精品解析：湖北省荆州市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024~2025学年下学期湖北省中考3月模拟 九年级数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 相反数是（ ） A. 3 B. C. -3 D. 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 湖北作为经济大省，是中部六省中唯一被赋予重要战略支点定位的省份．12年来，湖北发展能级持续跃升．经济总量从2013年的2.47万亿增加到2024年的6万亿，排名从第9位上升至第7位．将6万亿这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是( ) A. 2和2.4 B. 2和2 C. 1和2 D. 3和2 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的值为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.625 D. 0.8 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①② 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：_____ 12. 在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____． 13. 2025年在湖北某市举办马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为，仪器与气球的水平距离为22米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_______米（结果精确到0.1米，，，）． 14. 如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则，，围成的图形的面积是_______（结果保留π）． 15. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 三、解答题（共9题，共75分） 16. （1）计算： （2）求不等式组的整数解． 17. 如图，已知在中，E，F是对角线BD上的两点，，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且，连接GE，EH，HF，FG． 求证： （1）； （2）． 18. 关于方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 19. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解七年级学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图； （2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校七年级学生共有420人，请估计该校七年级学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数； （3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加年级组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 21. 如图，点在的边上一点，与边相切于点，与边分别交于点，且． （1）求证：； （2）若，时，求半径及长． 22. 清明是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，用1200元购进的芝麻青团和用1000元购进的肉松青团盒数相同．在销售中，某商家发现芝麻青团每盒售价80元时，每天可售出120盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求芝麻青团和肉松青团的进价； （2）已知芝麻青团每盒的售价不高于95元且不低于80元，w表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位；元），在涨价前提条件下，芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，． 求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，试探究之间的数量关系． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点，，． （1）判断点是否在轴上，并说明理由； （2）求抛物线函数表达式； （3）在轴的上方是否存在点，，使以点，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年下学期湖北省中考3月模拟 九年级数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 湖北作为经济大省，是中部六省中唯一被赋予重要战略支点定位的省份．12年来，湖北发展能级持续跃升．经济总量从2013年的2.47万亿增加到2024年的6万亿，排名从第9位上升至第7位．将6万亿这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：依题意，6万亿， ∴6万亿这个数据用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法计算即可． 【详解】， ， ∴的值在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 5. 数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是( ) A. 2和2.4 B. 2和2 C. 1和2 D. 3和2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．因此这组数据的中位数是第3，4个数的平均数：． 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．因此这组数据的平均数是：． 故选B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 7. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形外角和为360°可计算出多边形边数，根据多边形内角和公式即可得答案． 【详解】解：多边形的边数：， 则内角和为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，内角和，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°及内角和公式． 8. 如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标． 【详解】 如图过点C作轴垂线，垂足为点E， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ， 则 , ∵点C由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到， ∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到， ∵点A坐标为(0，3)， ∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意， 故答案选D 【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键． 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的值为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.625 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，先由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，再证明得到，据此求出的长，再由勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断③，根据时，y的值的正负可判断④．本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴①是正确； ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴抛物线的对称轴为， ， ， ∴②是错误； 观察图像可知当时，， ∴③是正确； 由得，时，， 由图知，时，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴④是正确； 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】把点向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题． 【详解】解：把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 2025年在湖北某市举办马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为，仪器与气球的水平距离为22米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_______米（结果精确到0.1米，，，）． 【答案】10.3 【解析】 【分析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．此题考查了解直角三角形应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴， ∴， 故答案为：10.3． 14. 如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则，，围成的图形的面积是_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，旋转的性质，先根据正方形的性质得出，，再求出面积即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E， ∴，，围成的图形的面积是， 故答案为：． 15. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用及分类讨论思想的运用是解题的关键． 先判断当时，，即方程只有一个实数根，再确定有两个实数根，然后解出方程即可求解． 【详解】解：当时，，即， 则， ∴， ∴， ∴只有，有一个实数根， ∴有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分） 16 （1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【答案】（）；（），整数解为，，． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解不等式组，掌握运算法则和解不等式组的解法是解题的关键． （）先通过化简绝对值，求算术平方根，负整数指数幂运算，然后进行加减运算即可； （）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，然后写出整数解即可． 【详解】解：（）原式 ； （）解：， 由得， 由得， ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为，，． 17. 如图，已知在中，E，F是对角线BD上的两点，，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且，连接GE，EH，HF，FG． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到，得到，证明，即可证明； （2）由全等的性质可得到，可证得，则可证四边形是平行四边形，由平行四边形性质即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴ 18. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 19. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解七年级学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图； （2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校七年级学生共有420人，请估计该校七年级学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数； （3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加年级组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）10，见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图、用样本估计整体等知识点，正确从统计图获取所需信息成为解题的关键． （1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，最后完善统计图即可； （2）利用七年级学生数420乘以优秀成绩所占的比例求解即可； （3）通过画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：样本容量是（人）， 第四组的人数是：（人）， 补全统计图如图： 【小问2详解】 解：该年级学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为人． 答：七年级学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为89人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数为6， 所以抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 20. 如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 【答案】（1）y1＝（x＞0），y2＝﹣2x+12；（2）点P的坐标为（0，）． 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4， ∴AD＝2， ∵四边形OABC是矩形，BC＝8， ∴D（2，8）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴k＝2×8＝16， ∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0）， 当x＝4时，y＝4， ∴E（4，4）， 把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，， ∴， ∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD， 此时，△PDE的周长最小， ∵点D的坐标为（2，8）， ∴点D′的坐标为（﹣2，8）， 设直线D′E的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴直线D′E的解析式为， 令x＝0，得， ∴点P的坐标为（0，）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 21. 如图，点在的边上一点，与边相切于点，与边分别交于点，且． （1）求证：； （2）若，时，求半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，根据等腰三角形的性质得到，得出，得到，根据切线的性质得到，即可得到结论； （2）设的半径为，根据三角函数求出，同理求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 与边相切于点， ， ； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中， ， ， 在中，， ， ． 22. 清明是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，用1200元购进的芝麻青团和用1000元购进的肉松青团盒数相同．在销售中，某商家发现芝麻青团每盒售价80元时，每天可售出120盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求芝麻青团和肉松青团的进价； （2）已知芝麻青团每盒的售价不高于95元且不低于80元，w表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位；元），在涨价前提条件下，芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）芝麻青团的进价为每盒60元，则肉松青团的进价为每盒50元． （2）芝麻青团每盒售价为95元时，一天获得利润最大，最大利润是3150元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及分式方程的应用，熟练掌握总价，单价，数量的关系列方程，总利润、每个利润、数量关系列函数式，是解题的关键． （1）设芝麻青团的进价为每盒a元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，根据商家用1200元购进的五仁月饼和用1000元购进的豆沙月饼盒数相同列出分式方程，解方程即可； （2）设芝麻青团每盒售价x元，则每天可售盒，列出每天销售芝麻青团的利润w与芝麻青团每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【小问1详解】 解：设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松青团的进价为每盒元 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，此时． 答：芝麻青团进价为每盒60元，则肉松青团的进价为每盒50元． 【小问2详解】 解：设芝麻青团每盒售价元， 根据题意得：． ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3150， ∴芝麻青团每盒售价为95元时，一天获得利润最大，最大利润是3150元 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，． 求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，试探究之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）先根据平行四边形的性质可得，再证明，然后利用相似三角形的性质求得即可解答； （3）如图，分别延长相交于点，则由菱形的性质及已知可得四边形为平行四边形得，再由已知易得由相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据等量代换即可满足结论． 【详解】解：（1）， ， ， ． （2）四边形是平行四边形， ， 又， ， 又∵， ， ，即，解得（舍）或，． （3）如图，分别延长相交于点． 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点，，． （1）判断点是否在轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在轴的上方是否存在点，，使以点，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点在轴上，理由见解析； （2）； （3）当点的坐标为时，点的坐标为或，当点的坐标为时，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）连接，四边形是矩形，，，通过，求出，则，即与旋转角相同来得出在轴上的结论； （）过点作轴于，由旋转的性质可得，，，，分别求出，，，然后代入解析式即可求解； （）由矩形的面积为，则以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为，由于点在抛物线上，则，然后解出方程即可求解． 【小问1详解】 解：点在轴上，理由如下： 连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴点在轴上； 【小问2详解】 解：过点作轴于， 由旋转的性质可得，，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴将，，，代入得， ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵矩形的面积为， ∴以点，，，为顶点的平行四边形的面积为， ∵， ∴边上的高为， 根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， 当点的坐标为时，点的坐标为或， 当点的坐标为时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$