周末拔尖学案 第2周-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版）

第2周 综合拓展题 圆柱(圆锥)的切割 如图,把一个底面直径为6cm的圆锥 从顶点沿着高所在的一个面将其切成完全 相同的两半,表面积增加了48cm2。求原来 圆锥的体积。 [解析] 解决圆锥对半切开后表面积增加的 问题时,我们可以根据增加的面是2个完全 相同的等腰三角形来计算原来圆锥的高,等 腰三角形的底是圆锥的底面直径,等腰三角 形的高是圆锥的高,所以圆锥的高为48÷ 2×2÷6=8(cm),最后根据圆锥的体积计 算公式求出圆锥的体积。 [答案] 48÷2×2÷6=8(cm) 1 3×3.14× (6÷2)2×8=75.36(cm3) 答:原来圆锥的体积是75.36cm3。 点评:解决这类问题的关键是弄清楚切面的形 状,再根据面积变化求出相关数据,最后求出 体积。 1. 把一个底面半径为4cm的圆锥沿底面两 条互相垂直的直径分成体积相等、形状相 同的4部分后,表面积增加了48cm2,求 每一部分的体积。 2. 如图,等底等高的圆柱和圆锥叠在一起, 对半切开后,表面积增加了144cm2,已知 圆柱的底面半径是6cm,求圆柱与圆锥 的体积和。 3. 一个零件的形状如图所示,从中间横着将 其切成两个完全相同的圆锥,表面积增加 56.52cm2;再从顶点沿着高所在的一个 面将两个圆锥都切成完全相同的两半,表 面积又增加60cm2。这个零件的体积是 多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 一　圆柱与圆锥 思维创新题 与放入水中的物体相关的计算 在底面积是300平方厘米的圆柱形容 器里,竖直放着一根高是60厘米、底面积是 100平方厘米的圆柱形铁棒,这时容器里水 深50厘米。现将铁棒轻轻地向上方提起 10厘米,水面下降了几厘米? [解析] 因为下降的水的体积等于提起的高 10厘米的圆柱形铁棒的体积,所以先根据 “圆柱的体积=底面积×高”求出10厘米高 的铁棒的体积,再除以圆柱形容器与铁棒的 底面积之差,即可求出下降的水面的高度。 [答案] 100×10÷(300-100)=5(厘米) 答:水面下降了5厘米。 点评:解决此类题的关键是明确铁棒被提起的同 时,水面下降的高度等于被提起部分的铁棒的体 积除以容器与铁棒的底面积之差。 1. 一个圆柱形水槽,底面半径为1分米,水 槽里竖直立着一根高为3分米、底面半径 为4厘米的圆柱形铁棒,这时水槽里水深 1分米。如果将铁棒轻轻向上提起5厘 米,那么水槽里的水面大约会下降多少厘 米? (结果保留两位小数) 2. 一个圆柱形容器,底面半径是50厘米,容 器里竖直立着一根高80厘米、底面半径 是30厘米的圆柱形铁棒,这时水面高 60厘米。现在将铁棒向上轻轻提起8厘 米,那么露出水面的铁棒被浸湿的部分高 多少厘米? 3. 一个圆柱形容器,底面半径为6厘米,容 器里竖直立着一根高为30厘米、底面半 径为4厘米的圆柱形铁棒,这时容器里水 深20厘米。把铁棒轻轻地向上提起几厘 米时,水面会下降6.4厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 数学(北师版)六年级下 附：答案与解析 一　圆柱与圆锥 第1周 教材思考题 长方形纸片围成圆柱的问题 1. A 2. ① ④ 理由:因为2×3.14×3=18.84,2× 3.14×4=25.12,由此可知半径为4的圆的周长是 25.12,即纸片①和④相匹配。 3. 最多:94.2÷3.14÷2=15(厘米) 3.14× 152+94.2×62.8=6622.26(平方厘米) 最少: 62.8÷3.14÷2=10(厘米) 3.14×102+94.2× 62.8=6229.76(平方厘米) 解析:圆柱的底面周 长等于长方形的长或宽。当圆柱的底面周长等于 长方形的长时,需要的铁皮最多;当圆柱的底面周 长等于长方形的宽时,需要的铁皮最少。根据圆柱 的底面周长求出圆柱的底面半径,进而求出圆柱的 底面积,再加上圆柱的侧面积(长方形的面积)得到 需要的铁皮的面积。 思维创新题 从立体图形中间挖去圆柱形孔, 求剩余部分的表面积问题 1. 3.14×(6÷2)2×2+3.14×6×18-3.14× (4÷2)2×2+3.14×4×18=596.6(cm2) 2. 6×6×6+3.14×2×2×6=291.36(dm2) 解析:要求这个零件涂防锈漆的面积,实际上就是 求棱长为6dm的正方体的表面积加上6个底面直 径为2dm、高为2dm的圆柱的侧面积。 3. 3.14×8×6+3.14×(8÷2)2×2+3.14×4× 2+3.14×2×2+3.14×1×2=295.16(平方厘米) 3.14×(1÷2)2×2=1.57(平方厘米) 295.16- 1.57=293.59(平方厘米) 解析:由题图,可知高 6厘米的圆柱被连续凿掉3个高2厘米的小圆柱, 此时圆柱形钢材被凿穿,从上往下看,圆柱形钢材 的底面积减少了2个直径为1厘米的圆的面积。 此外还增加了3个小圆柱的侧面积。计算出原表 面积,加上增加的3个小圆柱的侧面积,再减去 2个直径为1厘米的圆的面积,就可以得到现在这 个立体图形的表面积。 第2周 综合拓展题 圆柱(圆锥)的切割 1. 48÷(4×2)=6(cm2) 6×2÷4=3(cm) 1 3×3.14×4 2×3÷4=12.56(cm3) 2. 144÷2×23÷ (6×2)=4(cm) 1+13 × 3.14×62×4=602.88(cm3) 解析:对半切开后 增加的表面积为一个等腰三角形与一个长方形的 面积和的2倍,由于圆锥和圆柱等底等高,所以长 方形的面积是三角形面积的2倍,即长方形的面积 占它们面积和的2 3 ,所以长方形的宽(圆柱与圆锥 的高)为144÷2×23÷ (6×2)=4(cm)。因为等底 等高的圆锥的体积是圆柱体积的1 3 ,所以它们的体 积和为1+13 ×3.14×62×4=602.88(cm3)。 3. 56.52÷2=28.26(cm2) 28.26÷3.14= 9(cm2) 9=3×3 圆锥的底面半径为3cm 60÷4×2÷(2×3)=5(cm) 13×28.26×5×2= 94.2(cm3) 解析:由题意,可知从中间横着将零 件切成两个完全相同的圆锥后表面积增加的是两 个底面圆的面积,即一个底面圆的面积是56.52÷ 2=28.26(cm2),根据圆的面积计算公式可知,圆 锥的底面半径为3cm。再从顶点沿着高所在的一 个面将两个圆锥都切成完全相同的两半后表面积 增加的是4个等腰三角形的面积,即一个等腰三角 形的面积是60÷4=15(cm2)。每个等腰三角形的 底都等于一个底面圆的直径,高都等于圆锥的高, 由此可以算出圆锥的高为15×2÷(2×3)= 5(cm),进而求出零件的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 附：答案与解析 思维创新题 与放入水中的物体相关的计算 1. 1分米=10厘米 3.14×42×5÷(3.14× 102-3.14×42)≈0.95(厘米) 解析:由题意,可 知水槽里下降部分的水的体积等于高5厘米的铁 棒的体积。先根据圆柱的体积计算公式,求出高 5厘米的铁棒的体积,再除以水槽与铁棒的底面积 之差即可。 2. 3.14×302×8÷(3.14×502-3.14×302)=4.5(厘 米) 8+4.5=12.5(厘米) 解析:先算出高8厘 米的铁棒的体积,再除以圆柱形容器与铁棒的底面 积之差,求出水面下降的高度,最后加上8厘米即 可求出露出水面的铁棒被浸湿部分的高度。 3. (3.14×62-3.14×42)×6.4÷(3.14×42)= 8(厘米) 解析:解决本题的关键是明确下降部分 水的底面积是圆柱形容器与铁棒的底面积之差,先 求出下降部分水的体积,再除以铁棒的底面积,即 可求出铁棒被提起的高度。 二　比　例 第3周 综合拓展题 用转化法解决实际问题 1. 桃树的棵数×310= 梨树的棵数×12 桃树的棵数∶梨树的棵数=12∶ 3 10=5∶3 桃树:800× 55+3=500 (棵) 梨树:800× 35+3=300 (棵) 2. 科普书的本数×35= 故事书的本数×67 科普书的本数∶故事书的本数=67∶ 3 5=10∶7 科普书:51× 1010+7=30 (本) 故事书:51× 710+7=21 (本) 3. 男生人数×58= 女生人数×34 男生人数∶女生人数=34∶ 5 8=6∶5 男生:44× 66+5=24 (人) 女生:44× 56+5=20 (人) 思维创新题 配一个数组成比例的问题 1. 5×35÷20= 3 20 5×20÷ 3 5= 500 3 3 5×20÷ 5=125 解析:5,35 ,20这三个数两两组合各作为 比例的外项(或内项),剩下的数和要求的数作为比 例的内项(或外项),共有3种组合,进而根据“在比 例里,两个内项的积等于两个外项的积”求解。 2. 1 2× 3 4÷ 1 6= 9 4 解析:要使这个数最大,需使 给出的三个数中较大的两个数1 2 和3 4 是这个比例 的外项(或内项),此时最小的数1 6 和要求的这个数 就是比例的内项(或外项),进而根据“在比例里,两 个内项的积等于两个外项的积”求解。 3. 2 3×0.4÷5= 4 75 解析:要使a最小,需使给出 的三个数中较小的两个数2 3 和0.4是这个比例的 外项(或内项),此时最大的数5和要求的这个数就 是比例的内项(或外项),进而根据“在比例里,两个 内项的积等于两个外项的积”求解。 第4周 教材思考题 画放大或缩小后的图形问题 答案不唯一,如 按2∶1的比放大 解析:先数出原小伞图形的各部分所占的方格数, 如按2∶1的比放大,算出放大后图形的各部分所 占的方格数,进而画出放大后的图形。本题答案不 唯一。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(北师版)六年级下