：， 解得：， 直线解析式为：； （2）解：点为直线上一点， 设， 如图1，作轴于点，则，   ， 点在第三象限， ， ， ，， ， ， 与之间的关系式为：； （3）解：如图2，作轴于点，则，   ， 由（2）可知：， ， ， 解得：， ， 点关于轴的对称点为点， ， 直线的解析式为：， 设交轴于点，则， ，，， ，， ， ， ， 在和， ， ， ， 点的横坐标为， 轴交直线于点， 点的纵坐标为， 直线的解析式为， ， 解得：， 点的横坐标为， 轴， 轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：， ， ． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用方程及转化思想，熟练掌握以上知识点． 15．（2025八年级下·上海·专题练习）已知：直线分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．    (1)如图1，若直线过，求． (2)如图2，点关于轴的对称点为，将线段沿轴正半轴移动到，直线交直线于点，直线交轴于点，求的值． (3)如图3，在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使得，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）分别令求得点的坐标，进而即可求解； （2）分别令求得点的坐标，得出，设线段沿轴正半轴移动到，移动了个单位，得出直线的解析式为，联立，得出勾股定理求得，进而得出直线的解析式为，求得，即可求解； （3）当Q在右侧时，以为直角边在的右侧作等腰，连接交于点，过点作轴于点，过点作于点，根据已知得出，则，即点在的垂直平分线上，证明，可得，进而得出的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，将点代入求得的值，进而即可求解；当Q在左侧时，根据对称性求解即可． 【解析】（1）解：将点代入，得 ∴，即 当时，，则， 当时，，则 ∴， （2）∵， 当时，，则， 当时，，则， ∴， 设线段沿轴正半轴移动到，移动了个单位， 则， 设直线的解析式为， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， 联立 ∴ ∴， ∴ 设直线的解析式为，将点代入， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， （3）解：①当Q在右侧时，如图所示，以为直角边在的右侧作等腰，连接交于点，    过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，即点在的垂直平分线上， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴的解析式为 设 ∵点在的垂直平分线上， ∴ 设的直线解析式为， 将点，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 将点代入得， ∵， ∴ 解得：（经检验，是原方程的解） ∴； ②当Q在左侧时，此时Q与①中关于对称， ∴即． 综上，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，平移的性质，勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 16．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线经过点A与轴x交于点C． (1)求直线的解析式； (2)如图2，直线交于点，点M在线段上，连接交y轴于点H，设点M的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，线段绕点M逆时针旋转90°得到线段，过点B作直线的垂线，垂足为F，连接交于点G，连接，当是锐角三角形，时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据直线求出A点坐标，即可求出直线的解析式； （2）先求出点坐标，再求出的解析式，即可表示出M点坐标，再利用三角形面积公式表示的面积S即可； （3）先根据对角互补模型证明，再证明，即可求出G点坐标，进而依次求出H、M点坐标，最后根据一线三垂直模型求出E点坐标即可． 【解析】（1）∵直线：交v轴于点A， ∴A点坐标为， ∵直线经过点A与轴x交于点C． ∴， ∴直线的解析式； （2）由（1）可得直线：，直线的解析式 ∴，， ∴ ∵直线交于点， ∴ ∴直线解析式为， ∵点M在线段上，连接交y轴于点H，设点M的横坐标为t， ∴， 过M作轴于T， ∴， ∴ （3）过M作于K，过M作于J， ∵线段绕点M逆时针旋转90°得到线段，过点B作直线的垂线，垂足为F ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 过B作轴交于P，过B作交于Q，过C作交于L，连接， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即G为中点， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， 过G作轴于R，轴于N，过E作交于S， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵直线经过点，， ∴直线解析式为， ∵点M为直线与直线的交点， ∴， ∴ ∵，，，轴， ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，综合性较强，要求学生有较强的逻辑思维能力． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$