第1章 第1节 实数及其运算-【鸿鹄志·中考王】2025年中考数学（湖南专用）

第一编 回归教材夯基篇 第一章数与式 第1节实数及其运算 梳要点·过教材 【教材对接】人教：七上第一章P1~52,七下第六章P39~62:湘救：七上第1章P1~53,八上第1章P16~19,第 3章P104~128:华师：七上第2章P9~80,八上第11章P1~16,八下第16章P17~22 令知识梳理 整数 有理数 分数：有限小数或无限循环小数 按定义分 实数的分类 无理数：① 小数布愿鞋可 按正负分：正数、0、负数 解题技巧常见的无理数，1)开方开不尽的数，如：V23:(2)与π有关的数，如：受：(3)含根号的三角函 数值，如：sin60°，tan60;(4)有规律的无限不循环小数，如：0.101001…（相邻两个1之间依 次多一个0) 原点正方回 数轴 三要素：方立六。汇位长皮 性质：实数与数轴上的点② 实数a(a≠0)的相反数是③ ,特别地，0的相反数是① 实数a,b互为相反数台a十b=⑤ (b≠0) 相反数 或片=回 实数 几何意义：在数轴上，互为相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到 实数的相 原点的距离⑦ 其 关概念 定义：数轴上表示数4的点到原点的⑧ ,记作a.离原点越远的数 的绝对值越⑨ 算 a(a>0) 绝对值 a=0(a=0) →|a① 0 -a(a<0) 若|a=|b,则a=b或a=① 实数a(a≠0)的倒数为② 县错装想 倒数 实数a,b互为倒数→ab=⑧ 易错警醒① 没有倒数：倒敬是它本身的教是 表示形式：a×10(1≤a≤10，n为整敏)陆 科学记数法常见的计数单位换算：1万=⑩ ,1亿=0 常见的计量单位换算：1：m=⑧ m,1 nm=19 m 解题技巧n的确定方法：(1)当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，则n为原数的整教位数减1， 如：31400一3.14×10'：(2)当原数的绝对值大于0且小于1时，n为负整数，则|n为原数左起 第1个非零数宇前所有零的个数（含小数点前的零），如：0.0001=1×10· 1 若x=a(a≥0)，则x=④ 平方根、算 平方根一个正数的平方根有两个，它们互为@ 没有 术平方根 平方根 与立方根 算术平方根：若非负数x有x2=a(a≥0)，则x=⑧ 品销尊醒 立方根：若x3=a,则x=a 易错警醒平方根等于它本身的数是@：算术平方根等于它本身的数是因 :立方根等于 它本身的数是团 ,任何数都有一个主方根，且与原数同号 数轴法：如图，可得a⑦ b方 性质法：正数>0>负数：两个负数相比较，绝对值大的反而@ 实数的大作差法：a一b>0一a>b;a一b=0台a四 b:a-b<0=a圆 b 小比较 平方法：va>√b台a@ ≥0（主要应用于无理数估算及含无理数的式子的大 小比较) 其他方法：作商法，绝对值比较法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小 加法 的绝对值 一个数同0相加，仍得这个数 数 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a一b=a十② 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 实数的运 乘法 任何数与0相乘，积仍为0 算 算法则 除法：除以一个数（不等于0）等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·⑧ (b≠0) 乘方：a"=a·a·…·a n个d 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，同级运算从左到右依次进行，若有括号，则先进 行括号内的运算 负整数指数幂：a一=③ (a≠0，p为正整数)，特别地，a1=1（a≠0) 易错警醒(1)对于负整数指致装，防止出现2a= 京这样的错误： (2)指数的符号与结果的正负无关 (n为奇数) 零指数幂：a°=⑤ (a≠0)：一1的奇、偶次幂：（一1）" 到 (1为偶敏) 加法交换律：a十b=b+a 加法结合律：a十b十c=a+(b+c) 实数的运算律乘法交换律：ab=ba 实数的 乘法结合律：abc=a(bc) 运算 分配律：(a+b)c=ac十bc a-b(a>b). 去绝对值符号：a-b=0(a=b), b一a(a<b)每题做n 解题技巧若能直接求出a一b的值，则先求值，后去绝对值符号：若不能直接求出α一b的值，则先 通过比较大小，判断4一b的符号，再利用绝对值的非负性去绝对值符号 sin30°=cos60°=③ :sin45°=cos45°=图 特殊角的三 sin60°=c0s30°=0 角函数值 tan30°=④① :tan45°=④@ :tan60°=48 2 令基础练习 (建议用时：8分钟) 1.(人教七上P4练习T3变式)小戴同学的微信钱包账单如图所示，十8表示收入8元，下列说法 正确的是 () 微信账单：十8，一3 A.一3表示收人3元 B.一3表示支出3元 C.一3表示支出-3元 D.收支总和为11元 2.情境串题训练（华师七上P61习题T3变式）中国的探月、登月计划受到世人的关注.月球与 地球之间的平均距离约为384000公里，数据384000用科学记数法表示为 () A.38.4×10 B.3.84×10 C.0.384×10 D.3.84×10 【变式题】科学记数法：表示较大的数→较小的数 中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的 金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一，若一根头发丝的直径大约为90m,且 1m=0.000001m,则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为 m. 3.(湘教八上P125复习题T1变式)将下列实数前的序号填入相应的括号内. ①3：②2：③若：④-11：⑤3：⑥-6.101001001（每相邻两个1之间依次多-个0）： ⑦-0.1；⑧-8. (1)整数集合： (2)分数集合： *}: (3)负有理数集合：{ (4)无理数集合：{ …} 4.√16的算术平方根是 的平方根是 5.串题训综如图，点A表示一4，点D表示-5. (1)在数轴上标出原点O: (2)点B所表示的数为 (3)点A所表示的数的相反数为 ,倒数为 ,绝对值为； (4)若C,B两点到原点的距离相等，且C,B两点在原点的两侧，则点C表示的数为： (5)点B,D两点之间的距离为· 6.计算： 1)4-2sin45°+(3-x)°-(3)； (2)-5×是+25×号-25×量 3 刷真题·探考点 命题点1 用正、负数表示具有相反意义的量 8.(2024·湖南中考)计算：一（一2024）= 1.(2024·湖南中考)在日常生活中，若收入 300元记作十300元，则支出180元应记作 命题点4 科学记数法 9.(2024·湖南中考)据《光明日报》2024年3月 A.+180元 B.+300元 14日报道：截至2023年末，我国境内有效发 C.-180元 D.-480元 明专利量达到401.5万件，高价值发明专利 2.(2023·永州中考)我国古代数学名著《九章 占比超过四成，成为世界上首个境内有效发 算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相 明专利数量突破400万件的国家.将 反，要令正负以名之.”如：粮库把运进30t粮 4015000用科学记数法表示为 ( 食记为“十30”.则“一30”表示 ) A.0.4015×10 B.4.015×10 A.运出30t粮食 B.亏损30t粮食 C.40.15×10 D.4.015×10 C.卖掉30t粮食 D.吃掉30t粮食 10.(2023·衡阳中考)据共青团中央2023年5 命题点2 实数的分类 月3日发布的中国共青团团内统计公报，截 3.(2023·长沙中考)下列各数中，是无理数 至2022年12月底，全国共有共青团员 的是 ( 7358万.数据7358万用科学记数法表 A号 B.元 C.-1 D.0 示为 ( A.7.358×10 B.7.358×10 4.(2021·岳阳中考)在实数3，一1,0,2中，是 C.7358×10 D.7.358×10 负数的是 11.(2021·郴州中考)为响应习近平总书记“坚 A.3 B.-1 C.0 D.2 决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科 命题点③ 实数的有关概念 研团队最近攻克了7nm的光刻机雄题，其 5.(2023·郴州中考)一2的倒数是 中1nm=0.000000001m,则7nm用科学 记数法表示为 A.2 C.-2 A.0.7×10m B.7×10-8m 6.(2022·永州中考)如图，数轴上点E对应的 C.0.7×10-8m D.7×109m 实数是 命题点5 实数的大小比较 12.(2023·怀化中考)下列四个实数中，最小的 A.-2 B.-1 C.1 D.2 数是 ( 7.(2020·株洲中考)一实验室检测A,B,C,D A.-5 B.0 c D.② 四个元件的质量（单位：g),超过标准质量的 克数记为正数，不足标准质量的克数记为负 13.(202·指州中考)在有理数-2、一之0，号 数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元 中，绝对值最大的数是 ( ) 件是 ( ) +1.2g -2.3g +0.9g -0.85 A.-2 C.0 D. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14.(2021·怀化中考)比较大小：号 B C D (填“>”“<”或“=”) 命题点6实数的运算 (2)(2023·益阳中考)3-1|-(-√3)2 15.(2023·常德中考)下面算法正确的是( 12×(-3): A.(-5)+9=-(9-5) B.7-(-10)=7-10 C.(-5)×0=-5 D.(-8)÷(-4)=8÷4 16.(2024·长沙中考)“玉兔号”是我国首辆月 球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测 器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最 低温度是一180℃，最高温度是150℃，则 它能够耐受的温差是 (3)(2024·长沙中考)()+1-31 A.-180℃ B.150℃ C.30℃ D.330℃ 2c0s30°-（π-6.8）°. 17.(2023·湘潭中考)已知实数a,b满足(a一 2)2+|b+1=0,则a的值为 18.计算： )(2024·湖南中考)1-31+(-2)”+ cos60°-√4： 拓视野·提素养 1.科技热点情境(2024·常州中考)2024年 一=尝一 5月10日，记者从中国科学院国家天文台获 图② 悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离 A.(-13)+(+23)=10 地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄 B.(-31)+(+32)=1 今直接探测到的最远的一批中性氢星系 C.(+13)+(+23)=36 50亿光年用科学记数法表示为 D.(+13)+(-23)=-10 A.50×103光年 B.5×108光年 3.○学科融合·骑物理(2024·广州中考)如 C.5×10光年 D.5×10°光年 图，把R1,R,R三个电阻串联起来，线路 2.注重数学文化在《九章算术注》中用不同 AB上的电流为I,电压为U,则U=R1+ 颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示 IR2十1R.当R1=20.3,R2=31.9,R= 正数和负数（白色为正，黑色为负），图①表示 47.8,1=2.2时，U的值为 的是(+21)+（一32）=一11的计算过程，则 图②表示的计算过程是 =-一H 温馨提示 精完成（特练车》P1~2 图①D 5透行二放根式谣算时，结朵多第化或异筒二次服式《答案不滩 6,解得工一人把x一1代人①，得方一无.六那方程缓的解 参考答案 一，合理率国》 务3， 第3节整武及因武分幅 精讲本 a+」+ie- 阳织植理 1思席一：第：投鸡有￥只，州免有(15=)只，由题位，得2中 第一编回归教材夯基幅 a+2 D用2利3青数明单高令3甲阳+b十： 生品背·品当 4+2 4小一)=4，解得2=21,1-=35一四=12月》.答：明 第一章。数与式 有)其，免有2月 8-b-￥金.t年●=①“8h”38W 第1节实数及其运辑 乳新，或-中2点十兽-学4号出年 b十南e+W+G+一W①生2h+ 县6二解，位用有x只，线有)见由照要测5可 加识楼理 3ma卡&+：)Ba+)(a=1●0e士) ①无裂不饼耳色一一—对成念-。的后0由-1 基碧板习 鲁二格着商有n只兔有过见 y=1 杯等8雨离原大单入甲一-青10 1,1D2,《1)61a十4b)(2)①1452玉(1)①③0 天题亮一解设人数为，由题立，得心一1一7：十，解刹= ±1第1m的1心010→010等士石 (8®8a中30地(480)-青 当a-5十15-1时，原式=W5+065-10=5-1= 1,年一方=1，卷：人数为7，物价为5打 2gt11 0相反数0直数0后0别，1●9：土1的> 4)24转23》8>①=1)，-明 用二条，人家为三海件为有)南事骨 8小3-<>单-分8寸雪1 2x州2r十1)02-1 5,解，1)那式=4给一b-十2：=一4，)那式=十3出y 像-11片9991作 品一如=品眼式=4一2■2 一致等人面有尚独为日位 ry-3一-2ym-3y(3)原式=Y+22y-ry 山，原式-（号+高）+”- 【空式■11解：方法一：2共上人介伙买金，金价为y钱.血题章， 基隐体习 +2ry=4y一4原式=3一2+4d=1a', 1B2.B【度式题1多×10 解：累式=442一y-42+12xy一9了》+《一231=(-10y 每0一】0”得二3，答共日人合铁买金.金 十一百当·取-，2时分式无意义，。 100-100=s, 1=900 支12④唐2)0壶()通0〔41心西题 +2x》十【-2y》=)-当z=1ym一含时，原式=5× 价为P的0线：方陆二：设共人合优买金，由思意，得0g 1±号牛-时 0-20-6×1=-16. 副真座·餐考点 一1该.嘴a两一1时率式一”一京（该再0叶哪 340m0nx一100.解周x=33.20x-30=430×31- 多40=960（线.落，共3人合欲买金，量角为98）分 a04一子460-398 1,G2A3s4n天2g1D1 六-) 【型式题1解：方法一：？合饮人数为，羊价为y线由章，周 长留，0果收-2x号+1-3一区的家这-备×+名 盖解，原式-2m一+2十一9=一我有m=子时，眼式 石视丽+曼素落 行”黑特一红.答合铁人置务，单给务0侵 7十1=y, 1y=0 -x号-1-1， 方信二：设合民人数为玉，角显意，得：十时=红十3，解得g一 3.解，家式=2-(+《a-6ab十92=a-十d一4b 1.5工十5-5×21十48-150（钱）.年，合线人数为2社，平价为 刷真思·探考点 广品-当。-10时原 150线. 1.C2.A3B4B5.B6.A1.D8.2249B W一26当-1,6-宁时.原式-3×(-1-6× 。-器 4更睛一：解：虚大阳同有上人，个刚属有岁人根繁庭意，海 10.A1.D2ABA4>18.D1返DR.是 (-×分-21 [1+3-10, 2.解，(1)①2)否太括号时，折号内的第二项授有变号 8.轿，10式=+1+--子.8原式--+4 .解，象式m-4相+a一1+1=一4a=2x一24). 〔r+3 1e+1w0,3.3-2a=-1.g式-2×《-1》=-& 1-年*g1年房·2可 过，丝 思略二，解：量大和青有上人，则小和青有《10一x》人根据越 m原式-1+-2×9-1-4+8-有-1-3 线.A0B1.30e+)'3.1+(1-) 干y 十y 鱼.哥+10上-100，wr-可，则1m一-T5,答1大称 低限野·慢表恭 及一4-a。-1》4n+ 第二章守短（组）与不等式（氢） 州有纺人，小释角有5人 1C2.A3220 后视野，损素界 第5节一次方程与方程相 民解：方热一登孩高有客Wx间：整区章，得7：十丁一红一 第2节二次根式 1.B 知装镜理 1》,解得一段二7+7一间.答：藏店有客贵果国，离客引人为 加织候理 第4节分式 陆二设该出有靠用于用，南客为人，限据题夏，得 ①经昼四数成网式①，通一。®量二次眼式 想识被理 中一”解限一答孩两有寄牌得：商客经人 重v庙@V ①字母心H中0①A=0且0金同号四异号 9x一D=3 1B2段3,1)=120A=1,5 中品·舌始的 刚直易·视号 蒂稳格可 LIc号 (2江为任意实数(8x2具x≠6 基型然习 4a3%×0+0-w-101+宁一 1D2.B3A4A5.1 长如：①×2，得1-4y=8.@4中，得x-环，■博1-五将 22n里m0,-m 1,G1B3,1)≠=22)=231-=1 4082国- 5.解：C1)去分县，得5以3r一1》2十2》一（表新号，得15r 一5代人①，料3一y=1.都期y=名，云原方星恒的解 一6=8红+4一0林项，得1i红一4上■4一10十5.合寿简舞项，料 3(11-2)1(3i〔424.108：4(28 /5, y=2. 刷真题·带考点 江一1，系数轮为1，得一(21由①，得一一起 1.A8.B.209 11答案不4-》2,43.C4C5.06D1,B -2(m十)两-2m一长n为调是一1<n<4豹整数，且m4 代人，得8十一3)=，解得=2.把=艺代人①，料 1氧：2高餐的平均速度为本n,则春通兴不的平均速度为 鼠1V1V(卷案不唯-一 ,南≠3，m=0成1.当刚=4时，解式=一6.{成当m=1时 《一00)/根据意，得+40=头5（一00，解料x 买视野：慢表带 原或=-2X1-0=-司 一.方限板防解是一 9,等：夜统的平均雀度为四Sk口h 上就或3安利玉因 明真亚·探考点 挖典题，板重点 11,解：(1)设一片银容树叶一年的早均博空量为工暖：一片国规 4 L朝(1》代人如戒1由②，得y=2x-1@.3③代人①： 第任考一一 因有将错分数化为后分数再化可任券二： 1.B玉x19及-14.15 停3十2D-11,都得x一2把=2代入@，得y-1,源 件科一年防子背泽车要为配相型器系：骨仁司 率式-2++-√骨-3+2-号-3+号任#温，在 解原式-（马》会-点+-山 方程用0事为仁二受ee代人，博+-（侍+）小- 二奶着，一片领有树叶一车的子均南中健为0型，一片网 y=22 湘南数学·本专基发·器1丽将48夏) 期南数学·华专笔贵+第】夏（异8男）