专题3.6 整式的乘除（全章常考综合压轴题分类专题）（3大知识点13大考点）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.6 整式的乘除（全章常考综合压轴题分类专题） （3大知识点13大考点） 第一部分【知识点与题型目录】 【知识点一】运算化简求值篇 【考点1】同底数幂的乘法...............................................................1 【考点2】同底数幂的乘法逆运算.........................................................2 【考点3】单（多）项式乘以多项式.......................................................2 【考点4】单（多）项式乘以多项式化简求值...............................................2 【考点5】利用乘法公式进行运算.........................................................3 【考点6】利用乘法公式进行化简求值.....................................................3 【考点7】整式的除法运算...............................................................3 【考点8】整式的除法运算化简求值.......................................................4 【知识点二】整式乘除与几何图形 【考点9】多项式乘以多项式与几何图形综合...............................................4 【考点10】乘法公式与几何图形综合......................................................5 【知识点三】整体乘除拓展延伸压轴题 【考点11】完全平方公式变式求值探究....................................................6 【考点12】乘法公式与规律问题探究......................................................7 【考点13】同底数相乘与乘法公式探究....................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】运算化简求值篇 【考点1】同底数幂的乘法 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 （1）； （2）． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习） （1）已知：，，计算的值． （2）已知：，求的值． 3．（23-24八年级上·山东德州·期中）先化简再求值其中，． 【考点2】同底数幂的乘法逆运算 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习） （1）已知：，求的值． （2）计算：． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： （1）验证： ； ． （2）通过上述验证，归纳得出： ； ． （3）请应用上述性质计算： ①； ②． 【考点3】单（多）项式乘以多项式 1．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： （1） （2） 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【考点4】单（多）项式乘以多项式化简求值 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1）已知，求的值； （2），其中． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，求的值． 【考点5】利用乘法公式进行运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式简便计算． （1）； （2）． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【考点6】利用乘法公式进行化简求值 1．（24-25八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：的值．其中． 【考点7】整式的除法运算 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： （1） （2） 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）计算： （1）； （2）． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算： （1）； （2）． 【考点8】整式的除法运算化简求值 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）化简求值，其中，． 2．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）先化简再求值：，其中． 【知识点二】整式乘除与几何图形 【考点9】多项式乘以多项式与几何图形综合 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题： （1）图中所表示的数学等式为 ；利用所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； （2）小红同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边长分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，大长方形的长和宽分别为、，求的值； （3）小丽同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边分别为的长方形纸片拼出了一个长方形，请求出该长方形较长一边的长． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． （1）根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． （3）小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【考点10】乘法公式与几何图形综合 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）乘法公式的探究及应用 （1）如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． （2）当，时，则____________； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．   （1）用含a、b的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【知识点三】整体乘除拓展延伸压轴题 【考点11】完全平方公式变式求值探究 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： （1）填空：______； （2）计算： ①若，求的值； ②若，求的值； ③已知，求的值． 2．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： （1）的值； （2）的值． 【考点12】乘法公式与规律问题探究 1．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． （3）运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 2．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， （1）续写等式：________；（写出最后结果） （2）我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） （3）利用（2）中得到的结论计算： ； 【考点13】同底数相乘与乘法公式探究 1．（24-25七年级上·山东济南·期末）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： （1）下列代数式中是对称式的有_____（填序号） ① ② ③ ④ （2）若关于，的代数式为对称式，则的值为_____； （3）在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______； 【知识运用】： （3）已知，则______，______； （4）求多项式：的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.6 整式的乘除（全章常考综合压轴题分类专题） （3大知识点13大考点） 第一部分【知识点与题型目录】 【知识点一】运算化简求值篇 【考点1】同底数幂的乘法...............................................................1 【考点2】同底数幂的乘法逆运算.........................................................3 【考点3】单（多）项式乘以多项式.......................................................5 【考点4】单（多）项式乘以多项式化简求值...............................................6 【考点5】利用乘法公式进行运算.........................................................8 【考点6】利用乘法公式进行化简求值....................................................10 【考点7】整式的除法运算..............................................................12 【考点8】整式的除法运算化简求值......................................................14 【知识点二】整式乘除与几何图形 【考点9】多项式乘以多项式与几何图形综合..............................................15 【考点10】乘法公式与几何图形综合.....................................................18 【知识点三】整体乘除拓展延伸压轴题 【考点11】完全平方公式变式求值探究...................................................20 【考点12】乘法公式与规律问题探究.....................................................23 【考点13】同底数相乘与乘法公式探究...................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】运算化简求值篇 【考点1】同底数幂的乘法 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习） （1）已知：，，计算的值． （2）已知：，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可． 解：（1）解：，， 故． （2）解：， ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·山东德州·期中）先化简再求值其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式化简求值，运用幂的公式进行运算，合并同类项，代值计算，即可求解；掌握幂的运算公式：，及其逆用是解题的关键． 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【考点2】同底数幂的乘法逆运算 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】25 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算幂的乘方，再计算积的乘方的逆用，然后将的值代入计算即可得． 解：∵，， ∴ ． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习） （1）已知：，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用幂的乘方并利用同底数幂的乘法即可得到答案； （2）逆用积的乘方运算法则即可得到答案． 解：（1）∵， ∴ ∴， （2）， 3．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： （1）验证： ； ． （2）通过上述验证，归纳得出： ； ． （3）请应用上述性质计算： ①； ②． 【答案】（1）1，1；（2）；；（3）①4；② 【分析】本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键． （1）积的乘方公式及其逆运算计算即可； （2）由，，…，归纳可得，，； （3）逆用公式 ，即容易求出答案． 解：（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2），，… ∴，； 故答案为：；； （3）① ； ② ． 【考点3】单（多）项式乘以多项式 1．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 解：（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、整式的加减，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 解：（1）解： ． （2）解：原式 ． 【考点4】单（多）项式乘以多项式化简求值 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1）已知，求的值； （2），其中． 【答案】（1），5；（2）， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 解：（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】由，可得，根据，代值求解即可． 解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 【点拨】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值．解题的关键在于正确的化简求值． 【考点5】利用乘法公式进行运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查乘法公式： （1）先进行平方差公式的计算，再进行完全平方公式进行计算； （2）先进行平方差公式的计算，再进行完全平方公式进行计算． 解：（1）解：原式； （2）原式． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式简便计算． （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）998001 【分析】本题考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式进计算，即可求解； （2）原式化为，根据完全平方公式进行计算即可求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算变形，再运用平方差公式以及完全平方公式． （2）运用平方差公式解决此题． （3）运用平方差公式以及完全平方公式化简，然后即可求解． （4）先变形，再运用平方差公式，最后运用完全平方公式并化简． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【考点6】利用乘法公式进行化简求值 1．（24-25八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式化简各项，在合并同类项即可化简原式，进而将整体代入原式即可求解． 解： ， ∵，即， ∴原式． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），；（2），． 【分析】（）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则进行求解，然后通过合并同类项法则化成最简，最后把，代入求解即可； （）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则进行求解，然后通过合并同类项法则化成最简，最后把代入求解即可； 本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等运算法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ， 当，时， 原式 ； （2）解：原式 ， 因为， 所以， 所以原式． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：的值．其中． 【答案】，87 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式和合并同类项法则化简，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出和的值，最后根据完全平方公式变形求值即可． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴原式 ． 【点拨】本题考查了乘法公式，单项式乘以多项式，以及多形式乘以多项式，以及非负数的性质，熟练完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则、平方和绝对值的非负性是解决此题的关键． 【考点7】整式的除法运算 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂与负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方，再合并同类项即可得； （2）先计算完全平方公式，再计算括号内的整式加减，然后计算单项式除以单项式即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式除以单项式，熟练掌握以上知识的运算法则是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）先利用幂的、积的乘方计算小括号和计算同底数幂的乘法，再合并同类项，最后进行单项式除以单项式计算； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后进行多项式除以单项式计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点8】整式的除法运算化简求值 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）化简求值，其中，． 【答案】；． 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．括号内利用完全平方公式及平方差公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 解： ． 当，时，原式． 2．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 解：原式 ， 当，时， 原式． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式乘法的化简求值，涉及整式的四则混合运算，掌握四则运算法则与运算顺序是解题的关键；先计算整式的乘法，即用完全平方公式与平方差公式展开，单项式乘多项式，再合并同类项，计算除法，最后代入值计算即可． 解： ； 由于， 所以， 原式． 【知识点二】整式乘除与几何图形 【考点9】多项式乘以多项式与几何图形综合 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题： （1）图中所表示的数学等式为 ；利用所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； （2）小红同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边长分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，大长方形的长和宽分别为、，求的值； （3）小丽同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边分别为的长方形纸片拼出了一个长方形，请求出该长方形较长一边的长． 【答案】（1），；（2）；（3）较长的一边的边长为． 【分析】（）根据图正方形面积两种求法即可得出等式，然后利用等式即可求出的值； （）利用大长方形的面积得出，从而求解； （）由长方形的面积即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的几何应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 解：（1）解：图的面积求法一：，图的面积求法二：， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴； （2）解：大长方形的面积 ， ∵大长方形的面积， ∴， ∴，，， ∴； （3）解：长方形的面积， ∴长方形的边长为和， ∵， 所以较长的一边的边长为． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． （1）根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． （3）小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）①B类纸片有7张，；②B类纸片有13张，；③B类纸片有8张， 【分析】此题考查了多项式乘法与几何图形． （1）根据图形，可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的图形； （3）根据多项式乘法即可解答本题． 解：（1）解：由题意可得，大长方形的面积可表示或， 即 （2）解：如图，即为所求， （3）由题意可得，①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张，． 【考点10】乘法公式与几何图形综合 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）乘法公式的探究及应用 （1）如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． （2）当，时，则____________； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1）D；（2）2；（3）①2；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 解：（1）解：图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．   （1）用含a、b的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【答案】（1）, =；（2）=77；（3）=18. 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差； （2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解； （3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可． 解：（1）解：由题意可得： , = =； （2）由（1）可得： = = =, ∴当，时，； （3）由题意可得： =， 当时，， ∴. 【点拨】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题关键． 【知识点三】整体乘除拓展延伸压轴题 【考点11】完全平方公式变式求值探究 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： （1）填空：______； （2）计算： ①若，求的值； ②若，求的值； ③已知，求的值． 【答案】（1）4；（2）①；②；③的值为 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可； （2）①先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； ②先将两边都除以，得，然后求出，再求出结果即可； ③分两种情况：当时，当时，求出结果即可． 解：（1）解： ； 故答案为：4． （2）解：①∵， ∴． ②将两边都除以，得． ∴， ∴． ③当时，此时，则，得， ∵， ∴． ∵， ∴； ∴， 当时，此时，则，得， ∵，故舍去． 综上，的值为． 2．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 解：（1） ， 整理得：， ， ； （2）的倒数为， ， ． 【考点12】乘法公式与规律问题探究 1．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． （3）运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 【答案】（1）六，15；（2）①；②；（3）星期三 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 解：（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1 故答案为：六，15； （2）解：① 故答案为：； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故答案为：； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期二往后数天是星期三， 答案为：是星期三． 2．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， （1）续写等式：________；（写出最后结果） （2）我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） （3）利用（2）中得到的结论计算： ； 【答案】（1）225；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键． （1）直接根据题意给出的规律即可求解； （2）直接根据题意给出的规律即可求解； （3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解 解：（1）解：原式， 故答案为：225； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【考点13】同底数相乘与乘法公式探究 1．（24-25七年级上·山东济南·期末）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： （1）下列代数式中是对称式的有_____（填序号） ① ② ③ ④ （2）若关于，的代数式为对称式，则的值为_____； （3）在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 【答案】（1）①②④；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是理解对称式的含义，掌握乘法公式． （1）根据对称式的定义对各个式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换，的位置，得到，由题意得，整理得，求出即可； （3）把（2）中所求的值代入，求出的值，再利用完全平方公式进行解答即可． 解：（1）：解：①∵， ∴①是对称式； ②∵， ∴②是对称式； ③∵， ∴③不是对称式； ④∵， ∴④是对称式， 故答案为：①②④； （2）解：关于，的代数式为对称式， ， ， ， ， ， 即； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______； 【知识运用】： （3）已知，则______，______； （4）求多项式：的最小值． 【答案】（1）；（2）9；（3），2；（4）的最小值为5 【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可； （4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； （2）， 故答案为：9； （3）∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：，2； （4）， ， ， ，， 的最小值为5． 【点拨】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$