精品解析：江苏省南京市金陵汇文学校2024-2025学年七年级下学期数学3月月考试卷

数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线交于点O，平分若，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 5. 在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 8. 观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. “气凝胶”是一种具有纳米多孔结构新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为____． 10. 若，则a的值为____. 11. 计算的结果中不含关于字母的一次项，则______． 12. 把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则的度数等于______°． 13. 计算：______． 14. 已知，，则的值为______． 15. 已知，那么的值为______． 16. 若，则______． 17. 如图，将两张边长分别为a和正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，______． 二、解答题（本大题共9小题，共64分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，，，证明：． 完成下面推理过程． 证明：（已知）， （____________）． _________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （__________）， 即， _________（内错角相等，两直线平行）． （_____________）． 21. 观察两个连续偶数的平方差：①，②，③，…… （1）写出第④个等式：____________； （2）用含n的等式表示上述规律，并加以证明； （3）填空：． 22. （1）比较、、的大小； （2）比较、、的大小； （3）已知正数a和b满足，，比较a、b的大小． 23. 我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．解决下列问题： （1）已知，，比较A与B的大小； （2）已知，，比较A与B的大小； （3）已知，，比较A与B大小． 24. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形． （1）请根据图1写出一个乘法公式：____________； （2）①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； （3）如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分面积． 25. 通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方，正确掌握以上知识是解题的关键． 直接利用合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方，分别对选项进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故原计算正确，符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选： D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 如图，直线交于点O，平分若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及邻补角的概念，根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义求出，再根据邻补角的概念计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 故选：C． 4. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】D 【解析】 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，求出计算结果为，然后分析奇偶性即可求解． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为， 根据题意，得 ， m,n为整数， 和均整数， 为奇数， 必为偶数，表示为, 原式, ∵因数是的倍数， ∴任意两个奇数的平方差总能被整除， 故选：D． 5. 在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A：，故本选项不符合题意； B：不是一个多项式的完全平方，故本选项符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式和多项式、单项式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有两个：，． 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题关键； 分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 7. 已知，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握基本运算是解题关键； 先将变形为，再利用幂的乘方逆运算计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 8. 观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探索以及幂的乘方，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； … ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴原式． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. “气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的方法表示即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 10. 若，则a的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：∵， 又， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，正确掌握计算法则是解题的关键． 11. 计算的结果中不含关于字母的一次项，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含字母的一次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含关于字母的一次项， ∴， ∴， 故答案为：1． 12. 把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则的度数等于______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．直接利用翻折不变性，平行线的性质，平角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵翻折不变性， ∴， 又因为宽度相等的纸条对边是平行的， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则，积的乘方的法则，是解决问题的关键． 逆用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知，，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是根据已知化为未知的形式求解． 先将变形为，再代入数据求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：8． 15. 已知，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握平方差公式是解题关键．令，则，利用平方差公式计算可得，再利用平方根解方程即可得． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先将变形为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 17. 如图，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分别表示出和，然后相减即可． 【详解】如图1， 如图2， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积． 二、解答题（本大题共9小题，共64分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可； （2）先计算同底数幂相乘、同底数幂相除和幂的乘方，再合并同类项即可； （3）先利用多项式的乘法展开，再合并同类项即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，先化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题． 【详解】解： ， 当，时， 原式 20. 如图，，，证明：． 完成下面推理过程． 证明：（已知）， （____________）． _________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （__________）， 即， _________（内错角相等，两直线平行）． （_____________）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；，；等式的基本性质；，；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，即可得出结论． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等式的基本性质）， 即， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；，；等式的基本性质；，；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练的运用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键． 21. 观察两个连续偶数的平方差：①，②，③，…… （1）写出第④个等式：____________； （2）用含n的等式表示上述规律，并加以证明； （3）填空：． 【答案】（1）． （2） （3）506；504 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是根据题目中给出的式子总结出一般规律． （1）根据题目中给出的等式得出规律，写出第4个等式即可； （2）根据题目中给出的式子规律，得出含的式子即可，根据整式混合运算法则进行证明即可； （3）先列出方程，解出n，然后用代入第二问的结论进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， ∴第4个等式：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：用含的式子表示：， 证明：∵， ∴成立． 【小问3详解】 解：当时，得到， ∴． 22. （1）比较、、的大小； （2）比较、、的大小； （3）已知正数a和b满足，，比较a、b大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查幂的乘法逆运算，同底数幂的逆运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）逆用幂的乘方进行变形，然后根据指数相同的幂的值，底数越大，结果越大可得答案． （2）将，，化为同底数幂，再根据底数为，指数越大，幂越大，进行比较，即可解题． （3）由，，可以得到，，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，即， （2），，． 因为， 所以，即． （3）∵，， ∴，， ∴， 又∵a、b都是正数 ∴． 23. 我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．解决下列问题： （1）已知，，比较A与B的大小； （2）已知，，比较A与B的大小； （3）已知，，比较A与B大小． 【答案】（1） （2）当时，此时；当时，此时；当时，此时 （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握基本运算是解题关键； （1）根据作差法列出式子直接进行计算即可； （2）根据作差法列出式子直接进行计算即可； （3）根据作差法列出式子直接进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴ 【小问2详解】 解：， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴ 24. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形． （1）请根据图1写出一个乘法公式：____________； （2）①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； （3）如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）①图见解析；②29 （3）17 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； 【小问3详解】 解：设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 25. 通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $