精品解析：福建省厦门市思明区区2024-2025学年八年级上学期期末统考数学试卷

2024－2025学年第一学期思明区八年级适应性练习 数学 本试卷共6页；满分150分；时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故选：B． 3. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据使分式有意义的条件是分式的分母不等于零即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：D． 4. 如果一个三角形的两边长分别为3和5，那么第三边的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 设第三边的长为x，由三角形的三边关系，可得出第三边的取值范围，根据第三边的取值范围逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：设第三边的长为x， 由三角形的三边关系，得， 即， 由四个选项知，． 故选：C． 5. 芯片由数以亿计的晶体管组成．晶体管的尺寸越小，芯片的性能就越高，功耗就越低．芯片的制程工艺水平是指芯片上晶体管和互连线的最小尺寸，通常用纳米来表示．已知，则0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.000000005用科学记数法表示为． 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方运算法则是关键．根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 7. 如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 8. 图为，，，四个城市的公路路线图．市在市的正东方向，在市正北方向，，两市相距千米；市在市的南偏东，距市100千米；市在市的南偏东，在市的正南方向，，两市之间有一候鸟迁徙栖息地．为缩短市与市的公路交通距离，拟利用现有路网，增修一条公路，为节省修路成本，新修建的公路长度最短是（ ） A. 千米 B. 50千米 C. 100千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，角平分线的性质定理，理解方位角得到直角三角形，正确运用勾股定理是关键． 如图所示，，在中，运用勾股定理得到千米，如图，过点作于点，即，根据角平分线的性质定理得到（千米），结合，两市之间有一候鸟迁徙栖息地，为缩短市与市的公路交通距离，根据点到直线垂线段最短得到即为最短距离，由即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴，平分， 在中，，即， 解得，（千米），负值舍去， 如图，过点作于点，即， ∴（千米）， ，两市之间有一候鸟迁徙栖息地，为缩短市与市的公路交通距离，根据点到直线垂线段最短得到即为最短距离， ∴（千米）， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 9. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，注意任何非0数的0次幂等于1．根据零指数幂的运算法则直接进行计算． 【详解】解：． 故答案为：1． 10. 图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 11. 若，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 12. 如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，三角形的外角，三角形的高，解题的关键是熟练掌握以上知识点；根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角即可得解． 【详解】解：是角平分线，， ， 是的高， ， ， 故答案为：． 13. 已知，，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式．根据平方差公式、完全平方公式的进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，是边上一点，连接，在的左侧作等边，连接，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取的中点H，连接，．证明，推出，过点A关于直线的对称点M，连接，当M、D、H三点共线时，有最小值为．根据含30度的直角三角形，勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，，则． 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点A关于直线的对称点M，连接， ∴， ∵， ∴， 当M、D、H三点共线时，有最小值为， 过点H作，过点M作交于点K， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 此时的周长最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题：本题共9小题，共94分． 15 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式除以单项式，掌握其运算法则进行准确的运算是解本题的关键． （1）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可； （2）按照多项式除以单项式的法则进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：在和中， , ∴, ∴． 17. 如图，，的平分线与的平分线交于点，填空： ∵， ① ． 平分， ② ． 平分， ③ ． ④ ． ⑤ ． ⑥ ． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ ． 【答案】； ； ； ； ； ；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的性质，角平分线的定义．根据平行线的性质可得．再结合角平分线的定义可得，即可求证． 【详解】解：∵， ． 平分， ． 平分， ． ． ． ∴． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 故答案为：； ； ； ； ； ；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 18. （1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），1 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的化简求值，掌握“解分式方程的步骤与方法以及分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． （1）先去分母，再去括号，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案； （2）先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算得到化简的结果，最后把代入化简后的结果进行计算即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 解得：， 检验：当时， ∴分式方程的解为：； （2） ， 当时，原式． 19. 如图，在中，为钝角，为的平分线． （1）尺规作图：在上作点，并连接，使得（要求：不与作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，在边上有一点（不与点，重合），连接，，求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E即为所求； （2）证明，推出可得结论． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： ； 【小问2详解】 证明：由作图可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段． 20. 观察下列等式： ；；； ；；…… （1）请再写出一个符合上述规律的等式：__________________________________________； （2）有同学说，“任意两个正整数乘积的倒数都符合上述规律”请你证明； （3）设，，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字变化的规律，解题的关键是：得到． （1）观察所给等式，发现各部分变化规律，即可求解， （2）设两个正整数，，据此得出等式并证明，即可求解， （3）根据（2）中发现的规律，代入进行计算，即可求解． 【小问1详解】 解：由题知，符合上述规律的等式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 设两个正整数，， 即证明：成立， 过程如下：右边左边， 故此等式成立， 【小问3详解】 解： ， ∴ ． 21. 如图1，小明家装修需要一些特殊形状的瓷砖．现有一块梯形瓷砖，其中两边和相互平行，且． 工作台上有如下工具可供选用：一把瓷砖刀、一支油性记号笔、一捆棉线、一把不透明的刻度尺（长度足够测量瓷砖上任意两点之间距离，但两端已磨损）． （1）现在需要将梯形瓷砖在保持上底不变的前提下，只切割一刀，将其形状改为两腰相等的梯形，请在图2中画出切割线； （2）设计一个测量方案，以求出（1）中切割后的梯形瓷砖面积．要求写出测量步骤及梯形面积（测量得到的长度用字母，，，……表示）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰梯形的定义画出切割线即可； （2）利用梯形的面积公式解决问题即可． 小问1详解】 解：如图2中，切割线为线段； ； 【小问2详解】 解：测量出，，高，则梯形的面积． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，，，，点在第一象限，，，与轴交于点． （1）若，，则点的坐标为______； （2）如图2，若，，连接并延长至点，使得，当轴时，求点的坐标； （3）如图3，过点作的平行线交延长线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，交于点．若，请连接后，探究，，三条线段的数量关系． 【答案】（1） （2）点A坐标； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，再由和求出结果； （2）由，，得到，即，根据题意平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质得，进而由等腰直角三角形的性质得，再由求出点A坐标； （3）先根据题意求出，然后由角平分线的判定定理分别得到是和的平分线，再由推出，得到A、B、N三点共线，进而证明四边形是菱形，接着通过证明求出，最后根据，即可求得，，三条线段的数量关系． 【小问1详解】 解：过点B作的垂线，垂足为G． ∵，，则是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴点B的坐标， 故答案：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， 根据题意可知，，D为中点， 设与y轴交于点H， 由平行线分线段成比例可得，， ∴， ∴，则， ，， ∴， ∴， 故点A坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接， 根据题意，， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， 由轴可得，则； 根据可得， ∴，即也是的平分线， 由于和是点D到两边的距离，则， ∴， ∴， ∴，即A、B、N三点共线， ∴四边形是平行四边形 由可得，故四边形是菱形， ∴线段和互相垂直平分， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 故，，三条线段的数量关系为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 2024年厦门铁人三项公开赛于11月9日~10日在环东海域浪漫线举行．铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． （1）甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； （2）小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 【答案】（1）甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度 （2）①跑步，理由见解析；②选择策略二理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意列出方程，即可求解， （2）①跑分别算出小陈跑步、游泳、自行车的成绩与平均成绩的差占平均成绩的比例，即可求解；②记策略一所用时间为，策略二所用时间为，利用作差法比较两种策略的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：设乙的速度为，则甲的速度为， 则，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：， 此时， ∴甲的速度为：，乙的速度为：， ∵，， ∴甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度， 【小问2详解】 解：①跑步，理由如下： ∵， ， ， 且， ∴小陈成绩最不理想的是跑步项目， ②记策略一所用时间为，策略二所用时间为， 则：， 整理得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， 即：， 又， ∴， ∴， 答：策略二所用时间小于策略一，因此选择策略二． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期思明区八年级适应性练习 数学 本试卷共6页；满分150分；时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个三角形的两边长分别为3和5，那么第三边的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 5. 芯片由数以亿计的晶体管组成．晶体管的尺寸越小，芯片的性能就越高，功耗就越低．芯片的制程工艺水平是指芯片上晶体管和互连线的最小尺寸，通常用纳米来表示．已知，则0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个 8. 图为，，，四个城市的公路路线图．市在市的正东方向，在市正北方向，，两市相距千米；市在市的南偏东，距市100千米；市在市的南偏东，在市的正南方向，，两市之间有一候鸟迁徙栖息地．为缩短市与市的公路交通距离，拟利用现有路网，增修一条公路，为节省修路成本，新修建的公路长度最短是（ ） A. 千米 B. 50千米 C. 100千米 D. 千米 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 9. ______． 10. 图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为______． 11. 若，则的值为______． 12. 如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，，则______． 13. 已知，，那么的值为______． 14. 如图，在中，，，，，是边上一点，连接，在的左侧作等边，连接，则周长的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共94分． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：． 17. 如图，，的平分线与的平分线交于点，填空： ∵， ① ． 平分， ② ． 平分， ③ ． ④ ． ⑤ ． ⑥ ． 请用文字语言将以上证明条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ ． 18. （1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，为钝角，为平分线． （1）尺规作图：在上作点，并连接，使得（要求：不与作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，在边上有一点（不与点，重合），连接，，求证：垂直平分． 20. 观察下列等式： ；；； ；；…… （1）请再写出一个符合上述规律等式：__________________________________________； （2）有同学说，“任意两个正整数乘积的倒数都符合上述规律”请你证明； （3）设，，求的值． 21. 如图1，小明家装修需要一些特殊形状的瓷砖．现有一块梯形瓷砖，其中两边和相互平行，且． 工作台上有如下工具可供选用：一把瓷砖刀、一支油性记号笔、一捆棉线、一把不透明的刻度尺（长度足够测量瓷砖上任意两点之间距离，但两端已磨损）． （1）现在需要将梯形瓷砖在保持上底不变的前提下，只切割一刀，将其形状改为两腰相等的梯形，请在图2中画出切割线； （2）设计一个测量方案，以求出（1）中切割后的梯形瓷砖面积．要求写出测量步骤及梯形面积（测量得到的长度用字母，，，……表示）． 22. 如图1，平面直角坐标系中，，，，点在第一象限，，，与轴交于点． （1）若，，则点的坐标为______； （2）如图2，若，，连接并延长至点，使得，当轴时，求点坐标； （3）如图3，过点作的平行线交延长线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，交于点．若，请连接后，探究，，三条线段的数量关系． 23. 2024年厦门铁人三项公开赛于11月9日~10日在环东海域浪漫线举行．铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． （1）甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； （2）小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$