黄金卷03（济南专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的意义，多重符号的化简，根据有理数的乘方，绝对值的意义，多重符号的化简法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 2．如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 根据从正面看到的图形是主视图，可得到答案 【详解】解：从正面看，底层是一个长方形，上层是一个“国”字． 故选：B． 3．如图，有标记为①、②、③、④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法和有理数乘法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的定义：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式，，n为整数． 【详解】根据题意，圆④中所填写的数， 故选：D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的混合运算、计算多项式乘多项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． 利用整式的混合运算法则计算并判断． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确． 故选：D． 5．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．如图所示，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的意义、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了绝对值的性质以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据绝对值的性质得出关于的不等式，进而求解的取值范围，并正确在数轴上表示出来． 根据绝对值的性质，当时，．由此得到关于的不等式，解出的取值范围后，再判断在数轴上的正确表示． 【详解】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知，即， 所以， 解得：， 在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线， 所以选项B的表示是正确的． 故选：B． 8．图，电路图上有个开关，，和个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，设开关，，分别用①，②，③表示，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设开关，，分别用①，②，③表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中小灯泡发光的结果有①②、①③、②①、③①，共种， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：． 9．如图，在正方形中，连接，点是线段上一点（），连接，过点作交于点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作于点，交于点，由四边形是正方形，得，，，，证明四边形是矩形，故有，再通过三角函数得，，，由勾股定理，得，然后证明，所以，则，所以． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(二次函数综合)、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式因式分解，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共张，随机从箱子里摸出张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题考查的知识点是由频率估计概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握由频率估计概率的方法． 根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设箱子中蓝色卡片有张，根据题意得： ， 解得， 则箱子中蓝色卡片有张． 故答案为：． 13．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为： 14．快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 ． 【答案】35 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象求出快递员往返的时间为2（0.35﹣0.2）h，然后再根据速度＝路程÷时间． 【详解】解：∵快递员始终匀速行驶， ∴快递员的行驶速度是35（km/h）． 故答案为：35． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是结合图象掌握快递员往返的时间． 15．如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、判断点与圆的位置关系、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.） 16．计算：． 【答案】3 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 17．解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解有0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，再将解集联立起来． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组的非负整数解有0，1，2，3． 18．已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 19．图1所示的是一款卧室家用落地镜，其侧面示意图如图2所示，镜面可以绕点旋转，支撑部分为等腰三角形和底部两个等圆．已知，，，，圆的半径为． (1)当镜面与支撑架重合时，求镜面的底部点到地面的距离． (2)如图，在（2）条件下将镜面顺时针旋转，求此时镜面的侧面顶部点到地面的距离． （结果精确到1cm．参考数据：，，，，） 【答案】(1)镜面的底部点到地面的距离为 (2)镜面的侧面顶部点到地面的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作于点，并延长交地面于点，求出，根据三角函数求出，即可求出； （2）过点作交所在直线于点，过点作于点，作于点，先根据等腰三角形的性质求出，然后再证明四边形为矩形，求出，再求出，根据三角函数求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，并延长交地面于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴镜面的底部点到地面的距离为． （2）解：过点作交所在直线于点，过点作于点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴此时镜面的侧面顶部点到地面的距离约为： ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，数形结合． 20．为普及垃圾分类知识，增强环保意识，某校数学兴趣小组在本校进行垃圾分类知识测试，并随机抽取若干名同学的测试卷，根据测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图： 测试成绩分组表 组别 分数分 A B C D     请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)本次调查的学生测试成绩的中位数落在________组内；（填A、B、C或D） (3)若从该样本中随机抽取一名学生垃圾分类知识测试的成绩，其恰好在B组的概率是________； (4)若该校有880名学生，请估计成绩在“”的学生约有________人； (5)为了提高同学们的环保意识，你觉得可以从哪些方面着手？ 【答案】(1)200 (2)B (3) (4) (5)为了提高同学们的环保意识，可以经常召开环保主题的班会，组织学生参加环保活动等．（答案不唯一，合理即可） 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查的样本总量； （2）根据直方图中数据，可以写出样本中，这次测试成绩的中位数落在哪一组； （3）根据B组所占的百分比即可求出概率； （4）根据直方图中的数据，可以计算出该校学生成绩在的人数； （5）根据环保意识求解即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的样本总量是：， （2）解：样本总量是200，故中位数是第100和第101个数的平均数， 由直方图中的数据可知：样本中，这次测试成绩的中位数落在B组； （3）解：样本中，B组所占的百分比为 ∴若从该样本中随机抽取一名学生垃圾分类知识测试的成绩，其恰好在B组的概率是； （4）解：（人）， ∴若该校有880名学生，请估计成绩在“”的学生约有132人； （5）解：为了提高同学们的环保意识，可以经常召开环保主题的班会，组织学生参加环保活动等．（答案不唯一，合理即可） 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、中位数、概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】根据平行线判定与性质证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先连接，证明，可得，可得答案； （2）设的半径为r，表示，再根据平行线的性质得，可求出圆的半径，即可得，进而求出，然后根据勾股定理求得，接下来根据特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理，得，然后得出，最后根据勾股定理求出，并结合平行线分线段成比例得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， 即， ∴直线是的切线； （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴，根据勾股定理，得． ∵， ∴. 根据勾股定理，得． ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，特殊角三角函数值，平行线分线段成比例，平行线的性质和判定，角平分线的定义等，勾股定理是求线段长的常用方法． 22．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 23．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式； (2)面积的最大值为； (3)点的坐标为或． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可； （）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解； （）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设， ∴点的横坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上， ∴， ∴面积为 ， ∴当时，面积有最大值为； （3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴点， ∵点在直线：上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， 同上理得：，，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 25．（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【知识点】角度问题(旋转综合题)、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据正方形和正方形，得到继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是中点，得到，继而得到 ． （2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可． （3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接，结合是中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，其周长为． 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形， ∴ ∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 根据题意，得； ∵H是中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点， ∴，， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接， 根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点O， 连接， ∵是中点， ∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上， ∴其周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义是解题的关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．如图，有标记为①、②、③、④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．图，电路图上有个开关，，和个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，连接，点是线段上一点（），连接，过点作交于点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．因式分解： ． 12．一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共张，随机从箱子里摸出张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 13．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 14．快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 ． 15．如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.） 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组，并写出它的非负整数解． 18．（7分）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 19．（9分）图1所示的是一款卧室家用落地镜，其侧面示意图如图2所示，镜面可以绕点旋转，支撑部分为等腰三角形和底部两个等圆．已知，，，，圆的半径为． (1)当镜面与支撑架重合时，求镜面的底部点到地面的距离． (2)如图，在（2）条件下将镜面顺时针旋转，求此时镜面的侧面顶部点到地面的距离． （结果精确到1cm．参考数据：，，，，） 20．（8分）为普及垃圾分类知识，增强环保意识，某校数学兴趣小组在本校进行垃圾分类知识测试，并随机抽取若干名同学的测试卷，根据测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图： 测试成绩分组表 组别 分数分 A B C D     请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)本次调查的学生测试成绩的中位数落在________组内；（填A、B、C或D） (3)若从该样本中随机抽取一名学生垃圾分类知识测试的成绩，其恰好在B组的概率是________； (4)若该校有880名学生，请估计成绩在“”的学生约有________人； (5)为了提高同学们的环保意识，你觉得可以从哪些方面着手？ 21．（10分）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求和的长． 22．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标． 25．（12分）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C C B C B B 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分.） 11． 12． 13．/ 14．35 15． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.） 16．（7分）【详解】解： ．-----------------（7分） 17．（7分）【详解】解：， 解不等式①，得，-----------------（2分） 解不等式②，得，-----------------（2分） 该不等式组的解集为，-----------------（5分） 该不等式组的非负整数解有0，1，2，3．-----------------（7分） 18．（7分）【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴．-----------------（1分） ∵点是的中点， ∴．-----------------（2分） 又∵， ∴． ∴．-----------------（4分） ∵， ∴． ∴．-----------------（6分） ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．-----------------（7分） 19．（9分）【详解】（1）解：如图，过点作于点，并延长交地面于点， ∵，， ∴，-----------------（1分） ∵， ∴，-----------------（2分） ∴， ∴镜面的底部点到地面的距离为．-----------------（3分） （2）解：过点作交所在直线于点，过点作于点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，-----------------（4分） ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形，-----------------（5分） ∴， ∵， ∴，-----------------（6分） ∵， ∴，-----------------（7分） ∴．-----------------（8分） ∴此时镜面的侧面顶部点到地面的距离约为： ．-----------------（9分） 20．（8分）【详解】（1）解：本次抽样调查的样本总量是：，-----------------（1分） （2）解：样本总量是200，故中位数是第100和第101个数的平均数， 由直方图中的数据可知：样本中，这次测试成绩的中位数落在B组；-----------------（3分） （3）解：样本中，B组所占的百分比为 ∴若从该样本中随机抽取一名学生垃圾分类知识测试的成绩，其恰好在B组的概率是；-----------（5分） （4）解：（人）， ∴若该校有880名学生，请估计成绩在“”的学生约有132人；-----------------（7分） （5）解：为了提高同学们的环保意识，可以经常召开环保主题的班会，组织学生参加环保活动等．（答案不唯一，合理即可）-----------------（8分） 21．（10分）【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴∠OAD=∠DAC， ∴，-----------------（1分） ∴， ∴．-----------------（2分） ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， 即， ∴直线是的切线；-----------------（4分） （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴．-----------------（5分） ∵， 在Rt△OED中，， 即， 解得，-----------------（6分） ∴， ∴，根据勾股定理，得．-----------------（7分） ∵， ∴.-----------------（8分） 根据勾股定理，得． ∴，-----------------（9分） 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即， 解得．-----------------（10分） 22.（8分）【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得，-----------------（2分） 经检验，是该方程的解，-----------------（3分） ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；-----------------（4分） （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：，-----------------（5分） 设总利润为，则，-----------------（6分） ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，-----------------（7分） 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．-----------------（8分） 23.（10分）【详解】（1）解：将代入得， ，----------------（1分） 将，代入得， 解得，----------------（2分） ∴反比例函数表达式为；----------------（3分） （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为；----------------（5分） （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ，----------------（6分） ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ，----------------（8分） 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为．----------------（10分） 24．（12分）【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式；---------------（2分） （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设， ∴点的横坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴，---------------（4分） ∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上， ∴，---------------（5分） ∴面积为 ，---------------（7分） ∴当时，面积有最大值为；---------------（8分） （3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴点，- ∵点在直线：上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， 同上理得：，，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或．---------------（12分）直接写出N点坐标即可得分 25．（12分）【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形， ∴ ∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 根据题意，得； ∵H是中点， ∴， ∴． 故答案为：．---------------（2分）每空一分 （2） 结论仍然成立．---------------（3分） 理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点， ∴，， ∴，---------------（4分） ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∵ ∴，---------------（6分） ∴， ∴，， ∴，， 故．---------------（7分） （3）如图，延长到点Q，使得，连接， 根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形， ∴， ∴，---------------（8分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，---------------（9分） ∵，， ∴， ∴，---------------（10分） 取的中点O， 连接， ∵是中点， ∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上， ∴其周长为． ---------------（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$