（易错讲义）第四单元 比例（7个易错点+5个常考点+11个突破点）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 比例 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：七大易错知识点 2 第二部分：五大常考易错点 3 易错点一：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化 3 易错点二：没有理解比例的概念,导致判断错误。 4 易错点三：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例 4 易错点四：在比例尺改写时,由于没有统一单位而出现改写错误。 4 易错点五：求比例尺时,写错了图上距离和实际距离的位置 4 第三部分：十一种易错题型突破 5 突破题型一比和比例的区别和联系 5 突破题型二比例的意义 5 突破题型三比例的基本性质 6 突破题型四比例尺的意义 7 突破题型五比例尺的应用之求图上距离 7 突破题型六比例尺的应用之求实际距离 8 突破题型七图上距离和实际距离的换算 9 突破题型八比例的应用 10 突破题型九图形的放大和缩小 11 突破题型十解比例 11 突破题型十一作放大或缩小后的图形 12 第一部分 七大易错知识点 1、错误理解放大或缩小的意义。 用放大镜把一个图形放大,图形中各条边放大,而各个角的度数不变。 2、混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化。 把正方形按n：1放大后,各边放大到原来的n倍,面积放大到原来的n倍;把正方形按1：n缩小后,各边缩小到原来的,面积缩小到原来的。 3、未能正确理解比例的意义。 正确理解题意,根据比例的意义列出关系式,正确解答。 4、对比例的基本性质理解不透彻。 若ax = by,则x：y=b：a(a、b、x 、y均不为0)。 5、错误运用比例的基本性质解比例。 把比例转化成方程时,应该是外项的乘积等于内项的乘积。注意不要把内项与外项相乘。 6、混淆了比例尺的意义。 比例尺是一个比,不能加单位名称。 7、求比例尺时,写错了图上距离和实际距离的位置 求比例尺时,图上距离是比的前项,实际距离是比的后项;放大比例尺一般要化成比的后项是1的形式。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化 选择:把一个边长2 cm的正方形按2:1放大后,面积放大到原来的( )倍。 A.2 B.4 C.6 D.8 【错误答案】A 【错解分析】本题错在以为图形按2:1放大是将图形的面积按2:1放大;图形按2:1放大,是指各边放大到原来的2倍,面积应放大到2×2=4倍。 【正确答案】B 易错点二：没有理解比例的概念,导致判断错误。 判断:两个比都能组成一个比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】没理解比例的概念。并不是所有的两个比都能组成比例。两个比能不能组成比例,可以根据比例的意义来判断。表示两个比相等的式子叫作比例,确定两个比的比值是否相等，就能知道它们能否组成比例。 【正确答案】错误 易错点三：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例 判断:如果2x=3y( x 、y都不为0),则x:y=2:3。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在改写比例时,把外项和内项混淆了,在改写比例时,x是外项,和x相乘的2一定也是外项,即如果2x = 3y,则x :y=3 :2。 【正确答案】错误 易错点四：在比例尺改写时,由于没有统一单位而出现改写错误。 将下面的线段比例尺改写成数值比例尺。 【错误答案】1：600 【错解分析】错误解答错在改写比例尺时忘记统一单位,并且没有按照图上距离1厘米代表的实际距离进行改写。对线段比例尺认识不清。 【正确答案】1：20000 易错点五：求比例尺时,写错了图上距离和实际距离的位置 一个精密仪器的部件,实际长8 mm,在图纸上量得长4 cm,求这幅图的比例尺。 【错误答案】4 cm=40 mm 8 mm :40 mm=1:5 答:这幅图的比例尺是1:5. 【错解分析】本题错在求比例尺时,把图上距离和实际距离的位置颠倒了。 【正确答案】4 cm= 40 mm 40:8=5:1 答:这幅图的比例尺是5:1。 第三部分 十一种易错题型突破 突破题型一比和比例的区别和联系 1．能与组成比例的是（    ）。 ① ② ③ ④16∶20 A．① B．② C．④ 2．下面各式中，能与组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面各组比中，（    ）组两个比可以组成比例。 A．5∶6和6∶5 B．1∶8和0.25∶32 C．8∶7和2∶1.75 D．∶0.125和1∶3 突破题型二比例的意义 4．从20的因数中选出四个数组成两个不同的比例：（ ）和（ ）。 5．找出24的因数，利用其中4个不同的数组成比例是（ ）。（写出一种即可） 6．小莉用水和蜂蜜为一家人分别调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表。 四杯蜂蜜水的配比情况表： 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜/mL 12 11 10 14 水/mL 60 44 60 70 把最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第（ ）杯蜂蜜水，你判断的理由是（ ）。同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况写出一个比例是（ ）。 突破题型三比例的基本性质 7．如果x、y互为倒数，＝，那么6a＝（ ）。 8．在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是（ ）和（ ）。 9．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 3.2∶（ ）＝0.8∶5      ＝（ ）∶10      ＝15∶（ ） 突破题型四比例尺的意义 10．在一幅地图上，1.5厘米长的线段表示6千米的实际距离，这幅地图的比例尺是（ ）。 11．在一幅地图上用3厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是（ ）。 12．一个长2.5毫米的零件，在图上用30厘米表示，则这幅图的比例尺是（ ）。 突破题型五比例尺的应用之求图上距离 13．李阿姨的身高是1.60米，在她和女儿合影的照片上高4厘米，这张照片的比例尺是（ ）。她女儿的身高是1米，在这张照片上高（ ）厘米。 14．学校篮球场的长是28米，宽是15米，把这个篮球场画在一张图纸上，长是5.6厘米，这张图纸的比例尺是（ ），在这张图纸上这个篮球场的宽应画（ ）厘米。 15．在一幅地图上，图上12厘米表示实际距离60千米，这幅地图比例尺是（ ）；如果两地之间实际相距80千米，在这幅图上相距（ ）厘米。 突破题型六比例尺的应用之求实际距离 16．一幅地图，它的线段比例尺是，改写成数值比例尺是（ ），已知图上距离8厘米，实际距离是（ ）。 17．一块手表的一个零件，画在一幅比例尺是的图纸上，量得图上的长度是4.5厘米，这个零件的实际长度是（ ）厘米。 18．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A城与B城的距离是10厘米。A、B两城实际相距多少千米？ 比例尺1∶5000000，说明实际距离是图上距离的（ ）倍。列式为（ ），（ ）厘米＝（ ）千米。 比例尺1∶5000000，就是图上距离1厘米表示实际距离（ ）千米。列式为（ ）。 解：设A、B两城实际相距x厘米。 列出比例：（ ）解得x＝（ ），（ ）厘米＝（ ）千米，所以A、B两城实际相距（ ）千米。 突破题型七图上距离和实际距离的换算 19． 图上距离 实际距离 比例尺 5 800m 3.5 1∶40000 450 1∶3000000 20．填表。 图上距离 实际距离 比例尺 2厘米 150米 （            ） 2.5厘米 （        ） 1∶5000000 （        ） 1.5厘米 12∶1 21．算一算，填表。 图上距离 实际距离 比例尺 4cm 1600m 4.8km 1∶200000 18cm 1∶3000000 突破题型八比例的应用 22．把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。例如，当芭蕾舞演员踮起脚来，下半身和身高的比非常接近黄金比，所以看起来特别的美。这种神奇的比被广泛应用，从动植物到人类、从数学到天文现象、从日常生活到艺术创作…… 在研究一些名曲时发现，乐曲的转折点通常安排在全曲的黄金分割点处。按照这种做法，如果是89小节的乐曲，转折点应设在（ ）小节处。（保留整数） 23．《中华人民共和国国旗法》规定：国旗长和宽的比是3∶2，国旗的通用尺寸为五种，各界酌情选用。1号国旗长288cm，宽（ ）cm；4号国旗长（ ）cm，宽96cm。 24．张阿姨调制了一杯牛奶，用了50克奶粉和150克水。照这样计算，210克水中应加入（ ）克奶粉。 突破题型九图形的放大和缩小 25．一个长4厘米、宽2厘米的长方形按3∶1的比放大后，得到的新图形的面积是（ ）平方厘米。 26．将三角形按3∶1的比放大，放大后的三角形的底与原来的比是（ ）∶（ ），高的比是（ ）∶（ ），面积的比是（ ）∶（ ）。 27．把一个三角形按3∶1放大，原来三角形的底是5厘米，高是4厘米，放大后的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 突破题型十解比例 28．解方程或比例。 4.8×2.5－75%x＝2       x∶＝4∶7          ＝ 29．求未知数x。 ①－1.5＝11.5         ②－25%＝24        ③7∶0.4＝21∶ 30．解比例。          突破题型十一作放大或缩小后的图形 31．在下面的方格纸上画图。 （1）将三角形①的各边按3∶1的比放大，得到三角形②。 （2）将三角形②的各边按1∶2的比缩小，得到三角形③。 32．操作。 （1）将图中的三角形按照1∶2的比例缩小后画在方格纸上。 （2）画出三角形先绕O点顺时针旋转90°，再向右平移7格，然后向上平移2格得到的图形。 33． （1）将梯形绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）以点O为圆心，按2∶1的比画出圆放大后的图形。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 比例 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：七大易错知识点 2 第二部分：五大常考易错点 3 易错点一：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化 3 易错点二：没有理解比例的概念,导致判断错误。 4 易错点三：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例 4 易错点四：在比例尺改写时,由于没有统一单位而出现改写错误。 4 易错点五：求比例尺时,写错了图上距离和实际距离的位置 4 第三部分：十一种易错题型突破 5 突破题型一比和比例的区别和联系 5 突破题型二比例的意义 6 突破题型三比例的基本性质 8 突破题型四比例尺的意义 9 突破题型五比例尺的应用之求图上距离 10 突破题型六比例尺的应用之求实际距离 12 突破题型七图上距离和实际距离的换算 14 突破题型八比例的应用 16 突破题型九图形的放大和缩小 18 突破题型十解比例 19 突破题型十一作放大或缩小后的图形 21 第一部分 七大易错知识点 1、错误理解放大或缩小的意义。 用放大镜把一个图形放大,图形中各条边放大,而各个角的度数不变。 2、混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化。 把正方形按n：1放大后,各边放大到原来的n倍,面积放大到原来的n倍;把正方形按1：n缩小后,各边缩小到原来的,面积缩小到原来的。 3、未能正确理解比例的意义。 正确理解题意,根据比例的意义列出关系式,正确解答。 4、对比例的基本性质理解不透彻。 若ax = by,则x：y=b：a(a、b、x 、y均不为0)。 5、错误运用比例的基本性质解比例。 把比例转化成方程时,应该是外项的乘积等于内项的乘积。注意不要把内项与外项相乘。 6、混淆了比例尺的意义。 比例尺是一个比,不能加单位名称。 7、求比例尺时,写错了图上距离和实际距离的位置 求比例尺时,图上距离是比的前项,实际距离是比的后项;放大比例尺一般要化成比的后项是1的形式。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化 选择:把一个边长2 cm的正方形按2:1放大后,面积放大到原来的( )倍。 A.2 B.4 C.6 D.8 【错误答案】A 【错解分析】本题错在以为图形按2:1放大是将图形的面积按2:1放大;图形按2:1放大,是指各边放大到原来的2倍,面积应放大到2×2=4倍。 【正确答案】B 易错点二：没有理解比例的概念,导致判断错误。 判断:两个比都能组成一个比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】没理解比例的概念。并不是所有的两个比都能组成比例。两个比能不能组成比例,可以根据比例的意义来判断。表示两个比相等的式子叫作比例,确定两个比的比值是否相等，就能知道它们能否组成比例。 【正确答案】错误 易错点三：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例 判断:如果2x=3y( x 、y都不为0),则x:y=2:3。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在改写比例时,把外项和内项混淆了,在改写比例时,x是外项,和x相乘的2一定也是外项,即如果2x = 3y,则x :y=3 :2。 【正确答案】错误 易错点四：在比例尺改写时,由于没有统一单位而出现改写错误。 将下面的线段比例尺改写成数值比例尺。 【错误答案】1：600 【错解分析】错误解答错在改写比例尺时忘记统一单位,并且没有按照图上距离1厘米代表的实际距离进行改写。对线段比例尺认识不清。 【正确答案】1：20000 易错点五：求比例尺时,写错了图上距离和实际距离的位置 一个精密仪器的部件,实际长8 mm,在图纸上量得长4 cm,求这幅图的比例尺。 【错误答案】4 cm=40 mm 8 mm :40 mm=1:5 答:这幅图的比例尺是1:5. 【错解分析】本题错在求比例尺时,把图上距离和实际距离的位置颠倒了。 【正确答案】4 cm= 40 mm 40:8=5:1 答:这幅图的比例尺是5:1。 第三部分 十一种易错题型突破 突破题型一比和比例的区别和联系 1．能与组成比例的是（    ）。 ① ② ③ ④16∶20 A．① B．② C．④ 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，先求出∶0.75的比值，再分别求出选项A、B、C中4个比的比值，据此作出判断。 【解答】∶0.75＝0.6÷0.75＝0.8 A． B． C． 故答案为：C 【点评】此题考查了求比值的方法及比例的意义。 2．下面各式中，能与组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表示两个比相等的式子叫做比例，先求出12∶11的比值，再逐项求出每个比的比值，即可解答 【解答】12∶11 ＝12÷11 ＝ A．11∶12＝11÷12＝；因为≠，不能组成比例； B．5.6∶6.5＝5.6÷6.5＝；因为≠，不能组成比例； C．∶＝÷＝，因为≠，不能组成比例； D．∶＝÷＝，因为＝，能组成比例。 故答案为：D 【点评】本题根据比例的意义判断两个比能组成比例，求出比值，比值相等，组成比例，解答问题。 3．下面各组比中，（    ）组两个比可以组成比例。 A．5∶6和6∶5 B．1∶8和0.25∶32 C．8∶7和2∶1.75 D．∶0.125和1∶3 【答案】C 【分析】根据“表示两个比相等的式子叫做比例。” ，分别求出各选项中的比值进行比较即可。 【解答】选项A，因为5∶6＝，6∶5＝，≠，所以5∶6和6∶5不能组成比例； 选项B，因为1∶8＝和0.25∶32＝，≠，所以1∶8和0.25∶32不能组成比例； 选项C，因为8∶7＝，2∶1.75＝，＝，所以8∶7和2∶1.75能组成比例； 选项D，因为∶0.125＝3和1∶3＝，3≠，所以∶0.125和1∶3不能组成比例； 故答案为：C。 【点评】本题主要考查比例的意义，解题时要认真计算。 突破题型二比例的意义 4．从20的因数中选出四个数组成两个不同的比例：（ ）和（ ）。 【答案】1∶2＝10∶20 2∶4＝5∶10 【分析】先求出20的因数，从这几个数中，选出四个，每两个组成比，根据比例的意义，如果这两个比的比值相同，这四个数就组成一个比例（答案不唯一）。 【解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 组成的比例：1∶2＝10∶20 2∶4＝5∶10 从20的因数中选出四个数组成两个不同的比例：1∶2＝10∶20和2∶4＝5∶10。（答案不唯一） 5．找出24的因数，利用其中4个不同的数组成比例是（ ）。（写出一种即可） 【答案】2∶4＝12∶24 【分析】先求出24的因数，从这几个数中，选出四个，每两个组成比，根据比例的意义，如果这两个比的比值相同，这四个数就组成一个比例（答案不唯一）。 【解答】24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 组成的比例有：2∶4＝12∶24 找出24的因数，利用其中4个不同的数组成比例是2∶4＝12∶24。（答案不唯一） 6．小莉用水和蜂蜜为一家人分别调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表。 四杯蜂蜜水的配比情况表： 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜/mL 12 11 10 14 水/mL 60 44 60 70 把最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第（ ）杯蜂蜜水，你判断的理由是（ ）。同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况写出一个比例是（ ）。 【答案】二 第二杯蜂蜜和水的比值最大 12∶60＝14∶70 【分析】将蜂蜜的质量除以水的质量，求出每杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比值。比值越大，蜂蜜水越甜； 比值相等的两杯蜂蜜水同样甜。比值相等的两个比可以组成一个比例。据此，写出一个比例即可。 【解答】12÷60＝0.2 11÷44＝0.25 10÷60＝ 14÷70＝0.2 0.25＞0.2＞ 所以弟弟喝的是第二杯蜂蜜水，理由是第二杯蜂蜜和水的比值最大（答案不唯一）。 同样甜的两杯是第一杯和第四杯，写成的比例可以是12∶60＝14∶70（答案不唯一）。 突破题型三比例的基本性质 7．如果x、y互为倒数，＝，那么6a＝（ ）。 【答案】2 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1，再根据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答。 【解答】因为xy＝1 所以3a＝1，a＝ 6a＝6×＝2 如果x、y互为倒数，＝，那么6a＝2。 8．在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是（ ）和（ ）。 【答案】8∶3.2＝22.5∶9 9∶3.6＝25∶10 【分析】10以内的相邻的两个合数分别是8和9、9和10，再根据题意，可知组成比例的两个比，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，进而根据比各部分之间的关系，分别求出两个比的后项或前项，再写出比例得解。 【解答】当两个外项分别是8和9时， 前一个比的后项：8÷ ＝8× ＝3.2 后一个比的前项：×9＝22.5 这个比例是8∶3.2＝22.5∶9 当两个外项分别是9和10时， 前一个比的后项：9÷ ＝9× ＝3.6 后一个比的前项： ×10＝25 这个比例是9∶3.6＝25∶10 在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是8∶3.2＝22.5∶9和9∶3.6＝25∶10。 【点评】此题主要考查比的前项＝比值×比的后项，比的前项÷比的后项＝比值的运用；也考查了合数的意义及比例的意义。 9．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 3.2∶（ ）＝0.8∶5      ＝（ ）∶10      ＝15∶（ ） 【答案】20 5 2 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此分别求出前两个小题中两个外项的积，再除以已知的一个内项，即可求出另一个内项；最后一小题，先求出两个内项的积，再除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 【解答】（1）3.2×5÷0.8 ＝16÷0.8 ＝20 则3.2∶20＝0.8∶5。 （2）×10÷ ＝×10×2 ＝5 则＝5∶10。 （3）×15÷3 ＝6÷3 ＝2 则＝15∶2。 突破题型四比例尺的意义 10．在一幅地图上，1.5厘米长的线段表示6千米的实际距离，这幅地图的比例尺是（ ）。 【答案】1∶400000 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此解答。要注意统一单位。 【解答】6千米＝600000厘米 1.5∶600000 ＝1∶400000 这幅地图的比例尺是1∶400000。 11．在一幅地图上用3厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是（ ）。 【答案】1∶4000000 【分析】根据1千米＝100000厘米，把120千米转化为以厘米为单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据并化简比即可得解。 【解答】3厘米∶120千米 ＝3厘米∶12000000厘米 ＝3∶12000000 ＝（3÷3）∶（12000000÷3） ＝1∶4000000 在一幅地图上用3厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是1∶4000000。 12．一个长2.5毫米的零件，在图上用30厘米表示，则这幅图的比例尺是（ ）。 【答案】120∶1/ 【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离进行求解，结果注意要化简。 【解答】30厘米∶2.5毫米 ＝30厘米∶0.25厘米 ＝（30×4）∶（0.25×4） ＝120∶1 这幅图的比例尺是120∶1。 突破题型五比例尺的应用之求图上距离 13．李阿姨的身高是1.60米，在她和女儿合影的照片上高4厘米，这张照片的比例尺是（ ）。她女儿的身高是1米，在这张照片上高（ ）厘米。 【答案】1∶40 2.5 【分析】根据公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，把数代入公式即可求出比例尺，要注意统一单位；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，把数代入公式即可求解。 【解答】1.6米＝160厘米 比例尺：4厘米∶160厘米＝1∶40 1米＝100厘米 100×＝2.5（厘米） 【点评】本题主要考查比例尺的公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 14．学校篮球场的长是28米，宽是15米，把这个篮球场画在一张图纸上，长是5.6厘米，这张图纸的比例尺是（ ），在这张图纸上这个篮球场的宽应画（ ）厘米。 【答案】1∶500/ 3 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得这张图纸的比例尺，然后再根据图上距离＝比例尺×实际距离可得图纸上这个篮球场的宽。 【解答】28米＝2800厘米 5.6厘米∶2800厘米 ＝（5.6×10÷56）∶（2800×10÷56） ＝1∶500 15米＝1500厘米 1500×＝3（厘米） 这张图纸的比例尺是1∶500，在这张图纸上这个篮球场的宽应画3厘米。 【点评】本题主要考查了比例尺的意义以及图上距离和实际距离的换算，熟记公式是解题的关键。 15．在一幅地图上，图上12厘米表示实际距离60千米，这幅地图比例尺是（ ）；如果两地之间实际相距80千米，在这幅图上相距（ ）厘米。 【答案】1∶500000 16 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离÷实际距离”即可求出这幅地图的比例尺；图上距离和比例尺已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出两地的图上距离。 【解答】因为60千米＝6000000厘米 所以这幅地图的比例尺是：12厘米∶6000000厘米＝1∶500000 又因80千米＝8000000厘米 则两地的图上距离是：8000000×＝16（厘米） 【点评】此题主要考查比例尺的意义以及图上距离、实际距离和比例尺的关系。 突破题型六比例尺的应用之求实际距离 16．一幅地图，它的线段比例尺是，改写成数值比例尺是（ ），已知图上距离8厘米，实际距离是（ ）。 【答案】1∶1000000 80千米 【分析】（1）根据线段比例尺可知：图上的1厘米表示实际距离10千米，根据比例尺的含义：图上距离和实际距离的比，叫做比例尺，进行解答即可； （2）用8×10即可计算出8厘米表示的实际距离。 【解答】（1）10千米＝1000000厘米 1厘米∶1000000厘米＝1∶1000000 （2）8×10＝80（千米） 【点评】解答此题用到的知识点：（1）线段比例尺的含义；（2）图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系。 17．一块手表的一个零件，画在一幅比例尺是的图纸上，量得图上的长度是4.5厘米，这个零件的实际长度是（ ）厘米。 【答案】0.15 【分析】已知图上距离和比例尺，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求得这个零件的实际长度。 【解答】一块手表的一个零件，画在一幅比例尺是的图纸上，量得图上的长度是4.5厘米，这个零件的实际长度是：4.5÷＝0.15（厘米）。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系。解题时注意：如果单位不一致，要先统一单位。 18．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A城与B城的距离是10厘米。A、B两城实际相距多少千米？ 比例尺1∶5000000，说明实际距离是图上距离的（ ）倍。列式为（ ），（ ）厘米＝（ ）千米。 比例尺1∶5000000，就是图上距离1厘米表示实际距离（ ）千米。列式为（ ）。 解：设A、B两城实际相距x厘米。 列出比例：（ ）解得x＝（ ），（ ）厘米＝（ ）千米，所以A、B两城实际相距（ ）千米。 【答案】5000000 10×5000000＝50000000（厘米） 50000000 500 50 10×50＝500（千米） 10∶x＝1∶5000000 50000000 50000000 500 500 【分析】在比例尺是1∶5000000的地图上是表示图上距离与实际距离的比是1∶5000000。即图上距离是1份，而实际距离就是这样的5000000份，也就是实际距离是图上距离的5000000倍。图上距离是10厘米，求一个数是另个数的几倍用乘法。1千米＝100000厘米，低级单位转化为高级单位用除法。 比例尺是1∶5000000可以表示当图上距离是1厘米的时候，实际距离是5000000厘米，将5000000厘米换算单位为千米是50千米，即1厘米表示实际距离为50千米，那么实际距离就是500千米。 图上距离与实际距离的比是1∶5000000，设A、B两城实际相距x厘米，列出比例，再根据比例的基本性质解比例得出实际距离，再换算单位。 【解答】5000000×10＝50000000（厘米） 50000000÷100000＝500（千米） 则比例尺1∶5000000，说明实际距离是图上距离的5000000倍，列式为10×5000000＝50000000（厘米），50000000厘米＝500千米。 5000000÷100000＝50（千米） 50×10＝500（千米） 则比例尺1∶5000000，就是图上距离1厘米表示实际距离50千米，列式为50×10＝500（千米）。 解：设A、B两城实际相距x厘米。 10∶x＝1∶5000000 x＝10×5000000 x＝50000000 50000000÷100000＝500（千米） 则列出比例：10∶x＝1∶5000000解得x＝50000000，50000000厘米＝500千米，所以A、B两城实际相距500千米。 突破题型七图上距离和实际距离的换算 19． 图上距离 实际距离 比例尺 5 800m 3.5 1∶40000 450 1∶3000000 【答案】见详解 【分析】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离；图上距离＝实际距离×比例尺；实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。 【解答】800m＝80000cm 5∶80000＝1∶16000 3.5÷ ＝3.5×40000 ＝140000（cm） 140000cm＝1400m 450km＝45000000cm 45000000×＝15（cm） 图上距离 实际距离 比例尺 5 800m 1∶16000 3.5 1400m 1∶40000 15cm 450 1∶3000000 20．填表。 图上距离 实际距离 比例尺 2厘米 150米 （            ） 2.5厘米 （        ） 1∶5000000 （        ） 1.5厘米 12∶1 【答案】1∶7500；125千米；18厘米 【分析】根据题意，先统一单位，再结合比例尺＝图上距离÷实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算即可。 【解答】（1）150米＝15000厘米 2∶15000 ＝（2÷2）∶（15000÷2） ＝1∶7500 （2）2.5÷ ＝2.5×5000000 ＝12500000（厘米） 12500000厘米＝125000米＝125千米 （3）1.5×12＝18（厘米） 21．算一算，填表。 图上距离 实际距离 比例尺 4cm 1600m 4.8km 1∶200000 18cm 1∶3000000 【答案】1∶40000；2.4cm；540km 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，图上距离＝实际距离÷比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此分析。 【解答】4cm∶1600m＝4cm∶160000cm＝（4÷4）∶（160000÷4）＝1∶40000 4.8km＝480000cm，480000×＝2.4（cm） 18÷＝18×3000000＝54000000（cm）＝540（km） 图上距离 实际距离 比例尺 4cm 1600m 1∶40000 2.4cm 4.8km 1∶200000 18cm 540km 1∶3000000 突破题型八比例的应用 22．把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。例如，当芭蕾舞演员踮起脚来，下半身和身高的比非常接近黄金比，所以看起来特别的美。这种神奇的比被广泛应用，从动植物到人类、从数学到天文现象、从日常生活到艺术创作…… 在研究一些名曲时发现，乐曲的转折点通常安排在全曲的黄金分割点处。按照这种做法，如果是89小节的乐曲，转折点应设在（ ）小节处。（保留整数） 【答案】55 【分析】设转折点在x小节处，则x与89小节的比是0.618∶1。据此列比例解题即可。 【解答】解：转折点应设在x小节处。 x∶89＝0.618∶1 x＝89×0.618 x＝55.002 55.002≈55 所以，如果是89小节的乐曲，转折点应设在55小节处。 23．《中华人民共和国国旗法》规定：国旗长和宽的比是3∶2，国旗的通用尺寸为五种，各界酌情选用。1号国旗长288cm，宽（ ）cm；4号国旗长（ ）cm，宽96cm。 【答案】192 144 【分析】把国旗的长或宽设为未知数，根据国旗长和宽的比是3∶2，用比例的知识解答，并利用比例的基本性质求出未知数，据此解答。 【解答】解：设1号国旗的宽为xcm。 288∶x＝3∶2 3x＝288×2 3x＝576 x＝576÷3 x＝192 所以，1号国旗长288cm，宽192cm。 解：设4号国旗长ycm。 y∶96＝3∶2 2y＝96×3 2y＝288 y＝288÷2 y＝144 所以，4号国旗长144cm，宽96cm。 【点评】解题时也可以根据按比例分配的解题方法求出长或宽的长度。 24．张阿姨调制了一杯牛奶，用了50克奶粉和150克水。照这样计算，210克水中应加入（ ）克奶粉。 【答案】70 【分析】用50∶150求出最简整数比，即1∶3，然后用210÷3即可求出对应的奶粉量。 【解答】奶粉与水的比是50∶150＝1∶3； 210克水对应的奶粉量：210÷3＝70（克） 【点评】此题主要考查学生对比的理解与认识。 突破题型九图形的放大和缩小 25．一个长4厘米、宽2厘米的长方形按3∶1的比放大后，得到的新图形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】72 【分析】一个长4厘米、宽2厘米的长方形按3∶1的比放大，即放大后长方形的长、宽都变为原来的3倍，据此求出放大后长方形的长和宽，再根据“长方形的面积＝长×宽”求出放大后长方形的面积。 【解答】4×3＝12（厘米） 2×3＝6（厘米） 12×6＝72（平方厘米） 所以得到的新图形的面积是72平方厘米。 26．将三角形按3∶1的比放大，放大后的三角形的底与原来的比是（ ）∶（ ），高的比是（ ）∶（ ），面积的比是（ ）∶（ ）。 【答案】3 1 3 1 9 1 【分析】根据图形放大与缩小的意义，一个图形按一定的比例放大后，这两个图形所有对应边的比均按这个比列放大或缩小，对应角大小不变；这个比的平方即为放大或缩小后的面积之比。据此解答。 【解答】将三角形按3∶1的比放大，放大后的三角形的底与原来的比是3∶1，高的比是3∶1，面积的比是∶＝9∶1。 27．把一个三角形按3∶1放大，原来三角形的底是5厘米，高是4厘米，放大后的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】15 12 90 【分析】根据图形放大或缩小的意义，一个底5厘米，高4厘米的三角形按3∶1放大后，底和高都扩大到原来的3倍，对应角不变，根据公式：三角形的面积＝底×高÷2，即可求出放大后的三角形的面积。 【解答】5×3＝15（厘米） 4×3＝12（厘米） 15×12÷2＝90（平方厘米） 放大后的底是15厘米，高是12厘米，面积是90平方厘米。 突破题型十解比例 28．解方程或比例。 4.8×2.5－75%x＝2       x∶＝4∶7          ＝ 【答案】x＝；x＝；x＝0.1 【分析】4.8×2.5－75%x＝2，先计算出4.8×2.5的积，再根据等式的性质1，方程两边同时加上75%x，再减去2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2即可。 x∶＝4∶7，解比例，原式化为：x×7＝×4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以×7的积。 ＝，解比例，原式化为：72x＝2.4×3，再根据等式的性质2，方程两边同时除以72即可。 【解答】4.8×2.5－75%x＝2 解：12－75x%＝2 12－75%x＋75%x－2＝2－2＋75%x 75%x＝12－2 75%x＝10 75%x÷75%＝10÷75% x＝10÷ x＝10× x＝ x∶＝4∶7 解：x×7＝×4 4x＝ 4x÷4＝÷4 x＝× x＝ ＝ 解：72x＝2.4×3 72x＝7.2 72x÷72＝7.2÷72 x＝0.1 29．求未知数x。 ①－1.5＝11.5         ②－25%＝24        ③7∶0.4＝21∶ 【答案】①＝26；②＝32；③＝1.2 【分析】①方程两边先同时加上1.5，再同时除以，求出方程的解； ②先把方程化简成0.75＝24，然后方程两边同时除以0.75，求出方程的解； ③根据比例的基本性质把比例方程改写成7＝0.4×21，然后方程两边同时除以7，求出方程的解。 【解答】①－1.5＝11.5 解：－1.5＋1.5＝11.5＋1.5 ÷＝13÷ ＝13×2 ＝26 ②－25%＝24 解：－0.25＝24 0.75＝24 0.75÷0.75＝24÷0.75 ＝32 ③7∶0.4＝21∶ 解：7＝0.4×21 7÷7＝8.4÷7 ＝1.2 30．解比例。          【答案】；； 【分析】，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先写成的形式，两边同时÷3即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可。 【解答】 解： 解： 解： 突破题型十一作放大或缩小后的图形 31．在下面的方格纸上画图。 （1）将三角形①的各边按3∶1的比放大，得到三角形②。 （2）将三角形②的各边按1∶2的比缩小，得到三角形③。 【答案】见详解 【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1； （2）把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。 【解答】 32．操作。 （1）将图中的三角形按照1∶2的比例缩小后画在方格纸上。 （2）画出三角形先绕O点顺时针旋转90°，再向右平移7格，然后向上平移2格得到的图形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据放大缩小的意义，把三角形的各个边分别缩小到原来的，即可得到缩小后的图形。 （2）根据旋转的特征，把三角形绕点O顺时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图像，再根据平移的特征，把旋转后的图形的各个顶点分别向右平移7格，再向上平移2格，依次连接，即可得到平移后的图形。 【解答】（1）如下图： （2）如下图： 33． （1）将梯形绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）以点O为圆心，按2∶1的比画出圆放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）把梯形的两条直角边绕点A顺时针旋转90°，再根据原图形中边的关系画出其它两条边。 （2）以点O为圆心，由于原来半径是1格，按2∶1扩大后，此时的半径是2格，据此画出半径是两条格线长的圆。 【解答】（1）（2）如图： 【点评】熟悉旋转图形和放大的作法是解决本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$