第9章 分式 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年七年级下册数学同步课件(沪科版)
2025-03-19
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教辅
内容正文：
数 学
七年级下册 HK
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第9章 分式
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全章综合训练
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中考
考点1 分式及其基本性质
1.【2024甘肃中考】计算： ( )
A
A.2 B. C. D.
【解析】原式 .故选A.
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2.【2024江苏镇江中考】使分式有意义的 的取值范围是______.
【解析】当分母，即时，分式有意义.故答案为 .
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3.【2024山东济南中考】若分式的值为0，则实数 的值为___.
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【解析】因为分式的值为0，所以且，解得 .故答案为1.
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4.【2024北京中考】已知，求代数式 的值.
【解】原式 .
因为，所以，所以原式 .
关键点拨
通过将分式的分子、分母分别分解因式，将其化为 是解题的关键.
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考点2 分式的运算
5.【2024河北中考】已知为整式，若计算的结果为，则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为计算的结果为，所以 ，所以
，所以 .故选A.
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6.【2024四川达州中考】先化简：，再从， ，0，1，2之
中选择一个合适的数作为 的值代入求值.
【解】原式
.
因为，，且，所以取1，当 时，原式
.
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考点3 分式方程及其应用
7.【2024黑龙江龙东地区中考】已知关于的分式方程无解，则 的
值为( )
A
A.或 B. C.或 D.
【解析】去分母并整理得.①当 时,整式方程
无解,即原分式方程无解,此时;②当时，解得.因为关于 的
分式方程无解，所以，解得，则 ，解得
，经检验,是方程的解.综上,或 .故选A.
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关键点拨
先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论.
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8.【2024山东东营中考】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明
城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的 ，
小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年
5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米.设该市去年居民用水价格为元/米 ，
则可列分式方程为_ _____________.
【解析】因为该市今年每立方米水费上涨原价的，去年居民用水价格为元/米 ，
所以该市今年居民用水价格为元/米.根据题意得 .故答案
为 .
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9.【2023黑龙江龙东地区中考】2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞
船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看
现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文
化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同.
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元.
【解】设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件 元.
根据题意,得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
.
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元.
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（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14 800元，不少于
14 750元购买文化衫，求有几种购买方案.
【解】设购买件A款文化衫，则购买 件B款文化衫.
根据题意得
解得 .
又因为为正整数，所以 的值可以为275，276，277，278，279，280，所以共有6
种购买方案.
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（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利
元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求 值.
【解】设购买300件两款文化衫所需总费用为 元，则
.
因为（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，所以的值与 值无关，所以
，所以 .
答： 值为5.
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章测
一、选择题（共30分）
1.已知分式（， 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是
( )
的取值 2
分式的值 无意义 0 1 2
A
A. B. C. D. 的值不存在
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【解析】因为当时，分式无意义，所以，所以 ，故B不
符合题意．因为当时，，所以，所以 ，故A符合题
意．当时，，所以，故C不符合题意．当时， 的值不
存在，即 的值不存在，故D不符合题意．故选A.
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2.【2023安徽合肥瑶海区期末】若，，则 的值是( )
D
A.2 B. C.4 D.
【解析】因为，，所以原式 .故
选D.
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3.【2024山东德州期末】小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为 千米
/时，下山的速度为 千米/时，则小强上山和下山的平均速度为( )
D
A.千米/时 B. 千米/时
C.千米/时 D. 千米/时
【解析】 （千米/时）.故选D.
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4.【2024安徽淮北期末】若整数使得关于的方程 的解为非负整数，
且关于的不等式组 至少有3个整数解，则所有符合条件的整数
的和为( )
A
A.7 B.5 C.0 D.
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【解析】，方程两边同时乘,得 ，展开，
得，解得.因为整数使得关于的方程 的
解为非负整数，所以，3，6，9，12， ，解得， ，1，4，
7， .因为分式方程中的分母，所以，即 ，所以
，1，4，7， .由①得，由②得 ，所
以的取值范围为.因为关于的不等式组 至少有3
个整数解，所以，所以，1，4，7，所以所有符合条件的整数 的和
为 .故选A.
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5.【2024安徽合肥期末】对于两个不相等的实数，，我们规定， 表示
，中的较大的值，如， ，按照这个规定，方程
的解为( )
A
A.0 B. C.0或 D.无解
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【解析】若，则，去分母,得 ，去括号,
得，解得.经检验， 是原分式方程的解，所以
，.因为，所以不成立,故舍去；若 ，
则，去分母，得,解得.经检验， 是原
分式方程的解，所以,.因为,所以 成立,所以
.故选A.
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关键点拨
分情况讨论：; .
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6.已知，，满足，且 ，则下列结论错误的是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
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【解析】A选项，因为，且，所以， ，所以
，故A不符合题意选项，因为，，所以 .因为
，所以，整理得，故 ，整理得
，故B不符合题意选项，因为，， ，
所以,，，所以， ，所以
，所以，故C不符合题意选项，因为 ，
，，所以，，所以 ，
则，所以 ，故D符合题意.故选D.
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二、填空题（共20分）
7.方程的解是 ___.
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【解析】原分式方程去分母,得，解得.经检验， 是分式
方程的解.
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8.【2023安徽黄山质检】计算
的值为____.
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【解析】原式
，
故答案为 .
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9.在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同力
度的情况下，运用长度比为的琴弦进行敲击，会发出，， 这三个
调和的乐音．从数学角度看，会发现这样一个规律： ，我们把12，
15，10称之为一组调和数，若以下有一组调和数：，5，，则 ____．
15
【解析】根据题意得，去分母得，解得 .检
验：当时，，所以分式方程的解为 ．故答案为15．
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10.【2024广东深圳罗湖区校级期末】若， ，则
___.
0
【解析】因为， ，所以
，所以
.故答案为0.
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技巧点拨
解题的技巧在于“1”的巧妙应用.
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三、解答题（共50分）
11.【2023安徽天长一模】已知 .
（1）化简 ；
【解】 .
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（2）当，时，求 的值.
【解】因为， ，
所以 ，
所以，所以或 ，
所以的值为或 .
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12.小华想复习分式方程，但由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
【解】方程两边同时乘 ，
得 ，
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
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（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是方程的增根是 ，原分式方程无
解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少.
【解】设“？”为 ，
方程两边同时乘,得 .
由于 是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式，得 ，
解得 .
所以原分式方程中“？”代表的数是 .
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思路分析
（1）把方程中的“？”替换成5，再解分式方程即可；
（2）设“？”为，将分式方程化成整式方程，再代入分式方程的增根 ,可
求得 的值，即可得到“？”代表的数.
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13.【2024安徽合肥模拟】2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”寓意着吉祥如意、
平安幸福，深受大家喜欢.某商场第一次用2 400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快
售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了 ，同样用2 400元购
进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少.
【解】设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是 元，则第二次购进的“龙辰
辰”玩具每件的进价是 元.
由题意得，解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元.
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14.【2024安徽潜山期末】观察下列等式：
第1个等式： .
第2个等式： .
第3个等式： .
……
按照以上规律，解决下列问题：
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（1）请直接写出第4个等式：_ ________________.
【解】根据规律可知第4个等式为 ，
故答案为 .
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（2）写出你猜想的第个等式（用含 的等式表示）.
【解】第个等式为 .
关键点拨
从已知等式中找出规律是解题关键.
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15.【2023江苏扬州高邮校级调研】我们定义：如果两个分式与 的差为常数，
且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于 的“和雅值”.
如分式，，，则是 的
“和雅式”，关于 的“和雅值”为2.
（1）已知分式，，判断是否为 的“和雅式”?请说明理由.
【解】不是 的“和雅式”.理由：因为
，
所以不是 的“和雅式”.
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（2）已知分式，，是的“和雅式”，且关于 的
“和雅值”是1，求 的值.
【解】由题意得,，所以 ，
所以，所以,，解得，所以 .
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（3）已知分式，，是的“和雅式”，且关于 的“和雅值”
是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的 的值
之和.
【解】由题意得,,，所以 ，
所以,所以 .
又因为的值为整数，为整数，所以的值为或 ，
所以的值为0，2，4，6，所以 .
故所代表的代数式为,所有符合条件的 的值之和为12.
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