二 比例-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版）

部分与倒放的空余部分交换一下,可以发现这个瓶子 的容积即为底面直径是8厘米、高是(10+2.5)厘米 的圆柱的体积。 6. 答案不唯一,如选方法一 将两个三棱柱拼成一 个底面是平行四边形的立体图形,再通过割补将其转 化为长方体,此时长方体的底面积为2S,高为h,体 积为2Sh,所以V三棱柱=2Sh÷2=Sh 提分真题集训 1. (1) 圆柱 πb2a πa2b b∶a (2) 28.26 2. (1) A (2) C (3) A 3. (1) 62.8÷3.14÷2=10(m) 62.8×5+3.14× 102=628(m2) (2) 3.14×102×3=942(m3) 4. 690×36÷230=108(cm) 5.(1) 169.56 (2) 3.14×32×(2×3)×23=113.04 (cm3) 第一单元整合提升 1. π×62×2+2×π×6×6+2×π×3×2=156π(cm2) π×62×6-π×32×2=198π(cm3) 2. 3×(6÷2)2×10-13×3× (6÷2)2×(10÷2)×2= 180(cm3) 3. 3.14×(12.56÷2÷3.14÷2)2×8=25.12(立方厘 米) 解析:沿水平方向锯去2厘米后,剩下圆柱的表 面积比原来圆柱的表面积少的部分相当于2厘米高的 圆柱的侧面积,所以原来圆柱的底面周长是12.56÷2= 6.28(厘米),底面半径是6.28÷3.14÷2=1(厘米), 原来圆柱的体积是3.14×12×8=25.12(立方厘米)。 4. 94.2÷2.5=37.68(厘米) 37.68÷3.14÷2= 6(厘米) 3.14×62×(2+1)=339.12(平方厘米) 解析:根据“如果这个圆柱的底面积不变,高增加 2.5厘米,那么它的表面积就增加94.2平方厘米”, 可求出底面周长,进而求出底面半径及底面积。因为 圆柱的一个底面积与侧面积正好相等,所以原来这个 圆柱的表面积是一个底面积的(2+1)倍。据此解答。 5. 3.14×2×15÷2+3.14×(2÷2)2=50.24(平方 米) 解析:覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积包 括它所在圆柱侧面积的一半加上前、后面两个半圆拼 成的一个圆的面积。 6. 600÷4=150(cm2) 314÷4=78.5(cm2) 78.5÷ 3.14=25(cm2) 25=5×5 圆柱的底面半径是5cm 150÷(5×2)=15(cm) 78.5×15=1177.5(cm3) 解析:按题图①所示的切法,表面积增加的部分可以 看成是4个长方形的面积,每个长方形的面积等于圆 柱的底面直径与高的乘积。按题图②所示的切法,表 面积增加的部分是圆柱的4个底面积,据此算出圆柱 的底面积和半径,进而算出圆柱的高,最后依据圆柱 的体积计算公式算出体积。 7. 2×2×2-3.14×(2÷2)2×2=1.72(立方分米) 解析:通过观察题图可知,把这块正方体木料削成一 个最大的圆柱,这个圆柱的底面直径和高都等于正方 体的棱长,根据正方体的体积计算公式V=a3 和圆 柱的体积计算公式V=πr2h,把数据代入公式求出它 们的体积差即可。 8. 1 3×3.14× (6÷2)2×6=56.52(立方分米) 解析:通过观察题图可知,这个圆锥的底面直径和高 都等于正方体的棱长,根据圆锥的体积计算公式V= 1 3πr 2h,把数据代入公式即可解答。 9. V液体=S×2h=2Sh V高脚杯=13×S×h= 1 3Sh V液体∶V高脚杯=2Sh∶13Sh=6∶1 能倒满6杯 10. 25.7÷(1+1+3)=5.14(立方分米) 5.14× 3=15.42(立方分米) 解析:由题图②可以看出,放 入一个圆柱形铁块和两个圆锥形铁块后,溢出水的体 积是25.7立方分米,即一个圆柱形铁块和两个圆锥 形铁块的体积之和是25.7立方分米。已知圆柱形铁 块和圆锥形铁块的底面积和高均相等,则一个圆柱形 铁块与一个圆锥形铁块的体积比为3∶1,所以25.7立 方分米相当于(1+1+3)个圆锥形铁块的体积之和, 据此可以先求出1个圆锥形铁块的体积,进而求出圆 柱形铁块的体积。 二　比　例 第1课时 比例的认识(1) 1. (1) 两个比相等 15 4.2 5 12.6 (2) 2 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 答案不唯一,如4∶6=15∶0.3 2. (1) A (2) C 3. (1) 不可以组成比例 (2) 可以组成比例 12∶ 1 3= 1 4∶ 1 6 方法归纳 判断两个比是否可以组成比例的方法 分别求出这两个比的比值,看它们的比值是 否相等。 4. 答案不唯一,如1∶2=0.5∶1 2∶3=1∶1.5 4∶3=2∶1.5 5. (1) 2∶(2×2)=1∶2 (3.14×2)∶(2×3.14× 2)=1∶2 1∶2=12 1 2= 1 2 这两个比能组成比 例 (2) [3.14×(2÷2)2]∶(3.14×22)=1∶4 1∶4=14 1 4 不等于1 2 这个比与直径之比不能组 成比例 解析:分别写出两个圆的直径之比、周长之 比及面积之比,并分别求出比值,再根据比值是否相 等判断它们能否组成比例。 6. 答案不唯一,如1∶2=4∶8 1∶2=2∶4 7. 4 7∶ 8 7=3∶6 或6∶12=27∶ 4 7 解析:由两个 外项分别是4 7 与6,且两个比的比值都是0.5,得出第 一种情况的第一个比的后项是4 7÷0.5= 8 7 ,第二个 比的前项是6×0.5=3,据此写出这个比例。同理可 得第二种情况。 第2课时 比例的认识(2) 1. (1) a 4 15 11 (2) 8 3 (3) 4 5 2. (1) B (2) B (3) D 3. 1.5∶0.9=5∶3 1.5∶5=0.9∶3 3∶0.9=5∶1.5 3∶5=0.9∶1.5 0.9∶1.5=3∶5 0.9∶3=1.5∶5 5∶1.5=3∶0.9 5∶3=1.5∶0.9 4. 3∶5.7=1019 20∶38= 10 19 10 19= 10 19 可以组成比 例 这个比例是3∶5.7=20∶38 5. (1) 减去10 或除以2或乘12 (2) 2 解析:第一个比的后项增加5,变成了4∶ (15+5)=4∶20。只改变第二个比的前项,使比例仍 然成立,则比例的外项之积不变,是4×30=120,此 时第二个比的前项是120÷20=6,因此第二个比的前 项应减去8-6=2。 方法归纳 根据比例的内项之积等于外项之积写比例 要能组成新的比例,只要根据其中某个项的 变化,改变另一个项,并确保内项之积等于外项 之积(或等号两边的比的比值相等)即可。 6. 答案不唯一,如a∶b=d∶c b∶a=c∶d 解析:由于b a 和d c 互为倒数,即b a× d c=1 ,可得ac= bd,这样根据“比例的内项之积等于外项之积”可以 写出不同的比例。 第3课时 比例的应用 1. (1) x∶4.5=3∶13.5 x=1 (2) 比例不唯一, 如2∶4=x∶4.5 x=2.25 易错分析 未正确改写比例为方程 把含有未知项的比例改写成方程的形式时, 必须符合两个内项的积等于两个外项的积这一 要求。 2. 解:设当时原版埃菲尔铁塔的高度是x米。 108∶x=1∶3 x=324 3. 解:设他需要准备x两茶叶。 3斤2两=50两 1∶50=x∶350 x=7 4. A的面积×13=B 的面积×15 A的面积∶B的面积=3∶5 解:设A的面积是x平方厘米。 x∶60=3∶5 x=36 5. 解:设需要水xkg。 1.8∶x=3∶5 x=3 1.8+3=4.8(kg) 6. 解:设蜡烛最初的长度是x厘米。 (x-12)∶8=(x-7)∶18 x=16 解析:可设蜡烛最初的长度是x厘米。由题意可知, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 蜡烛燃烧(x-12)厘米,燃烧了8分;蜡烛燃烧(x- 7)厘米,燃烧了18分。根据蜡烛每分燃烧的长度一 定列出比例式求解即可。 第4课时 比 例 尺(1) 1. (1) D (2) C (3) B 2. 东西之间:5200km=520000000cm 520000000× 15000000=104 (cm) 南北之间:5500km=550000000cm 550000000× 15000000=110 (cm) 3. 解析:先根据比例尺和实际距离求出图上距离,再根 据方向、角度和图上距离画出少年宫的位置。 4. A D 5. 略 6. 708÷4=177(m) 177m=17700cm 解:设“水立方”在这幅地图上的底面边长为xcm。 x∶17700=1∶3000 x=5.9 5.9×5.9=34.81(cm2) 解析:先根据比例尺求出“水立方”在地图上的底面边 长,进而求出“水立方”在地图上的占地面积。 第5课时 比 例 尺(2) 1. (1) 35 (2) 0.5 2. (1) 1∶30000 (2) 810 (3) 北 东 30(或东 北 60) 660 (4) 3. 解:设医护队距离着陆点的实际距离为x 厘米。 25∶x=1∶20000 x=500000 500000厘米=5千 米 5×1.1=5.5(千米) 5.5>5 能赶到着陆点 4. 45÷ 12000000=90000000 (cm) 90000000cm= 900km 900÷5=180(km/h) 甲:180× 55+4= 100(km/h) 乙:180× 45+4=80 (km/h) 5. 3÷ 112000000× 1 8000000=4.5 (厘米) 解析:虽然比例尺发生了变化,但是A地到B地的实 际距离没有发生变化。在第一幅地图上,已知比例尺 是1∶12000000,图上距离是3厘米,可以先求出 A地到B地的实际距离,然后根据第二幅地图的比例 尺,计算A地到B地在此地图上的图上距离。 6. 实际长:4÷ 1500=2000 (cm) 实际宽:3÷ 1500= 1500(cm) 图上面积:4×3=12(cm2) 实际面积: 2000×1500=3000000(cm2) 图上面积∶实际面 积=12∶3000000=1∶250000 发现:图上面积与实 际面积的比是比例尺的平方 解析:要求图上面积与实际面积的比,应根据比例尺 和图上距离先求出长方形草地实际的长和宽,再利用 长方形的面积计算公式求出这块长方形草地的图上 面积和实际面积,并求出它们的比,最后与比例尺进 行比较,找出联系。 第6课时 图形的放大和缩小 1. (1) 不变 改变 (2) 9 (3) 3 1 9∶1 2. (1) C (2) B (3) C 3. 7.5 4. 解析:根据图形放大和缩小的意义,把“火箭”的各边 均缩小到原来的1 2 ,对应角的度数不变,所得到的图 形就是原图形按1∶2的比缩小后的图形。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 方法归纳 在方格纸上按一定的比将图形放大 或缩小的步骤 一看原图形的每边各是几格;二按给定的比 将原图形的各边放大或缩小,计算出新图形的每 边各是几格;三按计算出的数据画出原图形的放 大图或缩小图。 5. (1) 3∶9=1∶3 (2) (5×3÷2)∶(15×9÷2)=1∶9 结论:在三角 形放大或缩小后,三角形的面积比是三角形对应边长 的比的平方 解析:根据求出的两个三角形对应边长 的比和面积的比,观察它们之间的关系,得出结论。 第7课时 练 习 二 1. (1) C (2) B (3) A 2. (1) 1∶20000 (2) 380 (3) 3. 4. 3∶1 8×(3×3)-8=64(平方厘米) 解析:由题图可知,小平行四边形的底和高同时扩大 到原来的3倍得到大平行四边形。根据平行四边形 的面积=底×高可知,大平行四边形的面积等于小平 行四边形面积的(3×3)倍。最后用大平行四边形的 面积减去小平行四边形的面积,即可求出大平行四边 形内空白部分的面积。 5. 猜想:放大后与放大前金箍棒的体积比是n3∶1 验证:方式不唯一,如设原来金箍棒的底面半径为r, 高为h,则体积为πr2h;放大后半径为nr,高为nh,则 体积为π(nr)2nh=n3πr2h。因为n3πr2h∶πr2h= n3∶1,所以放大后与放大前金箍棒的体积比是 n3∶1,猜想正确 6. 解:设甲种商品的原价是5x 元,则乙种商品的原 价是3x元。 (5x+420)∶(3x+420)=6∶5 x= 60 甲种:5×60=300(元) 乙种:3×60=180(元) 解析:根据题意,可设甲、乙两种商品的原价分别是 5x元和3x 元,分别上涨了420元后,价格分别是 (5x+420)元和(3x+420)元,再根据甲、乙两种商品 价格上涨后,价格之比变为6∶5列出比例式,求出x 的值,进而分别求出甲、乙两种商品的原价。 提分真题集训 1. (1) ① 4∶1 1∶4 ② 不能 (2) ① 1∶30000 ② 东 北 2. (1) A (2) C (3) C 3. 解:设教学楼的实际高度是x米。 x∶12=5∶3 x=20 4. 解:设往210毫升的酸梅原汁中加x毫升水时,口 感最佳。 210∶x=3∶7 x=490 490<560 应该往已调制的酸梅汤中加酸梅原汁 第二单元整合提升 1. 去掉点数为7的牌 3∶5=6∶10 3∶6=5∶10 10∶5=6∶3 10∶6=5∶3 6∶10=3∶5 6∶3= 10∶5 5∶10=3∶6 5∶3=10∶6 2. 解:设高速磁悬浮列车每时行xkm。 250∶x=5∶12 x=600 3. 20÷501× 40 1=16 (厘米) 解析:先求出这个零件 的实际长度是多少厘米,根据“图上距离÷比例尺= 实际距离”,代入数值计算即可;再根据“图上距离= 实际距离×比例尺”,即可求出这个零件画在比例尺 是40∶1的图纸上的长度。 4. 10千米=1000000厘米 5∶1000000=1∶ 200000 2÷ 1200000=400000 (厘米) 400000厘 米=4千米 解析:先根据故宫博物院与北京奥林匹 克公园之间的图上距离和实际距离,求出这幅地图的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 比例尺,再根据比例尺和天坛与故宫博物院之间的图 上距离,即可求出天坛与故宫博物院之间的实际距离。 5. 解:设A缸中原来有水x千克,则B缸中原来有水 (650-x)千克。 x∶(650-x-50)=5∶7 x=250 B缸:650-250=400(千克) 解析:设A缸 中原来有水x千克,则B缸中原来有水(650-x)千 克。从B缸中取出50千克水后,此时B缸中剩下 (650-x-50)千克水,根据此时A,B两缸水的质量 比是5∶7列出比例式,求出A缸中原来有水多少千 克,再求出B缸中原来有水多少千克。 三　图形的运动 第1课时 图形的旋转(一) 1. (1) 中心 方向 角度 (2) C A (3) 90 (4) 2 2. (1) (2) 3. 逆 顺 4. 3.14×22÷4+3.14×32÷4=10.205(cm2) 解析:分别画出线段CA 绕点C 按逆时针方向旋转 90°后的线段和线段CB 绕点C 按逆时针方向旋转 90°后的线段,即为线段AB 绕点C 按逆时针方向旋 转90°后的线段。分别计算CA 和CB 扫过的扇形面 积,再相加,即可求出线段AB 扫过的面积。 5. 360°÷12=30° 30°×(30÷60)=15° 30°× (30÷5)=180° 时针按逆时针方向旋转15°,分针按 逆时针方向旋转180° 解析:钟面上有12个大格,每 个大格是360°÷12=30°,时针走1大格是1时,分针 走1大格是5分,30分时针走了30÷60=12 (个)大 格,分针走了30÷5=6(个)大格,所以在将其调准确 的过程中,时针按逆时针方向旋转30°×12=15° ,分 针按逆时针方向旋转30°×6=180°。 第2课时 图形的旋转(二) 1. (1) 90 (2) 顺 (3) 90 逆 2. (1) B (2) A 3. 方法归纳 一个简单图形旋转90°的画法 (1) 确定所给图形的关键点。(2) 数出或量 出关键点到旋转中心的距离。(3) 根据旋转方向 和旋转角度确定关键点的对应点。(4) 顺次连接 各对应点。 4. 点B 是旋转中心 120°÷2=60° 5. 60 45 解析:题图①由基本图形旋转6次可以 回到初始位置,因此每次旋转360°÷6=60°;题图② 由基本图形旋转8次可以回到初始位置,因此每次旋 转360°÷8=45°。 6. 6198916 解析:根据题意,可知把旋转两次得到 的电话号码9168619按逆时针方向旋转两次90°即可 得到原来的电话号码,即6198916。 第3课时 图形的运动(1) 1. (1) O 90 右 3(第一、三空答案不唯一) (2) P 90 下 3(第一、三空答案不唯一) (3) R 90 上 3(第一、三空答案不唯一) (4) D (5) Q 90 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 二 比　例 第1课时 比例的认识(1) 1. 填一填。 (1) 像15∶5=12.6∶4.2这样表示( ) 的式子叫作比例。这个比例中( )和( ) 是外项,( )和( )是内项。 (2) 1 5∶0.3 的比值是( ),请你在36的 因数中选两个数与1 5∶0.3 组成比例,你组 成的比例是( )。 2. 选一选。 (1) 下面是亮亮去游玩时收集的三幅图片, ( )的长与宽的比可以组成比例。 A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. 无法确定 (2) 能与1 6∶ 1 8 组成比例的比是( )。 A. 16∶9B. 3∶4 C. 4∶3 D. 9∶16 3. ★下面各组中的两个比是否可以组成比例? 写出组成的比例。 (1) 0.6∶0.9和2∶0.3 (2) 1 2∶ 1 3 和1 4∶ 1 6 4. 阳光文具店出售一种铅笔,情况如下表所示, 请根据表中的数据写出三个不同的比例。 数量/支 1 2 3 4 总价/元 0.5 1 1.5 2 5. (探索规律)(1) 写出下面两个圆的直径之比 与周长之比,这两个比能组成比例吗? (2) 写出(1)中两个圆的面积之比,这个比与 直径之比能组成比例吗? 6. (学科融合)下面的成语中包含着很多数,从 中选取4个数组成一个比例,可以是( );从中选取3个数组成一个比例,可 以是( )。 一筹莫展 三心二意 五湖四海 六神无主 七上八下 数九寒天 7. (思维过程)组成比例的两个比的比值都是 0.5,这个比例的两个外项分别是47 与6,你能 写出这个比例吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 第2课时 比例的认识(2) 1. 填一填。 (1) 如果a 4= b 9 (a,b 均不为0),那么9× ( )=( )×b;如果11x=15y(x,y 均不为0),那么x∶y=( )∶( )。 (2) 在一个比例中,两个内项互为倒数,一个 外项是3 8 ,则另一个外项是( )。 (3) 在一个比例中,两个内项分别是最小的 质数和最小的合数,一个外项是最小的两位 数,则另一个外项是( )。 2. 选一选。 (1) 下面各组中的两个比,不能组成比例的 是( )。 A. 1.2 3.6 和1 3 B. 7.5∶2.5和12∶3 C. 3 4∶ 1 6 和36∶8 D. 3.2∶8和2∶5 (2) (地域美食)砀山酥梨是我国传统三大名梨 之首。李伯伯家的果园里种植的“皖梨1号” 棵数的1 8 正好和“皖梨2号”棵数的19 相等, “皖梨1号”与“皖梨2号”的棵数比是( )。 A. 1 8∶ 1 9 B. 8∶9 C. 64∶81 D. 81∶64 (3) (数形结合)如图,平行四边形的边a上 的高是b,边c上的高是d。下面的比例中, 不成立的是( )。 A. a d= c b B. a∶c=d∶b C. b c= d a D. a∶c=b∶d 3. 根据比例的基本性质,把1.5×3=0.9×5改 写成比例。你能写出哪些? 4. (自然科普)一颗人造卫星绕地球运行3周约 需要5.7时,另一颗人造地球卫星绕地球运 行20周约需要38时。两颗人造地球卫星绕 地球运行的周数和所需时间的比,是否可以 组成比例? 若可以组成比例,则写出这个 比例。 5. (1) 在3∶5=12∶20中,第一个比的前项增 加3,要使比例仍然成立,第二个比的后项应 ( )。 (2) ★在比例4∶15=8∶30中,第一个比的 后项增加5,要使比例仍然成立,第二个比的 前项应减去( )。 6. (思维过程)如果两个比的比值b a 和d c 互为倒 数,那么a,b,c,d(均不为0)这四个数能组 成哪些比例? (写出两个即可) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 二　比　例 第3课时 比例的应用 1. ★根据信息写出比例,并求出未知数。 (1) x与4.5的比等于3与13.5的比。 (2) 比例的两个外项分别是2和4.5,其中一 个内项是最小的合数。求另一个内项x。 2. (地域景观)深圳世界之窗的埃菲尔铁塔模型 高108米,是按照与当时原版埃菲尔铁塔高 度的比为1∶3来建造的。当时原版埃菲尔 铁塔的高度是多少米? 3. (人文历史)“一带一路”是“丝绸之路经济带” 和“21世纪海上丝绸之路”的简称。我国古 代商人用茶叶、丝绸、陶器等换回葡萄、石榴、 芝麻等,当时1两茶叶可以换3斤2两芝麻。 李老板要换回350两芝麻,他需要准备多少 两茶叶? (斤和两均是我国古代的质量单位, 1斤为16两) 4. 如图,两个长方形A,B重叠在一起,重叠部 分的面积是A的13 ,是B的15 。已知B的面 积是60平方厘米,则A的面积是多少平方 厘米? 5. (地域美食)肠粉是广东地区古老且传统的小 吃。王阿姨将米粉和水按照3∶5的比制作 肠粉。米粉共有1.8kg,可以制作多少肠粉? (制作过程中的损耗忽略不计) 6. (生活应用)依依过生日,同学们为她买来了 生日蛋糕和蜡烛。已知蜡烛每分燃烧的长度 一定,你能算出蜡烛最初的长度是多少吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(北师版)六年级下 第4课时 比 例 尺(1) 1. 选一选。 (1) 下面的说法中,正确的是( )。 A. 比例尺是一种测量工具 B. 比例尺= 实际距离 图上距离 C. 一幅地图的比例尺是1∶4000厘米 D. 一幅图的比例尺是1∶2000000,图上距 离1cm相当于实际距离20km (2) 一种长8毫米的手表零件,画在图纸上 长16厘米,这张图纸的比例尺是( )。 A. 1∶2 B. 1∶20 C. 20∶1 D. 2∶1 (3) 把下面的线段比例尺改写成数值比例 尺,正确的是( )。 A. 1∶6000000 B. 1∶1500000 C. 1∶15 D. 1∶60 2. (自然科普)我国国土东西之间约长5200km, 南北之间约长5500km。在比例尺是 15000000 的地图上,东西和南北之间应各画多少厘米? 3. (生活应用)以城中公园为观测点,量一量,画 一画。 少年宫在城中公园南偏西30°方向1500米 处,请在图中画出少年宫的位置。 4. (地域景观)上海虹口足球场是我国第一座专 业足球场,场地尺寸按长105m、宽68m的 标准建设。选用( )的比例尺画出的平面 图最大,选用( )的比例尺画出的平面图 最小。 A. 1∶100 B. 1∶1000 C. 1∶500 D.1∶5000 5. (人文历史)根据材料,选择合适的比例尺,画 出钢结构保护棚的平面图。 2023年4月27日,曹操高陵遗址博物 馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保 护棚形状为长方形,长为140m,宽为120m, 在施工过程中采用了巨型桁架钢结构平移技 术,做到了与文物本体的“零”接触,达到世界 领先水平。 6. (地域特色)“水立方”的底面是一个周长为 708m的正方形,将它画在比例尺为1∶3000 的地图上,则“水立方”在这幅地图上的占地 面积是多少平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 二　比　例 第5课时 比 例 尺(2) 1. 填一填。 (1) (学科融合)《三国演义》中,曹操佯攻延 津,吸引袁军兵力,关羽阵斩颜良,从而解了 白马之围。若在比例尺是 的作 战图纸上量得白马与延津的图上距离是5cm, 则白马与延津的实际距离是( )km。 (2) 一个零件画在比例尺是5∶1的图纸上, 在图纸上量得零件的长度是25毫米。这个 零件的实际长度是( )厘米。 2. (生活应用)下面是小娟家周围的平面图。 (1) 小娟家到水果超市的实际距离是900米, 这幅平面图的比例尺是( )。 (2) 小娟家到学校的实际距离是( )米。 (3) 书店在小娟家( )偏( )( )°方 向,距小娟家( )米的位置。 (4) 公园在小娟家北偏西60°方向,实际距离 为1200米的位置,请在图中画出公园的 位置。 3. (时事热点)神舟十七号载人飞船返回舱于 2024年4月30日在东风着陆场成功着陆。 指挥中心在1∶20000的地图上发现医护队 距离着陆点25厘米,医护人员以1.1千米/分 的速度赶往着陆点,5分内能赶到着陆点吗? 4. 在比例尺是1∶2000000的地图上,量得某地 到北京的距离是45cm。甲、乙两车同时从 两地出发相向而行,5h相遇。已知两车的速 度比是5∶4。甲、乙两车的速度各是多少? (中途休息时间忽略不计) 5. 在一幅比例尺是1∶12000000的地图上,量 得A地到B地的距离是3厘米。在比例尺 是1∶8000000的地图上,A地到B地的图上 距离是多少厘米? 6. (思维过程)在一幅比例尺是1∶500的地图 上,量得一块长方形草地的长是4cm,宽是 3cm,这块长方形草地的图上面积与实际面 积的比是多少? 与比例尺相比,你发现了 什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 数学(北师版)六年级下 第6课时 图形的放大和缩小 1. 填一填。 (1) 把一个图形的各边按照一定的比放大或 缩小后,图形的形状( ),大小( )。 (2) (生活应用)电影院需要将长6cm、宽 4cm的画面放大后投放到荧幕上,放大后的 画面宽6m,长( )m。 (3) 如图,图形 M 是图形 N按( )∶ ( )的比放大后得到的,放大后的图形面 积与原图形面积的比是( )。 2. 选一选。 (1) 将方格图中的图案按1∶2的比缩小,得 到的图形是( )。 A. B. C. D. 以上都不是 (2) 把一个图形先按2∶1的比放大,再把放 大后的图形按1∶3的比缩小,最后得到的图 形与原图形相比,( )。 A. 放大了 B. 缩小了 C. 大小不变 D. 无法确定 (3) 把一个底是3厘米、高是2厘米的三角 形,按3∶1的比放大画在图上,放大后的三 角形的面积是( )平方厘米。 A. 9 B. 18 C. 27 D. 54 3. 电脑上有一张图片,长12cm,宽8cm。亮亮 选中图片,拖动鼠标将图片缩小后,宽变成 5cm,这时图片的长是( )cm。 4. ★(操作探究)将下面的图形缩小,使缩小后 的图形与原图形对应线段长度的比是1∶2。 5. (探索规律) (1) 三角形②是把三角形①按什么的比缩小 后得到的? (2) 三角形②与三角形①的面积比是多少? 你能得出什么结论? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 二　比　例 第7课时 练 习 二 1. 选一选。 (1) 图形A按2∶1的比放大后是( )。 A. 图形① B. 图形② C. 图形③ D. 以上都不是 (2) 1.5∶12 能与( )组成比例。 A. 3∶2 B. 6∶2 C. 3∶4 D. 2∶6 (3) 已知(x+5)∶3=34∶15,则x 等于 ( )。 A. 1.8 B. 3.4 C. 6.8 D. 1.7 2. 实验小学附近的建筑物如图所示。 (1) 实验小学到图书城的实际距离是600米, 这幅图的比例尺是( )。 (2) 超市到实验小学的实际距离是( )米。 (3) 通讯社在实验小学北偏东60°方向,实际 距离为500米的位置,请在图中画出通讯社 的位置。 3. 画出下面的图形按1∶2的比缩小后的图形。 4. (创新应用)如图,有两个平行四边形,把其中 的小平行四边形按( )的比放大,可以得 到大平行四边形。如果小平行四边形的面积 是8平方厘米,那么大平行四边形内空白部 分的面积是多少平方厘米? 5. 孙悟空的金箍棒是一个可以等比放大或缩小 的圆柱形兵器,如果金箍棒的底面半径和高 都按n∶1的比放大,那么放大后与放大前金 箍棒的体积比是多少? (写出你的猜想,并用 你喜欢的方式验证) 6. (思维过程)甲、乙两种商品的价格之比是 5∶3,如果它们的价格分别上涨了420元,那 么价格之比变为6∶5。甲种商品的原价是 多少元? 乙种商品的原价是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 数学(北师版)六年级下 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (酒泉玉门)如图,机器上有一对互相啮 合的齿轮,大齿轮有200个齿,每分转16圈; 小齿轮有50个齿,每分转64圈。 ① 大、小齿轮齿数的比是( ),大、小齿轮 每分转的圈数的比是( )。 ② 大、小齿轮齿数的比和每分转的圈数的比 ( )组成比例。(填“能”或“不能”) (2) (深圳南山区)明明步行从家出发,先经 过图书馆再到学校,路线按一定比例画在下 图中。已知明明家到图书馆的实际距离是 600米。请结合以上信息和测量解答下面的 问题。(测量结果取整厘米数) ① 这幅图的比例尺是( )。 ② 图书馆在明明家( )偏( )40°方向, 实际距离为600米处。 2. 选一选。 (1) (梅州)已知12x=4×9,下面能成立的 式子是( )。 A. 4 x= 12 9 B. x 12= 4 9 C. 4∶x=9∶12 D. 4x=12∶9 (2) (茂名化州)将一个圆按1∶a的比缩小, 缩小后与缩小前图形的面积比是( )。 A. 1∶a B. a2∶1 C. 1∶a2 D. 无法确定 (3) (北京海淀区)姐姐沿着8千米长的环形 跑道跑步。她从起点出发,用15分跑了一圈 的5 16 ,照这样的速度,她共用多少分跑完一 圈? 如果设她用x 分跑完一圈,下面方程正 确的( )。 x∶15=8∶516 ① 5 16x=15 ② 15∶x=516∶1 ③ 8∶x=516∶15 ④ A. 只有① B. 只有② C. 只有②③ D. 只有①④ 3. (梅州)淘气在教学楼前测得自己的身高与影 长的比为5∶3,这时量得教学楼的影长为 12米。教学楼的实际高度是多少米? 4. (泉州晋江)淘气先往210毫升的酸梅原汁中 加了560毫升水调制成酸梅汤后,才发现调 制说明中写有“当酸梅原汁与水的比是3∶7 时,口感最佳”。请你帮淘气判断:为使口感 最佳,应该往已调制的酸梅汤中加水,还是加 酸梅原汁? 请通过计算说明。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 二　比　例 第二单元整合提升 类型一 根据比例的基本性质组比例 先给四个数排序,计算最大的数和最小的数的乘积是 否等于其他两个数的乘积。写比例时,每个数作为第 一项,一般可以写出两个不同的比例,如果四个数没 有重复的,那么能写出八个不同的比例。 1. 去掉哪张牌后,剩下四张牌上的点数能组成 比例? 你能写出哪些比例? 试一试。 类型二 利用比例解决问题 已知两个数的比和其中一个数,可以设另一个数为 x,列比例式解答。 2. (社会生活)中国铁路发展见证了新中国的沧 桑巨变,高铁已成为中国的一张名片。“和谐 号”动车组、“复兴号”动车组和高速磁悬浮列 车的速度比是5∶7∶12。“和谐号”动车组 每时行250km,高速磁悬浮列车每时行多少 千米? 类型三 抓不变量解决比例尺问题 同一段距离在不同比例尺的图上表示的长度不同;在 同一幅图上,比例尺一般不变。 3. (生活应用)在比例尺是50∶1的图纸上,量 得一个零件的长是20厘米。如果把这个零 件画在比例尺是40∶1的图纸上,那么长是 多少厘米? 4. (地域景观)已知故宫博物院到北京奥林匹克 公园的距离约为10千米,在一幅地图上量得 两地之间的距离为5厘米,则在这幅地图上 量得距离故宫博物院2厘米的天坛与故宫博 物院之间的实际距离为多少千米? 素养点 根据两个量的变化情况及变化后的 比,求两个量的实际问题 5. A,B两缸中的水一共重650千克,如果从 B缸中取出50千克水,那么此时A,B两缸 水的质量比是5∶7。A,B两缸中原来各有 水多少千克? 思路提示:可以设其中A缸水的质量为x 千克, 再用含有x 的式子表示变化后B缸中水的质 量,最后根据两缸水的质量比列比例式求解。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 数学(北师版)六年级下