黄金卷03（青岛专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B A D B B A B 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 10．/ 11．86.3 12． 13．32 14．6 15． 三、作图题：（4分） 16．【详解】解：如图所示，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 由平行线间间距相等可得P、Q到的距离相等． -----------------（4分） 四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（9分）【详解】（1）解：由①得：， 即；-----------------（2分） 由②得：， 即， ．-----------------（4分） （2）解：原式， ，-----------------（7分） ，-----------------（8分） 原式．-----------------（9分） 18．（6分）【详解】（）解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，；-----------------（2分） （）解：补全条形统计图如下： -----------------（4分） （）解：， 故答案为：；-----------------（5分） （）解：， 答：估计该校需准备大约份奖品．-----------------（6分） 19．（6分）【详解】 （1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：， 故答案为：；-----------------（2分） （2）解：画树状图得： ∴共有12种等可能的结果，-----------------（4分） ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况， ∴，-----------------（5分） ∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．-----------------（6分） 20．（6分）【详解】解：由题意得． 如图，过点作于点，则四边形为矩形． 在中， 的坡度， 故设，则． 解得． ．-----------------（2分） 设，在中，， ． ． 四边形为矩形， ．-----------------（4分） 在中，， ． ． 解得． 答：茗阳阁的高度约为．-----------------（6分） 21．（8分）【详解】（1）解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元， 根据题意得：， 解得，-----------------（2分） 经检验，是原方程的根，-----------------（3分） 此时， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元；-----------------（4分） （2）解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元， 根据题意得： ，-----------------（6分） ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为120050，-----------------（7分） 此时， 答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． -----------------（8分） 22．（8分）【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，-----------------（1分） ∵平分，， ∴，，-----------------（2分） ∴， ∴， ∴四边形是菱形．-----------------（4分） （2）解：连接交于点O，如图： ∵点E、F分别是边、的中点，， ∴，-----------------（5分） ∵、是菱形的对角线，且，， ∴，，．-----------------（67分） 在中，，． ∴，-----------------（7分） ∴菱形的周长为：．-----------------（8分） 23.（8分）【详解】（1）解：△是等边三角形，且点的坐标为， ， 点在函数是常数，，上， ；-----------------（2分） （2）解：过点作轴于，如图所示： 设， △是等边三角形， ， ，，-----------------（3分） 点在函数是常数，，上， ，即，解得或（舍去）， ，-----------------（5分） 过点作轴于，设，同理求得， ；-----------------（6分） （3）解：由（2）中的计算过程，分析，，，结构特征，以此类推即可猜想：． -----------------（8分） 24.（10分）【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴；-----------------（2分） （2）解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，-----------------（3分） ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小，-----------------（4分） ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴；-----------------（6分） （3）解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则 -----------------（8分） ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标．-----------------（10分） 25.（10分）【详解】（1）解：由题意可得：， ①当时，过点作于点， ， ， ，，-----------------（1分） 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：；-----------------（2分）    ②当时，， 解得：；-----------------（3分）    ③当时，点与点重合，即， ， 解得：， 综上所述，t的值为或或时，是等腰三角形；-----------------（4分） （2）解：如图，连接，过点作于点，   ， ，-----------------（5分） 是的直径， ， ，， ， ，即， ；-----------------（7分） （3）解：如图，当与相切时，，，， 由（2）知，， ，-----------------（8分） 即， 解得：， 当时，与相切．-----------------（10分）    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列为负数的是（   ） A． B． C． D． 3．今年春节电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《蛟龙行动》《射雕英雄传：侠之大者》和《熊出没·重启未来》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月5日发布数据，我国2025年春节档电影票房达95.10亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据95.10亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．俯视图和左视图相同 D．三种视图均相同 5．如图，将线段先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转，则点B的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 6．如图所示，直线，，，则的度数（    ） A． B． C． D． 7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．计算： ． 11．某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表所示： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为93，85，78，80，则该班四项综合得分为 分 12．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 13． 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 个． 14．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 15．如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为 ． 三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（9分）计算 （1）解不等式组 （2）先化简，再求代数式的值，其中 18．（6分）为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 19．（6分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． （1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________； （2）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 20．（6分）茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征．某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量茗阳阁的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处20m的E处测得茗阳阁顶A的仰角为α，在坡底C处测得茗阳阁顶A的仰角为β．B，C，F三点在同一直线上． 测量数据. 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角α的度数 29.3° 28.7° 29° 仰角β的度数 45.3° 44.7° 45° 参考数据 的坡度． 求茗阳阁的高度．（结果精确到整数） 21．（8分）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． （1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ （2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22．（8分）如图，在四边形中，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 23．（8分）在直角坐标系中，点在函数是常数，，上，点，，，，，在轴上，△，△，△，△均为等边三角形． （1）求的值； （2）求和的值； （3）猜想的值（无需证明）． 24．（10分）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 25．（10分）已知：如图1，△ABC中，，，动点从点出发沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止，设运动时间为（单位：），以点为圆心，长为半径的圆与射线，线段分别交于点，．    （1）当是等腰三角形时，求t的值； （2）设，求与的函数解析式，且写出的取值范围； （3）如图2，连接，直接写出当为何值时，线段与相切 ( 9 / 9 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2．下列为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B. ，是正数，不符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．是负数，符合题意； 故选：D． 3．今年春节电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《蛟龙行动》《射雕英雄传：侠之大者》和《熊出没·重启未来》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月5日发布数据，我国2025年春节档电影票房达95.10亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据95.10亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据95.10亿用科学记数法表示为． 故选：B． 4．中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．俯视图和左视图相同 D．三种视图均相同 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查三视图．熟练掌握三视图是解题的关键． 根据立体图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该茶杯的主视图和左视图相同． 故A选项符合题意． 故选：A． 5．如图，将线段先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转，则点B的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形 【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 【详解】解：如图，将线段先向右平移5个单位，得到点，连接，将绕原点顺时针旋转， 则对应坐标为，    故选：D． 【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 6．如图所示，直线，，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】该题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式四则混合运算、列代数式 【分析】本题考查列出代数式，熟练运用整式的运算法则是解题的关键． 根据图形列出代数式即可解答． 【详解】解：由题可知：阴影部分面积为： ，（C选项不符合题意） ， ， ，（A选项不符合题意） ，（D选项不符合题意） 所以阴影部分不能用表示． 故选：B． 8．如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接交于点F，设，则；由矩形的性质和勾股定理可得；再根据折叠的性质可得、垂直平分，易得，再根据勾股定理可得、，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴∠B=90°， ∴， ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断； ④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断； ⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴，运用二次函数增减性即可判断； ⑥对称轴为， ，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故选：B． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 10．计算： ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法分配律展开，再计算乘法，然后化为最简二次根式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表所示： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为93，85，78，80，则该班四项综合得分为 分 【答案】86.3 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法． 根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：该班四项综合得分为：（分）， 故答案为：86.3． 12．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 13．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 个． 【答案】32 【知识点】解分式方程、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式、解分式方程，正确运用概率公式是解题关键．根据题意，设口袋里面大约有个红球，根据摸到黄球的频率是，则，解出分式方程，即可． 【详解】解：设口袋中大约有个红球， ∵口袋里面有个黄球，摸到黄球的频率是 ∴ 解得：． 经检验，是方程的解． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 15．如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】如图：连接，再证明，推出推出点O在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ， ∴点O在菱形的对角线上， ， ∵， ， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识点，理解题意、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、作图题：（4分） 16．如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 【答案】见解析 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行线的尺规作图，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 【详解】解：如图所示，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 由平行线间间距相等可得P、Q到的距离相等． 四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．计算 (1)解不等式组 (2)先化简，再求代数式的值，其中 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】分式化简求值、求不等式组的解集、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（1）分别解不等式①②，再按“大小小大取中间”即可求得不等式组解集； （2）先化简原式为，再结合特殊角的三角函数值算出代入计算即可． 【详解】（1）解：由①得：， 即； 由②得：， 即， ． （2）解：原式， ， ， 原式． 【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组、、特殊角的三角函数值、分式的化简求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 18．为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）估计该校需准备大约份奖品． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出的值； （）根据（）中的值补图即可； （）用乘以D组人数的占比即可求解； （）用4000乘以分以上(含分)的人数占比即可求解． 【详解】（）解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； （）解：补全条形统计图如下： （）解：， 故答案为：； （）解：， 答：估计该校需准备大约份奖品． 19．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________； (2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案； （2）首先画出树状图，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图得： ∴共有12种等可能的结果， ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况， ∴， ∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平． 20．茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征．某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量茗阳阁的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处20m的E处测得茗阳阁顶A的仰角为α，在坡底C处测得茗阳阁顶A的仰角为β．B，C，F三点在同一直线上． 测量数据. 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角α的度数 29.3° 28.7° 29° 仰角β的度数 45.3° 44.7° 45° 参考数据 的坡度． 求茗阳阁的高度．（结果精确到整数） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角类问题，解题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．根据题意，作于点，构造了，同时根据矩形的判定，可得四边形为矩形；在中，利用的坡度，结合勾股定理得到的长；在中，根据，可知；然后结合矩形的性质得到可以用来表示；在中利用三角函数也可得用来表示，从而建立关于的一元一次方程，求解即可求出的长． 【详解】解：由题意得． 如图，过点作于点，则四边形为矩形． 在中， 的坡度， 故设，则． 解得． ． 设，在中，， ． ． 四边形为矩形， ． 在中，， ． ． 解得． 答：茗阳阁的高度约为． 21．剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； (2)甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可； （2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为120050， 此时， 答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 22．如图，在四边形中，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)52 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明结论； （2）连接交于点O，，根据三角形中位线定理，得到，由菱形的性质和勾股定理得出，即可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接交于点O，如图： ∵点E、F分别是边、的中点，， ∴， ∵、是菱形的对角线，且，， ∴，，． 在中，，． ∴， ∴菱形的周长为：． 23．在直角坐标系中，点在函数是常数，，上，点，，，，，在轴上，△，△，△，△均为等边三角形． (1)求的值； (2)求和的值； (3)猜想的值（无需证明）． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】归纳与类比、等边三角形的性质、反比例函数与几何综合 【分析】（1）利用等边三角形的性质求得点的坐标，代入是常数，，即可求得的值； （2）过点作轴于，设，则，即，，代入，求得，即可求得，同理求得； （3）通过(2)中的求解过程，观察、的值即可猜想． 【详解】（1）解：△是等边三角形，且点的坐标为， ， 点在函数是常数，，上， ； （2）解：过点作轴于，如图所示： 设， △是等边三角形， ， ，， 点在函数是常数，，上， ，即，解得或（舍去）， ， 过点作轴于，设，同理求得， ； （3）解：由（2）中的计算过程，分析，，，结构特征，以此类推即可猜想：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数的性质，过点分别向轴作垂线，构造直角三角形是本题的关键． 24．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； （3）解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则 ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 25．已知：如图1，△ABC中，，，动点从点出发沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止，设运动时间为（单位：），以点为圆心，长为半径的圆与射线，线段分别交于点，．    (1)当是等腰三角形时，求t的值； (2)设，求与的函数解析式，且写出的取值范围； (3)如图2，连接，直接写出当为何值时，线段与相切？ 【答案】(1)t的值为或或 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、相似三角形——动点问题、已知余弦求边长 【分析】（1）分以下三种情况讨论：①当时，过点作于点，得到，推出，，在中，由勾股定理求解即可；②当时，得到，即可求解；③当时，点与点重合，即，得到，即可求解； （2）连接，过点作于点，证明得到，即，即可求解； （3）当与相切时，，，，由（2）知，，得到，即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ①当时，过点作于点， ， ， ，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：；    ②当时，， 解得：；    ③当时，点与点重合，即， ， 解得：， 综上所述，t的值为或或时，是等腰三角形； （2）解：如图，连接，过点作于点，   ， ， 是的直径， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图，当与相切时，，，， 由（2）知，， ， 即， 解得：， 当时，与相切．    【点睛】本题考查了三角形中动点问题，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，利用相似构造函数，用圆的切线的性质求动点运动时间，勾股定理，三角函数，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$