8.1 相交线-课时2 垂直及垂线段-【初中必刷题】2024-2025学年七年级下册数学同步课件(青岛版)

数 学 七年级下册 QD 1 2 第8章 相交线与平行线 3 8.1 相交线 课时2 垂直及垂线段 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 垂直的定义 （第1题图） 1.【2023山东聊城东阿期末】如图， ， ，平分，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 【解析】 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.如图，直线，相交于点，射线 ，给出下列结论： 和互为对顶角； ；与 互补； .其中正确的是________．（填序号） ①②④ 【解析】因为，直线，相交于点，所以和 互为对顶角，正确； ，正确；与 互为余 角，故原结论错误； ，正确.故答 案为①②④． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 归纳总结 几何图形中在角的位置标记直角符号、题目条件中给出两条直线垂直、题目条件 中给出某个角是 ，这是垂直的三种表现形式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 垂线的画法 3.下列各图中，过直线外的点画直线 的垂线，用三角尺作图正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】用直角三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边过点 后沿此直 角边画直线，所以C选项的画法正确，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.直线，相交于点，且是钝角．在的内部作射线 ， ． （1）请你根据已知条件画出图形； 【解】如图所示即为所求作的图形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）如果 ，求 的度数． 【解】因为直线，相交于点 ， 所以 . 因为，所以 . 因为 ，所以 ，所以 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点3 垂线的性质 5.下列说法正确的有( ) ①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线； ④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线． B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】由垂线的性质可知①②正确．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 知识点4 垂线段及其性质 6.【2024山东潍坊高密期中】过点画线段 所在直线的垂线段，正确的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 A 为过点画线段 所在直线的垂线段，不符合题意 B 为过点画线段 所在直线的垂线段，符合题意 C 为过上一点画线段 所在直线的垂线段，不符合题意 D 为过线段所在直线上一点画线段 所在直线的垂线段，不符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7. 【2024北京海淀区期中】如图，小明在长方形的篮球场上沿直线 进行折返跑训练，他从场地一边的 点处出发，选择到对面的___ （填“”“”或“”）点处折返一次回到 点时，跑过的路程最短. 【解析】因为垂线段最短，所以小明在进行折返跑训练时，选择到对面的 点处折返一次回到点时，跑过的路程最短.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 知识点5 点到直线的距离 8.【2024山东德州质检】如图，已知，， ， ，那么点到直线的距离是___，点到直线的距离是___ . 8 6 【解析】因为，，，所以点到直线 的距离是 ，点到直线的距离是 .故答案为8，6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 1.【2024山东枣庄校级调研，中】点为直线外一点，点，在直线 上，若 ，，则点到直线 的距离( ) C A.等于 B.小于 C.不大于 D.等于 【解析】因为点到直线的距离是点到直线 上所有点的连线中最短的线段的长 度，所以点到直线的距离应小于等于的长度，即点到直线 的距离不大于 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 2.【2024吉林省吉林市期中，中】如图， 是一条河流，要铺设管道将河水引到 两个用水点和 ，现有两种铺设管道的方案.若铺设管道单位长度的造价均相同， 则下列说法正确的是( ) 方案一：分别过，作的垂线，垂足为，，沿， 铺设管道； C 方案二：连接交于点，沿， 铺设管道. A.方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样 B.方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短 C.方案一比方案二省钱，因为垂线段最短 D.方案一与方案二无法比较 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】因为，，所以， ，所以 ，所以按照方案一铺设管道的长度比按照方案二铺设管道的 长度更短.因为铺设管道单位长度的造价均相同，所以方案一比方案二省钱.故选C. 刷有所得 垂线段最短指的是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.实际 问题中涉及路程最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线 段最短”这两个中去选择. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 3. 跨学科综合【2024陕西榆林期中，中】如图，为了探清一口深 井的底部情况，在井口放置一面平面镜可以改变光路，此时 .当太阳光线与地面所成夹角 时，要使 太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角____ . 71 【解析】因为,所以 .因为 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 .故答案为71. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 4.【2024山东潍坊期末，中】如图，直线，相交于点，平分 ， .若 ，则_____ . 149 【解析】因为 ， ，所以 .因为，所以 ，所 以 .因为平分 ，所以 ，所以 .故答案为149. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 思路分析 根据已知条件求出 ，由垂直定义得到 ，则可得 .由角平分线定义得到 ，即可求出 的度数 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 5.【2024福建厦门校级调研，中】如图，点是直线 上的一个动 点，点是直线外一定点，现给出以下说法：①点 在运动过程中， 使的点有两个；②若 ，当点从 出发，沿射 ②④ 【解析】点在运动过程中，使的点 只有一个，故①说法错误；若 ，当点从出发，沿射线的方向运动时， 的度数先变大再 变小，故②说法正确；当点在左侧且时，三角形与三角形 的 面积不相等，故③说法错误；当 时，线段的长度就是点 到直线 的距离，故④说法正确.故答案为②④. 线的方向运动时，的度数先变大再变小；③若，则三角形 与三角形的面积相等；④当 时，线段的长度就是点 到直线 的距离，其中正确的是______.（填序号） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 6.【2024山东青岛期中，较难】如图，在三角形中， , , ,，点是边上的一个动点，连接，则线段 长度的最小值 是_ __. 【解析】当时，最短.因为 ,,, ， 所以，所以.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力【2024辽宁鞍山立山区期中，较难】已知点在直线 上， ，平分 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【问题初探】 （1）如图（1），若 ，求 的度数； 【解】因为 ，所以 . 因为平分，所以 . 因为 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【类比分析】 （2）如图（1），试探究与 之间的数量关系，并说明理由； 【解】.理由：因为 ，所以 . 因为平分 ，所以 . 因为 ，所以 , 所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【拓展应用】 （3）如图（2），若平分，平分，试探究 的值 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解】 .理由：因为平分 ，所以 . 由（2）得，所以.因为平分 ， 所以.因为 ，所以 ，所以 .因为 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 所以，即 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （3）根据角平分线的定义，得到， 由 （2）得，即由 ， 可得,再根据 进行计算 即可得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 $$