精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三下学期第七次质量检测数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2025届高三第七次质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题；命题．则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解和的真假性，即可求解. 【详解】由可得，故为真命题， 当，故为真命题， 故选：A 2. 已知复数满足，则复数在复平面里位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数的模的计算公式求出复数在复平面内对应的点的轨迹方程，即可得解. 【详解】设， 因为， 所以，即， 所以复数在复平面内对应的点是以为圆心，为半径的圆， 所以复数在复平面里位于第一象限. 故选：A. 3. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台表面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 4. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ） A. 196 B. 197 C. 198 D. 227 【答案】D 【解析】 【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第16项. 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即 可知，，, 累加即可得到， 则，则 故选：D. 5. 设是方程的两根，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故在上单调递增，则AB显然错误； 对于CD，， 由图象可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 7. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接 所以 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：B 8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得，在分析各个选项的系数，即可求解. 【详解】一个砝码有，9一种情况，种情况， 两个砝码有，，，几种情况种 三个砝码有，，，，，，几种情况种 四个砝码有，，，，，种， 五个砝码有，，种， 总计种. 对A，选项系数为，故不符合，所以A错误； 对B，的系数是选个带的，其他的个括号选常数项， 可得系数为，故B错误； 对C， 系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为 有两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为， 系数为与组成，其他为常数，，系数为， 系数为与组成，其他为常数， ，系数为， 系数为与组成，其他为常数， ，系数为， 同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为 同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数， 同理由五项组成其他项为常数，则系数为， 综上系数为，故C正确； 对D， ， 系数直接有一项，其他是常数项，可有种情况，系数为， 有与组成，其他是常数项，可有, 故D错误. 故选：C 二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数和第60百分位数都为5 B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量服从正态分布，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用众数和第60百分位数的定义判断A，利用相关系数的意义判断B，利用方差的性质判断C，利用正态曲线的性质判断D即可求解. 【详解】数据中的众数为，所以第60百分位数为第6个数据5，选项A正确； 当时，越大成对样本数据的线性相关程度越弱，选项B错误； 选项C正确； 选项D错误， 故选：AC 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数为12 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C错误； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为 D. 若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D. 【详解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，， 所以，又E，F分别是棱的中点， 所以，所以，平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 因为N，E分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形CDNE为平行四边形， 所以，又平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF，又，MN，平面BDNM， 所以平面平面CEF， 点P是正方形内的动点，且平面CEF， 所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确； 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，设， 则， 所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆， 所以点P的轨迹长度为，故B正确： 如图，将平面CEF翻折到与平面共面， 连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值， ∵，且， 所以点Q为EF的中点，所以， 所以， 即的最小值为，故C错误： 如图， 连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为， 若P是棱的中点，则， 所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心， 过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上， 连接OP，设，则， 连接OC，，所以， 所以，解得， 所以， 点到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为，所以截面的面积为，故D正确. 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由，得， 因为，所以， 则. 故答案为：. 13. 若，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，诱导公式及二倍角的正弦公式化简即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 14. 抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____. 【答案】. 【解析】 【分析】利用抛物线性质，可得焦点在轴上，即椭圆的，再利用角平分线的性质，结合正弦定理可证明，，然后利用已知条件可求得，再利用导数来求切线方程，构造递推关系，可判断等比数列，问题即可求解. 【详解】因为焦点在轴上， 所以椭圆的焦点在轴上，故，且， 由是的内心，交轴于，连接，则平分， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 其中，故，又， 所以式子①与②相除得：， 根据已知条件：，故， 同理可得，， 由椭圆定义可知，， ，解得，即焦点坐标为，所以抛物线方程为， 由，故抛物线在处的切线方程为， 即，又，故， 令得，，因为，所以， 所以是首项16，公比的等比数列， 即， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，， 故， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得， 因为所以由得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为 16. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）或 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，或. 【小问2详解】 由 得， 又，所以. 由（1）得，故， 而为三角形内角，. 由正弦定理，得， 故面积. 17. 如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 在中， 所以，解得， 所以，， 所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以，即， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，所以， 显然为平面的一个法向量， 所以， 平面与平面的余弦值为. 18. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次．答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． （1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率； （2）记甲第次答题所得分数的数学期望为． ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）： ②若，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答. （2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答； ②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答. 【小问1详解】 甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率； 【小问2详解】 ①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为， 则， 当时，， 所以，且， ②由①知，当时，， 而， 因此数列以为首项，为公比的等比数列， ， 于是， 由得：， 因，则有正整数， 所以的最小值是. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆长轴长是短轴长的倍，直线与相切，与圆相交于两点．当垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）对于给定的点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为． （i）若分别为线段与圆上任意一点，为圆上一点，当的面积最大时，求； （ii）若均存在，记两者中的较大者为．已知，均存在，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再长轴和短轴的关系求出即得. （2）（ⅰ）在直线的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心到距离，列出的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得. 【小问1详解】 因为当垂直于轴时，，而直线与相切，则解得， 又椭圆的长轴长是短轴长的倍，则则， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）当的斜率存在时，设的方程为： 由消去得：， 由直线与椭圆相切，得整理得 于是圆心到直线的距离 则的面积为 设求导得 当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此当时，取得最大值，此时， 当的斜率不存在时，由（1）知， 由得则， 对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值，所以 （ii）因为均存在， 设点且 设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设 令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则 因此 而在坐标平面中，又点是集合中到点的最近点，则 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2025届高三第七次质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题；命题．则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知复数满足，则复数在复平面里位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ） A. 196 B. 197 C. 198 D. 227 5. 设是方程两根，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数最大值为 D. 函数的最小值为 7. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数和第60百分位数都为5 B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量服从正态分布，则 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数为12 D. 的最小值为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为 D. 若是棱中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________． 13. 若，则实数的值为__________． 14. 抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 17. 如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角余弦值． 18. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次．答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． （1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率； （2）记甲第次答题所得分数的数学期望为． ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）： ②若，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，直线与相切，与圆相交于两点．当垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）对于给定的点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为． （i）若分别为线段与圆上任意一点，为圆上一点，当的面积最大时，求； （ii）若均存在，记两者中的较大者为．已知，均存在，比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $