四 正比例与反比例-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版）

4. (1) 解析:画图形B时,可以先画出图形A中的虚线旋转 后得到的对应虚线,再画出两段弧。用同样的方法画 出图形C和图形D。 (2) 2×3.14×3×2=37.68(厘米) 解析:从题图中 可以看出,4片花瓣共有8段弧,每段弧的长度是半 径为3厘米的圆周长的14 ,则周长一共是半径为3厘 米的圆周长的2倍。 提分真题集训 1. (1) C (2) C (3) B 2. (1) (2,4) (5,4) (2) (3) 12.56 3. (1) 右 4 (2) (14,8) (3)~(5) 如图所示 4. 答案不唯一,如先向右平移2格,再绕左下角的顶 点按顺时针方向旋转90°,最后向下平移1格 第三单元整合提升 1. (1) A向右平移2格,B向下平移2格,D向左平移 2格,C向上平移2格 (2) 答案不唯一,如A先向下 平移2格,再以斜边的中点为旋转中心,按逆时针方向 旋转90°;C先向下平移2格,再以斜边的中点为旋转 中心,按顺时针方向旋转90°;B和D不动 (3) A和D 分别向上平移2格,B向左平移2格,C向右平移2格 (4) 答案不唯一,如A先向左平移2格,再以斜边的中 点为旋转中心,按顺时针方向旋转90°;C先向左平移 2格,再以斜边的中点为旋转中心,按逆时针方向旋转 90°;D先向右平移2格,再向下平移2格;B先向上平移 2格,再向右平移2格 2. 答案不唯一,如 3. 4. 解析:1分=60秒,60÷3=20(次),变化了20次,就 是第21个图案;根据变化规律可知,4个图案为1组 循环排列,21÷4=5(组)……1(个),余下1个图案, 就和第1个图案相同。 四　正比例与反比例 第1课时 变化的量 1. (1) 26 25 24 24 (2) 时间 单词个数 单 词个数 时间 (3) 1 2 2. (1) 1.4 0.4 (2) 0 3 3 6 (3) 6 3. 当长一定时,宽增加,面积随着增加,面积与宽的 比值不变 4. (1) 4 6 (2) 未悬挂重物时,弹簧的长度是 10cm 悬挂重物的质量增大,弹簧的长度同时增长, 悬挂重物的质量每增加1kg,弹簧的长度同时增长2cm (3) y=2x+10 解析:将表格填写完整后,发现弹 簧悬挂重物的质量和弹簧伸长的长度的比值是固定 的,即悬挂重物的质量每增加1kg,弹簧的长度同时 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 增长2cm,根据这个关系可以写出悬挂重物的质量 和弹簧的长度之间的关系式。 第2课时 正 比 例(1) 1. (1) 60 90 120 150 (2) 长度 金额 金额 长度 (3) 答案不唯一,如60∶2=30 90∶3=30 30=30 (4) 表示这种丝绸每米售价30元 (5) 成 正比例 知识归纳 正比例的意义 两个相关联的量,一个量会随另一个量的变 化而变化,且这两个量相对应的两个数的比值一 定,这两个量就成正比例。 2. x 10 40 50 30 60 y 5 20 25 15 30 解析:因为x 和y 成正比例,所以x 和y 的比值一 定。由表格可以看出,x和y的比值是2,据此求出表 格中空缺的数。 3. (1) 路程增加,耗油量也随之增加 (2) 成正比例 路程和耗油量是相关联的量,且它们的比值一定 4. 棱长/cm 1 2 3 4 底面积/cm2 1 4 9 16 表面积/cm2 6 24 54 96 体积/cm3 1 8 27 64 质量/g 7.8 62.4 210.6 499.2 表面积和底面积成正比例,质量和体积成正比例 解析:先根据正方体的底面积、表面积、体积计算公式 进行计算把表格填写完整,再根据正比例的意义判断 哪两个量成正比例。 5. A 一定时,C和B 成正比例 B 一定时,C和A 成 正比例 解析:判断两个量是否成正比例时,要看这 两个量对应的两个数的比值是否一定,如果一定,那 么成正比例。 第3课时 正 比 例(2) 1. (1) B (2) A (3) A 2. 行驶里程/km 3 4 5 6 8 13 计费/元 8 9 10 11 13 18 计费和行驶里程不成正比例 因为虽然计费随着行 驶里程的增加而增加,但是它们的比值不是定值 3. m 和n成正比例 因为由16m= 7 8n (m,n均不为 0),得到m∶n=214 ,比值一定 4. 1丈5尺=15尺 1尺5寸=1.5尺 5寸= 0.5尺 解:设木杆长x尺。 x∶15=1.5∶0.5 x=45 解析:根据生活经验可知,同一时刻、同一地 点,木杆的长度与影子的长度成正比例,据此列比例 式解答。 5. 药粉:5.1× 150+1=0.1 (kg) 水:0.1×50= 5(kg) 解析:根据题表中的数据可得水和药粉的使 用量成正比例,并且药粉的质量∶水的质量=1∶50, 由 此 可 计 算 出 5.1kg药 水 中 药 粉 的 质 量 为 5.1× 150+1 kg,进而求出水的质量。 第4课时 画 一 画 1. (1) 320 400 480 (2) 樱桃的总价和质量成正 比例 因为总价随着质量的增加而增加,且总价与质 量的比值一定 (3) 发现:描出的各点在同一条直线上 (4) 点(8,640)在 这条直线上 这一点表示买8千克樱桃需要640元 (5) 买5.5千克这样的樱桃应付440元 280元能买3.5千克这样的樱桃 2. 该图象表示正比例关系 答案不唯一,如可能表 示总价和数量两个量 总价/元 10 20 30 40 50 60 数量/个 2 4 6 8 10 12 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 解析:判断两个相关联的量是否成正比例,只要判断 出这两个量对应的比值是否一定。然后结合图中的 数据,联系生活实际,图中可能表示总价和数量两个 量,据此解答即可。本题答案不唯一。 3. (1) 8∶1 110 解析:平均每名工人加工螺丝的 个数与加工时间的比为40∶5=8∶1,加工螺母的加 工时间与个数的比值为5÷50=110 。 (2) 正 (3) 25 20 解析:这个车间有45名工人,设安排 x名工人加工螺丝,则剩下的(45-x)名工人加工螺 母。根据题图可知,平均一名工人1时可以加工8个 螺丝或10个螺母。因为一个螺丝搭配一个螺母,所 以每时加工的螺丝、螺母的数量应符合1∶1的关系, 则8x∶[10×(45-x)]=1∶1,所以x=25。因此安 排25名工人加工螺丝,剩下的45-25=20(名)工人 加工螺母最合理。 第5课时 反 比 例(1) 1. (1) 每时做的数量 所需时间 所需时间 每时 做的数量 (2) 30 这批剪纸一共有30张 (3) 总 数量 反 2. (1) 200 120 100 40 (2) 6000页纸不变,装 订的本数随着每本的页数的变化而变化,每本的页数 越多,装订的本数越少 (3) 装订的本数和每本的页数成反比例 因为每本 的页数×装订的本数=总页数,总页数是6000,是一 定的 解析: 装订的本数和每本的页数的关系:每本 的页数×装订的本数=总页数(一定),乘积一定,装 订的本数和每本的页数成反比例。 3. x 3 30 6 5 y 2 1 5 1 1.2 解析:因为x和y两个量成反比例,所以xy=3×2= 6,用6除以其中一个量,即可求出另一个量。 知识归纳 反比例的意义 如果用字母x和y表示两个相关联的量,用 k(一定)表示它们的积,那么反比例关系可以用 “xy=k(一定)”来表示。 4. (1) 拼一拼略 长/cm 48 24 16 12 8 宽/cm 1 2 3 4 6 面积/cm2 48 48 48 48 48 (2) 成反比例 解析:因为长与宽的乘积(面积)一 定,所以长方形的长与宽成反比例。 5. 每块方砖的面积/平方分米 9 36 16 方砖的数量/块 160 40 90 所需方砖的数量与每块方砖的面积成反比例 解析:因为这间房子地面的面积一定,所以所需方砖 的数量与每块方砖的面积成反比例。 第6课时 反 比 例(2) 1. (1) B (2) A 2. 已挖掘长度/km 0.51.5 3 3.54.5 6 剩余长度/km 5.54.5 3 2.51.5 0 已挖掘长度和剩余长度不成反比例 因为已挖掘长 度和剩余长度的和一定,但乘积不是一个定值 3. 图略 水的体积 反 < < > > 4. (1) 长方形的长与宽成反比例 因为长与宽的乘 积(长方形的面积)一定 解析:判断两个相关联的量成什么比例,就看这两个 量是对应的比值一定,还是对应的乘积一定。如果是 对应的比值一定,那么成正比例;如果是对应的乘积 一定,那么成反比例。 (2) ① 2.5 ② 150 解析:因为长方形的面积一定,用长方形的面积除以 长(或宽),就得到长方形的宽(或长)。 5. (1) 答案不唯一,如边AD 的长与边AD 上的高成 反比例 解析:在平行四边形ABCD 中,边AB 的长 与边AB 上的高的乘积和边AD 的长与边AD 上的 高的乘积相等,都是平行四边形ABCD 的面积。 (2) 44÷2-10=12(cm) 10×9÷12=7.5(cm) 解析:先根据平行四边形的周长及边AB 的长,可以 求出边AD 的长,再根据边AB 的长和边AB 上的 高,可以求出平行四边形的面积,最后用平行四边形 的面积除以边AD 的长即可解答。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 第7课时 练 习 四 1. 17 25.5 34 42.5 (1) 总价与个数成正比例 理由:总价÷个数=单价(一定),所以总价与个数成 正比例。 (2) (3) 51 (4) 1 3 解析:根据总价与个数成正比例,李老师买 风筝用的钱数是张老师的3倍,可知李老师买风筝的 个数也是张老师的3倍,所以张老师买风筝的个数是 李老师的1 3 。 2. (1) A (2) A 3. 24×(1-25%)=18(km) 解:设该轮船xh后可 以返回A地。 18x=24×15 x=20 4. 60×2÷8=15(页) 解析:从题图中可以看出,每天看的页数和需要的天 数成反比例,选择一个需要的天数乘对应的每天看的 页数求出这本书的总页数,再除以8即可解答。 5. 100-10=90(米) 90-15=75(米) 解:设当乙到达终点时,丙跑了x米。 100∶x=90∶75 x=2503 100- 250 3 = 50 3 (米) 解析:由题意可知,甲到达终点时,乙跑了100-10= 90(米),丙跑了90-15=75(米)。因为乙和丙的速 度始终不变,在时间相同的情况下,乙跑的路程和丙 跑的路程成正比例,据此求出当乙到达终点时丙跑的 路程,即可求出乙领先丙多少米。 提分真题集训 1. (1) D (2) B 2. (1) 正 (2) 香蕉 (3) 买3千克苹果要用12元 20元可以买2.5千克香蕉 3. (1) 30 24 (2) 平均每天看的页数和所用的时 间成反比例 理由:平均每天看的页数和所用的时间 的乘积(总页数)一定。 (3) 解:设他平均每天看 x页。 30x=4×60 x=8 4. (1) 正 (2) 2 (3) 32 第四单元整合提升 1. A 和B 成比例 成正比例 因为A×2=B÷3, 得A∶B=16 ,所以A 和B 成正比例 2. a和c成比例 成正比例 因为当把b=5c代入 1 5a= 3 4b 时,得1 5a= 3 4×5c= 15 4c ,a∶c=754 ,所以 a和c成正比例 3. (1) 200 300 (2) 图略 所描的点都在同一条直线上 (3) 正 解析:根据数量与时间的比值一定,得出数 量与时间成正比例。 (4) 60 140(合理即可) 解析:观察题图估计李师 傅2.5时和5.5时生产零件的数量,先分别在横轴上 找到2.5和5.5,再分别从这两点作横轴的垂线,分 别与图象相交于一点,最后从交点分别作纵轴的垂 线,得到李师傅2.5时和5.5时生产零件的数量。 4. 4×4×4=64(cm3) 64÷0.5×0.4=51.2(cm3) 解析:石头的体积=水面下降部分的体积=长方体容 器的底面积×水面下降的高度,正方体铁块的体积= 水面上升部分的体积=长方体容器的底面积×水面 上升的高度。正方体铁块的体积为4×4×4= 64(cm3),由此可得石头的体积为64÷0.5×0.4= 51.2(cm3)。 5. 解:设这架飞机最多飞出x时就需要返回。 800x=600(7-x) x=3 800×3=2400(千米) 解析:由题意可知,往、返路程相同,所以速度和时间 成反比例。可设这架飞机最多飞出x 时就需要返 回,根据去时的速度×去时所用的时间=返回时的速 度×返回时所用的时间,列出方程求出x,再用去时 的速度乘去时所用的时间即可求解。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 四 正比例与反比例 第1课时 变化的量 1. (学科融合)亮亮第一天记住了100个单词, 之后每天对这100个单词进行听写,下面是 听写正确的单词个数情况。 (1) 观察统计图,把表格中的数据填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 7 单词个数 100 34 28 (2) 图表中变化的量是( )和( ), ( )随着( )的变化而变化。 (3) 听写正确的单词个数下降最快的是第 ( )天到第( )天。 2. (生活应用)星期日,淘气到公园荡秋千。秋 千高度的变化情况可以用下图表示。 (1) 淘气荡秋千的过程中,达到最高点的高 度是( )米,最低点的高度是( )米。 (2) 荡秋千的第一个起落过程中,( )~ ( )秒时,高度在升高,( )~( )秒 时,高度在降低。 (3) 到达最高点后,下一次再到达最高点需 要经过( )秒。 3. 当长方形的长等于12cm时,它的面积和宽 的变化情况如下表所示。 宽/cm 2 4 6 8 面积/cm2 24 48 72 96 结合上面的数据,说一说长方形的面积与宽 的变化关系。 4. (探索规律)弹簧的长度和悬挂重物的质量之 间的关系如下表所示。 悬挂重物的质量/kg 0 1 2 3 … 弹簧的长度/cm 10 12 14 16 … 弹簧伸长的长度/cm 0 2 … (1) 根据表中数据,将上表填写完整。 (2) 未悬挂重物时,弹簧的长度是多少厘米? 弹簧的长度和悬挂重物的质量之间有怎样的 变化关系? (3) 如果用x 表示悬挂重物的质量,y 表示 弹簧的长度,你能用式子表示出悬挂重物的 质量和弹簧的长度之间的关系吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第2课时 正 比 例(1) 1. ★(时事热点)新丝绸之路经济带给我国经济 注入了新的活力。我国的许多纺织品都远销 国外,其中一种丝绸在国外特别受欢迎。已 知这种丝绸每米售价30元,那么购买2米、 3米、4米、…这种丝绸各要多少元? (1) 将相应的金额填入表中。 长度/米 1 2 3 4 5 … 金额/元 30 … (2) 表中( )和( )是两个相关联的 量,( )随着( )的变化而变化。 (3) 根据上表,写出两组金额和长度相对应 的两个数的比,求出比值,并比较比值的大小。 (4) 上面求出的比值表示的意义是什么? (5) 表中相关联的两个量成正比例吗? 2. 下表中的x和y是成正比例的两个量,请把 表格填写完整。 x 10 40 30 60 y 5 25 3. 一辆汽车匀速行驶,其行驶的路程和耗油量 如下表所示。 耗油量/L 2 4 6 8 路程/km 25 50 75 100 (1) 说一说路程和耗油量之间的变化关系。 (2) (说理表达)路程和耗油量成正比例吗? 为什么? 4. (操作探究)下表是有关正方体铁块的一些 量,先把表格填写完整,再回答问题。 棱长/cm 1 2 3 4 底面积/cm2 4 16 表面积/cm2 6 54 体积/cm3 质量/g 7.8 62.4 210.6 499.2 表中哪两个量成正比例? 5. (推理意识)A,B,C三个量的关系是A×B= C(A,B,C 都不为0)。A,B,C 中,哪两个量 成正比例? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(北师版)六年级下 第3课时 正 比 例(2) 1. 选一选。 (1) x,y(x,y均不为0)成正比例的是( )。 A. 3 x=y B. 3x=4y C. y=x-3 D. x 4=5+ y 8 (2) 下面各组中的两个相关联的量成正比例 的是( )。 A. 定期一年的利息和本金 B. 人的体重和身高 C. 一本书,已经看的页数和没有看的页数 D. 一段路,每天修的长度和天数 (3) 下面的说法中,正确的有( )个。 ① 三角形的周长一定,底和对应的高成正 比例。 ② 圆锥的体积一定,底面积和高成正比例。 ③ 正方形的面积和边长不成比例。 ④ 甲∶15=5∶乙(甲、乙均不为0),甲和乙 成正比例。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下表记录了某出租车的计费情况。先把表格 填写完整,再回答问题。 行驶里程/km 3 4 5 8 计费/元 8 9 10 11 18 计费和行驶里程成正比例吗? 为什么? 3. (说理表达)已知1 6m= 7 8n (m,n 均不为0), 则m 和n成正比例吗? 为什么? 4. (数学文化)《孙子算经》记载:“今有竿,不知 长短,度其影,得一丈五尺,别立一表,长一尺 五寸,影得五寸。问:竿长几何?”其意思是现 有一根木杆,不知道它的长度,量它的影子, 长1丈5尺。另外立了一根长1尺5寸的标 杆,影子长5寸,木杆长多少尺呢? (1丈= 10尺,1尺=10寸) 5. (生活应用)李老师为了给班级消毒,需要配 置一种药水,药粉和水的使用量如下表: 药粉/g 1 2 3 4 5 6 水/g 50 100 150 200 250 300 如果要配制5.1kg药水,那么需要药粉和水 各多少千克? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 四　正比例与反比例 第4课时 画 一 画 1. (生活应用)一种樱桃售出的质量与总价如 下表: 质量/千克 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 80 160 240 … (1) 把上表补充完整。 (2) 樱桃的总价和质量成正比例吗? 为什么? (3) 根据上表描点,再顺次连线,你发现了 什么? (4) 点(8,640)在这条直线上吗? 这一点表 示什么含义? (5) 根据图象判断,买5.5千克这样的樱桃 应付多少元? 280元能买几千克这样的樱桃? 2. (创新意识)请你观察下图,判断该图象是否 表示正比例关系,并联系生活实际举例说明 可能是什么样的两个量。填在表格第一列 中,并在后面填出相应的数据。 3. (思维过程)工厂某个车间平均每名工人加工 螺丝与螺母的情况如图所示。 (1) 根据图中信息,平均每名工人加工螺丝 的个数与加工时间的比为( ),加工螺母 的加工时间与个数的比值为( )。 (2) 平均每名工人加工零件的个数与加工时 间成( )比例。 (3) 这个车间有45名工人,若一个螺丝搭配 一个螺母,则安排( )名工人加工螺丝,剩 下的( )名工人加工螺母最合理。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(北师版)六年级下 第5课时 反 比 例(1) 1. (传统文化)我国的剪纸是一种用剪刀或刻刀 在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他 民俗活动的民间艺术。王阿姨要做一批剪 纸,她每时做的数量和所需时间的关系如下 表所示。 每时做的数量/张 1 3 5 6 10 所需时间/时 30 10 6 5 3 (1) 表中( )和( )是两个 相关联的量,( )随着( ) 的变化而变化。 (2) 表中每组的两个数的积都等于( )。 这个积表示的意义是( )。 (3) 因为( )一定,所以表中相关联的 两个量成( )比例。 2. 印刷厂用6000页纸装订练习册,每本的页数 和装订的本数如下表: 每本的页数 20 30 50 60 150 装订的本数 300 (1) 把上表补充完整。 (2) 装订的本数和每本的页数之间的变化关 系是怎样的? (3) 装订的本数和每本的页数成反比例吗? 为什么? 3. ★下表中,x 和y两个量成反比例,请把下表 填写完整。 x 3 6 y 2 15 1.2 4. (操作探究)用48个边长为1 cm的小正方形 拼成一个长方形。 长/cm 宽/cm 面积/cm2 (1) 先动手拼一拼,再将每种拼法的数据填 在表中。 (2) 观察上表中的数据,当长方形的面积一 定时,长方形的长与宽成反比例吗? 5. (生活应用)给一间房子的地面铺地砖,如果 用每块面积为9平方分米的方砖来铺,那么需 要160块。如果用每块面积为36平方分米 的方砖来铺,那么需要多少块? 如果需要方 砖的数量是90块,那么每块方砖的面积是多 少平方分米? 请算一算,将下表填写完整。 每块方砖的面积/平方分米 9 36 方砖的数量/块 160 90 所需方砖的数量与每块方砖的面积是否成反 比例? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 四　正比例与反比例 第6课时 反 比 例(2) 1. 选一选。 (1) 已知A,B 均不为0,则下面各式中,表示 A 和B 成反比例的式子为( )。 A. B A=5 B. A×B=15 C. A+B=6 D. A-B=0 (2) 如果甲数与乙数互为倒数(甲数、乙数均 不为0),那么甲数与乙数( )。 A. 成反比例 B. 成正比例 C. 不成比例 D. 无法判断 2. (地域景观)“皖江第一隧”———芜湖城南过江 隧道全长约6km,下表记录了该隧道的施工 进度。先把表格填写完整,再回答问题。 已挖掘长度/km 0.5 1.5 3 4.5 剩余长度/km 2.5 0 已挖掘长度和剩余长度成反比例吗? 为 什么? 3. (操作探究)如图,有三个圆柱形容器,底面积 各不相等。在这三个容器中倒入同样多的 水,请根据B容器中水的高度估计出A和C 容器中水的高度,并画出来,然后完成下面的 填空。 A B C ( )一定,因此圆柱形容器的底 面积和水的高度成( )比例,因为SA SB SC,所以hA hB hC(在 里 填上“>”“<”或“=”)。 4. (数形结合)如图所示为长方形的长与宽的 关系。 (1) 长方形的长与宽成什么比例? 为什么? (2) 填空。 ① 如果长方形的长是120cm,那么宽是 ( )cm。 ② 如 果 长 方 形 的 宽 是2cm,那 么 长 是 ( )cm。 5. (创新应用)如图,平行四边形ABCD 的边 AB 的长是10cm,边AB 上的高是9cm。 (1) 你能找出图中成反比例的两个量吗? (2) 若平行四边形ABCD 的周长是44cm, 则边AD 上的高是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(北师版)六年级下 第7课时 练 习 四 1. (传统文化)放风筝作为一项古老的民间活动, 已逐步成为我国民俗文化的重要内容之一。 一种风筝每个8.5元,把下表填写完整。 个 数 0 1 2 3 4 5 总价/元 0 8.5 (1) 判断总价与个数是否成正比例,并说明 理由。 (2) 把上表中风筝的个数与总价所对应的点 描在方格纸上,再顺次连接。 (3) 买6个风筝需要( )元。 (4) 李老师买风筝用的钱数是张老师的3倍, 张老师买风筝的个数是李老师的( )。 2. 选一选。 (1) 下面相关联的两个量中,成正比例的是 ( )。 A. 订阅报纸的费用和订阅的份数 B. 正方体的表面积和它的棱长 C. 小华看故事书,看了的页数和未看的页数 D. 工作总量一定时,工作时间和工作效率 (2) 下面相关联的两个量中,成反比例的是 ( )。 A. 三角形的面积一定,它的底和对应的高 B. 全班人数一定,出勤人数和缺勤人数 C. 比值一定,比的前项和后项 D. 圆的周长和直径 3. 一艘轮船从A地驶向B地,去时顺水而行, 每时行驶24km,共行驶15h;返程时逆水而 行,速度比去时慢了25%。该轮船多久后可 以返回A地? 4. (数形结合)看一本书,每天看的页数和需要 的天数如图所示。如果要8天看完这本书, 那么平均每天看多少页? 5. (创新应用)甲、乙、丙三人参加100米跑比 赛,甲到达终点时,领先乙10米,此时,乙领 先丙15米。假设乙和丙的速度始终不变,那 么当乙到达终点时,将领先丙多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 四　正比例与反比例 提分真题集训 1. 选一选。 (1) (茂名化州)下面的两个量中,不成反比 例的是( )。 A. 三角形的面积一定,它的底和对应的高 B. 一个数和它的倒数 C. 从甲地到乙地所用的时间和速度 D. 圆的周长和它的半径 (2) (泉州晋江)下面各选项中的两个量,成 正比例的是( )。 A. 平行四边形的面积一定,它的底和对应的高 B. 正方体的表面积和它的一个面的面积 C. 已知y=3+x,y和x D. 已知9∶x=y∶4,y和x 2. (北京海淀区)下面的图象表示了香蕉、苹果 的总价和数量之间的关系,看图回答问题。 (1) 香蕉的总价和购买的数量成( )比例。 (填“正”或“反”) (2) 从图象上看,单价更贵的水果是( )。 (填“香蕉”或“苹果”) (3) 买3千克苹果要用多少元? 20元可以买 多少千克香蕉? 3. (茂名化州)亮亮看一本故事书,平均每天看 的页数和所用的时间见下表: 平均每天看的页数 4 6 8 10 15 … 所用的时间/天 60 40 ① ② 16 … (1) 上表中的①②分别应该填什么数? 在括 号中填出来。 ① ( ) ② ( ) (2) 平均每天看的页数和所用的时间是否成 反比例? 请说明理由。 (3) 如果亮亮用30天看完了这本故事书,那 么他平均每天看多少页? 4. (丽水龙泉)一根弹簧挂上物体(质量不超过 40千克)后长度会成比例伸长,下图表示所 挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的 关系。 (1) 所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成 ( )比例。 (2) 挂上8千克的物体,那么弹簧伸长( ) 厘米。 (2) 要使弹簧伸长8厘米,应挂上( )千 克的物体。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 数学(北师版)六年级下 第四单元整合提升 类型一 根据等式判断比例关系 将等式进行适当的变形,得出等式中两个字母的积或 商,然后根据正比例、反比例的意义去判断。 1. 如果A×2=B÷3(A,B 均不为0),那么A 和B 成比例吗? 成什么比例? 为什么? 2. (推理意识)已知1 5a= 3 4b (a,b均不为0), b=5c,则a和c成比例吗? 成什么比例? 为 什么? 类型二 根据正比例图象进行估计 根据正比例图象进行估计,可先在横轴上找到已知 点,再从这点作横轴的垂线,与图象相交于一点,从交 点作纵轴的垂线,得出要估计的值。 3. (生活应用)李师傅生产零件的情况如下表所示。 时间/时 1 2 4 6 8 12 数量/个 25 50 100 150 (1) 把上表填写完整。 (2) 把上表中的数据在下图中表示出来。顺 次连接各点,你发现了( )。 (3) 表中的数量与时间成( )比例。 (4) 看图估计一下,李师傅2.5时生产 ( )个零件,5.5时生产( )个零件。 素养点 运用比例关系解决问题 4. (思维过程)欢欢想知道一块石头的体积,她 把这块石头浸没在长方体容器中(如图,长方 体容器足够高),当她把这块石头拿出水面 时,容器的水面下降了0.4cm,她又将一块 棱长为4cm的正方体铁块浸没在这个容器 中,容器的水面上升了0.5cm。这块石头的 体积是多少? 思路提示:底面积一定,体积和高成正比例。 5. (创新应用)一架飞机所带的燃料最多可以飞 行7时,飞机去往某地时顺风,每时飞行800千 米,按原飞行路线返回时逆风,每时飞行600千 米。为保证飞行安全,这架飞机最远飞出多 少千米就需要返回? 思路提示:往、返路程相同,速度和时间成反比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 四　正比例与反比例