周末拔尖学案 第6周-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版）

第6周 综合拓展题 速度不变的多次相遇问题 如图,甲、乙两车分别从相距490km的 A,B两地同时开出,相向而行,途中两车第 一次相遇,相遇后两车继续以原速前行,到 达另一地后立即原速折返,途中两车第二次 相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶4,则 两个相遇点之间的距离是多少? [解析] 甲、乙两车行驶的时间始终相同,因 此两车的速度比就是它们行驶的路程比。 因为甲、乙两车的速度比是3∶4,所以第一 次相遇时甲车行驶了总路程的 3 3+4 ,乙车行 驶了总路程的 4 3+4 。第二次相遇时甲、乙两 车共行驶了3个总路程,那么甲车行驶了总 路程的 3 3+4×3 ,据此算出两次相遇时甲车 分别距B地的距离,即可求出两个相遇点之 间的距离。 [答案] 第一次相遇时甲车距B地: 490×1- 33+4 =280(km) 第二次相遇时甲车距B地: 490×3× 33+4-1 =140(km) 两个相遇点之间的距离:280-140=140(km) 答:两个相遇点之间的距离是140km。 点评:在速度不变的问题中,如果时间一定,那么 路程之比等于速度之比。 1. 两地相距1800m,甲、乙两人同时出发, 相向而行,在两地之间往返跑步。已知甲的 速度是100m/min,乙的速度是80m/min, 则两人第三次相遇时,甲距出发点多 少米? 2. 甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从 A,B两城相对而行,途中第一次相遇,相 遇点距离A城60千米,相遇后两车继续 以原来速度前进,到达对方出发地后又立 即返回,在途中第二次迎面相遇,这时相 遇点距A城40千米,那么第一次相遇 时,相遇点距B城多少千米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 四　正比例与反比例四　正比例与反比例 思维创新题 根据“时间一定时路程与速度成正比” 解决变速行程问题 甲、乙两人分别从A,B两地同时开车 出发,相向而行,出发时他们的速度比是3∶ 2。相遇后,甲的速度降低了20%,乙的速度 提高了30%,这样,当甲到达B地时,乙离 A地还有8km。A,B两地的距离是多少 千米? [解析] 相遇前甲、乙两人所用时间相同,他 们的路程比就是速度比。相遇后两人继续 行驶,所用时间还是相同,继续行驶的路程 比也是速度比。把路程比看成份数比,找到 8km所对应的份数,求出1份的量就能求 出总路程了。 [答案] 如图。 相遇前:甲行驶的路程∶乙行驶的路程=甲 的速度∶乙的速度=3∶2,即A,C两地的 距离∶C,B两地的距离=3∶2。 相遇后:甲行驶的路程∶乙行驶的路程=甲 的速度∶乙的速度=3×(1-20%)∶2× (1+30%)=12∶13,即C,B两地的距离∶ D,C两地的距离=12∶13。 所以A,C两地的距离∶C,B两地的距离∶ D,C两地的距离=18∶12∶13。 1份的路程:8÷(18-13)=85 (km) A,B两地的距离:85× (18+12)=48(km) 答:A,B两地的距离是48km。 点评:时间相同时,路程与速度成正比。即使速 度变化,只要对应的时间相等,那么对应的路程 之比就等于对应的速度之比。 1. 甲、乙两车分别从A,B两地出发,相向而 行。出发时,甲、乙两车的速度比是5∶ 4,相遇后,甲车的速度降低20%,乙车的 速度提高20%,这样,当甲车到达B地 时,乙车离A地还有10千米。A,B两地 的距离是多少千米? 2. 客、货两车分别从A,B两地同时相对开 出,已知客、货两车的速度比是4∶5。两 车在途中相遇后继续行驶。客车把速度 提高20%,货车速度不变,再行4时后,货 车到达A地,而客车离B地还有116km。 A,B两地相距多少千米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 数学(北师版)六年级下 综合拓展题 三角形中的等高模型 1. (1) 18×23=12 (cm2) 解析:根据三角形等高 模型可知,S三角形ABD∶S三角形ADC=BD∶DC=3∶ 2,所以S三角形ADC= 2 3S三角形ABD 。 (2) BD∶DC=4∶3 84× 44+3=48 (cm2) 解析:因为3BD=4DC,所以BD∶DC=4∶3,由 三角形等高模型可知,S三角形ABD∶S三角形ADC=4∶ 3,而 S三角形ABD +S三角形ADC =S三角形ABC,因 此 S三角形ABD=S三角形ABC× 4 4+3 。 2. (1) BF AE AD BD BC 解析:根据题 图找准对应的底后解答即可。 (2) S三角形BEF∶S三角形ABE=1∶2 S三角形ABE=2× 2=4(cm2) S三角形ABE ∶S三角形ABD =1∶2 S三角形ABD=4×2=8(cm2) S三角形ABD∶S三角形ABC= 1∶2 S三角形ABC=8×2=16(cm2) 解析:由F 是 AB 的 中 点,得 AB =2BF,所 以 S三角形BEF ∶ S三角形ABE=1∶2,S三角形ABE=2×2=4(cm2);由E 是AD 的中点,得 AD=2AE,所以S三角形ABE∶ S三角形ABD=1∶2,S三角形ABD=4×2=8(cm2);由D 是 BC 的 中 点,得 BC =2BD,所 以 S三角形ABD ∶ S三角形ABC=1∶2,S三角形ABC=8×2=16(cm2)。 三　图形的运动 第5周 综合拓展题 用逆推法解决图形还原问题 答案不唯一,如先将图形绕点O'按顺时针方向旋 转90°,再将它向左平移7格,即可画出这个图形原 来的位置 思维创新题 通过变换巧求面积 1. 4×2=8(cm2) 解析:通过平移可以将涂色部 分拼成一个长4cm、宽2cm的长方形,据此计算。 2. 4×2÷2=4(平方厘米) 解析:以直线MN 为 对称轴,作图形A的轴对称图形A',图形A'与图 形B刚好可以拼成一个三角形。 3. 12×15÷2=90(平方米) 解析:如图,如果将 三角形ADE 绕点D 按逆时针方向旋转90°,那么 两个涂色三角形可以转化为一个直角三角形,直角 边分别为12米和15米,据此可以计算出两个涂色 三角形的面积和。 四　正比例与反比例 第6周 综合拓展题 速度不变的多次相遇问题 1. 1800×5× 100100+80-2 =1400(m) 解析:根 据题意画出如下示意图。由图可知,第三次相遇 时,甲、乙两人的路程之和是5个全程,且此时甲的 行进方向是离开出发点的方向,所以此时甲距出发 点1800×5× 100100+80-2 m。 2. 解:设第一次相遇时,相遇点距B城x千米。 2×(60+x)-40=3×60 x=50 解析:由题意 可知,第一次相遇时甲车行驶了60千米。因为第 二次相遇时,甲、乙两车行驶的路程之和是3个A, B两城之间的距离,所以第二次相遇时,甲车共行 驶了3×60=180(千米)。画出示意图如图所示。 由图可知,因为第二次相遇时,相遇点距A城40千 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 附：答案与解析 米,即甲车行驶的180千米比A,B两城之间的距 离的2倍少40千米,可以设第一次相遇时,相遇点 距B城x千米,根据上面的等量关系列方程解答。 思维创新题 根据“时间一定时路程与速度 成正比”解决变速行程问题 1. 相 遇 后,甲、乙 两 车 的 速 度 比:[5×(1- 20%)]∶[4×(1+20%)]=5∶6 相遇后,乙车行 驶的路程的份数:4÷5×6=245 A ,B两地的距 离:10÷5-245 ×(5+4)=450(千米) 2. 把A,B两地的距离看作单位“1” 相遇后货车 每时行 4 4+5÷4= 1 9 客车的速度提高20%前每 时行1 9× 4 5= 4 45 客车的速度提高20%后每时行 4 45× (1+20%)=875 相遇后客车再行4时行了 8 75×4= 32 75 客车离B地还剩 54+5- 32 75= 29 225 A,B两地的距离:116÷29225=900 (km) 解析:把 A,B两地的距离看作单位“1”,由题意可知,相遇 时货车行了 5 4+5= 5 9 ,客车行了 4 4+5= 4 9 ,客车离 B地还剩59 。相遇后货车行了4 9 ,用了4时,每时 行4 9÷4= 1 9 ,则客车的速度提高20%前每时行 1 9× 4 5= 4 45 ;客车的速度提高20%后每时行445× (1+20%)=875 。相遇后客车再行4时行了875× 4=3275 ,客车离B地还剩59- 32 75= 29 225 ,由“客车离 B地还有116km”可知,116km 对应的分率是 29 225 ,用对应距离除以对应分率就是总距离。 第7周 教材思考题 根据反比例关系解决齿轮转动问题 2024×16÷6=5397(圈)……2(个) 因为“多”后 面的第2个汉字是“手”,所以最小的齿轮上面的箭 头所指的汉字是“手” 解析:由题图可知,当最大 的齿轮按顺时针方向转动时,从左数第二个齿轮按 逆时针方向转动,第三个齿轮按顺时针方向转动, 最小的齿轮按逆时针方向转动。要想知道最小齿 轮上面的箭头所指的汉字是什么,必须先求出转动 的总齿数,即用最大的齿轮的齿数乘转动的圈数, 然后除以最小的齿轮的齿数,如果商是整数,那么 箭头所指的汉字是“多”,如果有余数,余数是几,就 按顺时针方向数到“多”后面的第几个汉字即可。 思维创新题 根据“路程一定时速度与时间 成反比”解决变速行程问题 1. (1+25%)∶1=5∶4 24÷5-45 =120 (分) 1+13 ∶1=4∶3 10÷4-34 =40(分) 80÷ (120-40)×120=120(千米) 2. 2-40÷60=43 (时) 75%∶1=3∶4 43÷ (4-3)×3=4(时) 2-1.5=0.5(时) 0.5÷ (4-3)×3=1.5(时) 72÷1.5=48(千米/时) 48×(2+4)=288(千米) 解析:在丙地出故障时, 不算上修车时间,则行驶时间多了2-40÷60= 4 3 (时),后一段速度变成原来的75%,即原来的速 度与修好后的速度比为4∶3,则以这两个速度行 驶的时间比为3∶4,所以若按原来的速度行驶,从 丙地到乙地用时为4 3÷ (4-3)×3=4(时),同理, 在丁地出故障时多用了1.5时,即相比在丙地出故 障少用了2-1.5=0.5(时),是由于其超出丙地 72千米后才出故障,所以行这72千米所用时间为 0.5÷(4-3)×3=1.5(时),即原来的速度为72÷ 1.5=48(千米/时),按原来的速度从甲地到乙地共 需要2+4=6(时),所以甲、乙两地相距48×6= 288(千米)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(北师版)六年级下