四 正比例与反比例-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版 广东专用）

形得到图形D 2. A向右平移2格,B先绕左下角的顶点按逆时针方 向旋转90°,再向下平移2格(合理即可) 3. (4,8) 4. (1) 解析:画图形B时,可以先画出图形A中的虚线旋转 后得到的对应虚线,再画出两段弧。用同样的方法画 出图形C和图形D。 (2) 2×3.14×3×2=37.68(厘米) 解析:从题图中 可以看出,4片花瓣共有8段弧,每段弧的长度是半 径为3厘米的圆周长的14 ,则4片花瓣的周长一共是 半径为3厘米的圆周长的2倍。 提分真题集训 1. (1) C (2) C (3) C (4) B 2. (1) 右 7 (2) 如图所示 (16,4) (3) 如图 所示 3. 答案不唯一,如先向右平移2格,再绕左下角的顶 点按顺时针方向旋转90°,最后向下平移1格 第三单元整合提升 1. (1) A向右平移2格,B向下平移2格,D向左平移 2格,C向上平移2格 (2) 答案不唯一,如A先向下 平移2格,再以斜边的中点为旋转中心,按逆时针方向 旋转90°;C先向下平移2格,再以斜边的中点为旋转 中心,按顺时针方向旋转90° 2. 3. 答案不唯一,如 4. 5. 解析:1分=60秒,60÷3=20(次),变化了20次,就是 第21个图案;根据变化规律可知,4个图案为1组循 环排列,21÷4=5(组)……1(个),余下1个图案,就和 第1个图案相同。 四　正比例与反比例 第1课时 变化的量 1. (1) 26 25 24 24 (2) 时间 单词个数 单词个数 时间 (3) 1 2 2. (1) 水的体积 水深 (2) 200 25 3. (1) 10 7 (2) 在0~10h、20~24h,港口的水深 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 在增大;在10~20h,港口的水深在减小 (3) 17 4. (1) 4 6 (2) 未悬挂重物时,弹簧的长度是10cm 悬挂重物的质量增大,弹簧的长度同时增长,悬挂重物 的质量每增加1kg,弹簧的长度同时增长2cm (3) y=2x+10 解析:将表格填写完整后,发现弹 簧悬挂重物的质量和弹簧伸长的长度的比值是固定 的,即悬挂重物的质量每增加1kg,弹簧的长度同时 增长2cm,根据这个关系可以写出悬挂重物的质量 和弹簧的长度之间的关系式。 第2课时 正 比 例(1) 1. (1) 50 75 100 125 (2) 质量 金额 金额 质量 (3) 答案不唯一,如75∶3=25 100∶4=25 25=25 (4) 表示这种荔枝每千克售价25元 (5) 成正比例 知识归纳 正比例的意义 两个相关联的量,一个量会随另一个量的变 化而变化,且这两个量相对应的两个数的比值一 定,这两个量就成正比例。 2. x 10 40 50 30 60 y 5 20 25 15 30 解析:因为x 和y 成正比例,所以x 和y 的比值一 定。由表格可以看出,x和y的比值是2,据此求出表 格中空缺的数。 3. (1) 成正比例 因为路程与时间是两个相关联的 量,且它们的比值一定 (2) 180÷3=60(km/h) 60×3.5=210(km) 4. 棱长/cm 1 2 3 4 底面积/cm2 1 4 9 16 表面积/cm2 6 24 54 96 体积/cm3 1 8 27 64 质量/g 7.8 62.4 210.6 499.2 表面积和底面积成正比例,质量和体积成正比例 解析:先根据正方体的底面积、表面积、体积计算公式 进行计算把表格填写完整,再根据正比例的意义判断 哪两个量成正比例。 5. A 一定时,C和B 成正比例 B 一定时,C和A 成 正比例 解析:判断两个量是否成正比例时,要看这 两个量对应的两个数的比值是否一定,如果一定,那 么成正比例。 第3课时 正 比 例(2) 1. (1) B (2) A (3) A 2. 行驶里程/km 3 4 5 6 8 13 计费/元 12 14.617.219.8 25 38 不成正比例 因为虽然计费随着行驶里程的增加而 增加,但是他们的比值不是定值 3. m 和n成正比例 因为由16m= 7 8n (m,n均不为 0),得到m∶n=214 ,比值一定 4. 1丈5尺=15尺 1尺5寸=1.5尺 5寸= 0.5尺 解:设木杆长x尺。 x∶15=1.5∶0.5 x=45 5. 1.5t=1500kg 解:设可以制成xkg新会陈皮。 1500∶x=20∶1 x=75 解析:根据题意可知,新 会柑的质量与新会陈皮的质量成正比例,并且新会柑 的质量∶新会陈皮的质量=20∶1,据此列比例式求 出1.5t新会柑可以制成的新会陈皮的质量。 第4课时 画 一 画 1. (1) 160 200 240 (2) 贡柑的总价和质量成正 比例 因为总价随着质量的增加而增加,且总价与质 量的比值一定 (3) 发现:描出的各点在同一条直线上 (4) 点(8,320)在这条直线上 这一点表示买8千克 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 贡柑需要320元 (5) 买5.5千克这样的贡柑应付 220元 140元能买3.5千克这样的贡柑 2. 该图象表示正比例关系 答案不唯一,如可能表 示总价和数量两个量 总价/元 10 20 30 40 50 60 数量/个 2 4 6 8 10 12 解析:判断两个相关联的量是否成正比例,只要判断 出这两个量对应的比值是否一定。然后结合图中的 数据,联系生活实际,图中可能表示总价和数量两个 量,据此解答即可。本题答案不唯一。 3. (1) 8∶1 110 解析:平均每名工人加工螺丝的 个数与加工时间的比为40∶5=8∶1,加工螺母的加 工时间与个数的比值为5÷50=110 。 (2) 正 (3) 25 20 解析:这个车间有45名工人,设安排 x名工人加工螺丝,则剩下的(45-x)名工人加工螺 母。根据题图可知,平均一名工人1时可以加工8个 螺丝或10个螺母。因为一个螺丝搭配一个螺母,所 以每时加工的螺丝、螺母的数量应符合1∶1的关系, 则8x∶[10×(45-x)]=1∶1,所以x=25。因此安 排25名工人加工螺丝,剩下的45-25=20(名)工人 加工螺母最合理。 第5课时 反 比 例(1) 1. (1) 每天做的数量 所需时间 所需时间 每天 做的数量 (2) 30 这批粤绣摆件一共有30个 (3) 总数量 反 2. (1) 40 30 20 15 (2) 600kg贡柑不变,包装 的箱数随着每箱的质量的变化而变化,每箱的质量越 多,包装的箱数越少 (3) 成反比例 因为包装的箱 数×每箱的质量=总质量,总质量是600kg,是一定的 3. x 3 30 6 5 y 2 1 5 1 1.2 解析:因为x和y两个量成反比例,所以xy=3×2= 6,用6除以其中一个量,即可求出另一个量。 知识归纳 反比例的意义 如果用字母x和y表示两个相关联的量,用 k(一定)表示它们的积,那么反比例关系可以用 “xy=k(一定)”来表示。 4. (1) 拼一拼略 长/cm 48 24 16 12 8 宽/cm 1 2 3 4 6 面积/cm2 48 48 48 48 48 (2) 成反比例 解析:因为长与宽的乘积(面积)一 定,所以长方形的长与宽成反比例。 5. 每块方砖的面积/平方分米 9 36 16 方砖的数量/块 160 40 90 所需方砖的数量与每块方砖的面积成反比例 解析:因为这间房子地面的面积一定,所以所需方砖 的数量与每块方砖的面积成反比例。 第6课时 反 比 例(2) 1. (1) A (2) A 2. 已修长度/km 4 8 12 14 18 24 剩余长度/km 20 16 12 10 6 0 不成反比例 因为已修长度和剩余长度的和一定,但 乘积不是一个定值 3. 图略 水的体积 反 < < > > 4. (1) 长方形的长与宽成反比例 因为长与宽的乘 积(长方形的面积)一定 解析:判断两个相关联的量成什么比例,就看这两个 量是对应的比值一定,还是对应的乘积一定。如果是 对应的比值一定,那么成正比例;如果是对应的乘积 一定,那么成反比例。 (2) ① 2.5 ② 150 解析:因为长方形的面积一定,用长方形的面积除以 长(或宽),就得到长方形的宽(或长)。 5. (1) 答案不唯一,如边AD 的长与边AD 上的高成 反比例 解析:在平行四边形ABCD 中,边AB 的长 与边AB 上的高的乘积和边AD 的长与边AD 上的 高的乘积相等,都是平行四边形ABCD 的面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 (2) 44÷2-10=12(cm) 10×9÷12=7.5(cm) 解析:先根据平行四边形的周长及边AB 的长,可以 求出边AD 的长,再根据边AB 的长和边AB 上的 高,可以求出平行四边形的面积,最后用平行四边形 的面积除以边AD 的长即可解答。 第7课时 练 习 四 1. 17 25.5 34 42.5 (1) 总价与个数成正比例 理由:总价÷个数=单价(一定),所以总价与个数成 正比例。 (2) (3) 51 (4) 1 3 解析:根据总价与个数成正比例,李老师买 风筝用的钱数是张老师的3倍,可知李老师买风筝的 个数也是张老师的3倍,所以张老师买风筝的个数是 李老师的1 3 。 2. (1) A (2) A 3. 24×(1-25%)=18(km) 解:设该轮船xh后可 以返回A地。 18x=24×15 x=20 4. 60×2÷8=15(页) 解析:从题图中可以看出,每天看的页数和需要的天 数成反比例,选择一个需要的天数乘对应的每天看的 页数求出这本书的总页数,再除以8即可解答。 5. 100-10=90(米) 90-15=75(米) 解:设当乙到达终点时,丙跑了x米。 100∶x=90∶75 x=2503 100- 250 3 = 50 3 (米) 解析:由题意可知,甲到达终点时,乙跑了100-10= 90(米),丙跑了90-15=75(米)。因为乙和丙的速 度始终不变,在时间相同的情况下,乙跑的路程和丙 跑的路程成正比例,据此求出当乙到达终点时丙跑的 路程,即可求出乙领先丙多少米。 提分真题集训 1. (1) D (2) B (3) B 2. (1) 正 (2) 香蕉 (3) 买3千克苹果要用12元 20元可以买2.5千克香蕉 3. (1) 30 24 (2) 平均每天看的页数和所用的时 间成反比例 理由:平均每天看的页数和所用的时间 的乘积(总页数)一定。 (3) 解:设他平均每天看 x页。 30x=4×60 x=8 4. (1) 正 (2) 2 (3) 32 第四单元整合提升 1. A 和B 成比例 成正比例 因为A×2=B÷3, 得A∶B=16 ,所以A 和B 成正比例 2. a和c成比例 成正比例 因为当把b=5c代入 1 5a= 3 4b 时,得1 5a= 3 4×5c= 15 4c ,a∶c=754 ,所以 a和c成正比例 3. (1) 1120 1280 (2) 图略 所描的点都在同一条直线上 (3) 正 解析:根据金额与质量的比值一定,得出金 额与质量成正比例。 (4) 400 880(合理即可) 解析:观察题图估计2.5 千克和5.5千克新会陈皮可以售出的金额,先分别在 横轴找到2.5和5.5,再分别从这两点作横轴的垂 线,分别与图象相交于一点,最后从交点分别作纵轴 的垂线,得到2.5千克和5.5千克新会陈皮可以售出 的金额。 4. 4×4×4=64(cm3) 64÷0.5×0.4=51.2(cm3) 解析:石头的体积=水面下降部分的体积=长方体容 器的底面积×水面下降的高度,正方体铁块的体积= 水面上升部分的体积=长方体容器的底面积×水面 上升的高度。正方体铁块的体积为4×4×4= 64(cm3),由此可得石头的体积为64÷0.5×0.4= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 51.2(cm3)。 5. 解:设这架飞机最多飞出x时就需要返回。 800x=600×(7-x) x=3 800×3=2400(千米) 解析:由题意可知,往、返路程相同,所以速度和时间 成反比例。可设这架飞机最多飞出x 时就需要返 回,根据“去时的速度×去时所用的时间=返回时的 速度×返回时所用的时间”,列出方程求出x,再用去 时的速度乘去时所用的时间即可求解。 数学好玩 第1课时 绘制校园平面图 1. (1) C (2) C 2. (1) 26 12 312 (2) 40 20 800 (3) 4 2.4 3. 解析:根据题意,利用实际距离乘比例尺分别求出汽 车站、第二中学、老年干部活动中心与县政府大楼的 图上距离,再对应画出它们的具体位置。 4. 经测量,平面图上圆的半径是2厘米 圆形花坛 的实际半径:2÷ 1250=500 (厘米) 500厘米=5米 花坛的实际面积:3.14×52=78.5(平方米) 5. 答案不唯一,如 解析:10米=1000厘米,则可以选用1∶500的比例 尺(比例尺不唯一),先根据“图上距离=实际距离× 比例尺”,求出半圆形花坛半径的图上距离是1000× 1 500=2 (厘米),再画出平面图。 第2课时 神奇的莫比乌斯带 1. C 2. (􀳫 )(􀳫 )( )(􀳫 ) 3. 60×2=120(厘米) 4. (1) 􀳫 (2) 􀳫 5. C 6. 将纸条首尾相连围成“莫比乌斯带”,在“偷”“应” 二字中间剪断,则正面变成了“应当关押小偷”,反面 变成了“应当放掉农民” 第3课时 可爱的小猫 1. (1) (3,0) (3,2) (1,2) (2) 朵朵:D(3,0) E(3,2) F(1,2) 小白:D(6,0) E(6,2) F(2,2) 小黑:D(3,0) E(3,4) F(1,4) 小花:D(6,0) E(6,4) F(2,4) (3) (4) (2x,y) (x,2y) (2x,2y) (5) 小花 解析:因为小花轮廓各点的数对中的两个 数都是朵朵轮廓相对应各点的数对中的两个数乘相 同的数得到的,所以小花最像朵朵。 知识归纳 相像图形的特点 只有当数对中的两个数同时扩大到原来的 几倍(或缩小到原来的几分之几)时,所画出来的 图形才与原来的图形最像。 2. (5,3) (9,1) 解析:图中的7个点连在一起形 成了两个完全一样的长方形,可计算出长方形的长和 宽,根据数对表示点的位置的方法,第一个数表示列, 第二个数表示行,据此可写出表示无人机A和无人 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 四 正比例与反比例 第1课时 变化的量 1. (学科融合)亮亮第一天记住了100个单词, 之后每天对这100个单词进行听写,下面是 听写正确的单词个数情况。 (1) 观察统计图,把表格中的数据填写完整。 时 间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天 单词 个数 100 34 28 (2) 图表中变化的量是( )和( ), ( )随着( )的变化而变化。 (3) 听写正确的单词个数下降最快的是第 ( )天到第( )天。 2. 下面是某水库中水的体积情况。 (1) 图中反映了( )和( )这两 个变化的量之间的关系。 (2) 当水深是20米时,水的体积是( )万 立方米;当水的体积是250万立方米时,水深 是( )米。 3. (自然科普)地球上的海水受月球和太阳的万 有引力作用而引起的周期性涨落现象叫作潮 汐现象,潮汐现象与人类的生活有着密切的 关系。下图是某港口一天24h的水深情况。 (1) 大约在( )h港口的水最深,水深约是 ( )m。 (2) 在什么时间范围内,港口的水深在增大? 在什么时间范围内,港口的水深在减小? (3) ( )h的水深与2h的水深相等。 4. (探索规律)弹簧的长度和悬挂重物的质量之 间的关系如下表所示。 悬挂重物的质量/kg 0 1 2 3 … 弹簧的长度/cm 10 12 14 16 … 弹簧伸长的长度/cm 0 2 … (1) 根据表中数据,将上表填写完整。 (2) 未悬挂重物时,弹簧的长度是多少厘米? 弹簧的长度和悬挂重物的质量之间有怎样的 变化关系? (3) 如果用x 表示悬挂重物的质量,y 表示 弹簧的长度,你能用式子表示出悬挂重物的 质量和弹簧的长度之间的关系吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第2课时 正 比 例(1) 1. ★(地域美食)增城荔枝是广州市增城区的特 产,也是国家地理标志产品。已知一种增城 荔枝每千克售价25元。那么购买2千克、 3千克、4千克……这种荔枝各要多少元? (1) 将相应的金额填在表格中。 质量/千克 1 2 3 4 5 … 金额/元 25 … (2) 表中( )和( )是两个相关联的 量,( )随着( )的变化而变化。 (3) 根据上表,写出两组金额和质量相对应 的两个数的比,求出比值,并比较比值的 大小。 (4) 上面求出的比值表示的意义是什么? (5) 表中相关联的两个量成正比例吗? 2. 下表中的x和y是成正比例的两个量,请把 表格填写完整。 x 10 40 30 60 y 5 25 3. 一辆匀速行驶的汽车从A地到B地,3h行 驶了180km;从B地到C地,2h行驶了 120km。 (1) 这辆汽车行驶的路程与时间成正比例 吗? 为什么? (2) 照这样的速度,如果这辆汽车行驶了 3.5h,那么行驶了多少千米? 4. (操作探究)下表是有关正方体铁块的一些 量,先把表格填写完整,再回答问题。 棱长/cm 1 2 3 4 底面积/cm2 4 16 表面积/cm2 6 54 体积/cm3 质量/g 7.8 62.4 210.6 499.2 表中哪两个量成正比例? 5. (推理意识)A,B,C三个量的关系是A×B= C(A,B,C 都不为0)。A,B,C 中,哪两个量 成正比例? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(北师版·广东专用)六年级下 第3课时 正 比 例(2) 1. 选一选。 (1) x,y(x,y均不为0)成正比例的是( )。 A. 3 x=y B. 3x=4y C. y=x-3 D. x 4=5+ y 8 (2) 下面各组中的两个相关联的量成正比例 的是( )。 A. 定期一年的利息和本金 B. 人的体重和身高 C. 一本书,已经看的页数和没有看的页数 D. 一段路,每天修的长度和天数 (3) 下面的说法中,正确的有( )个。 ① 三角形的周长一定,底和对应的高成正 比例。 ② 圆锥的体积一定,底面积和高成正比例。 ③ 正方形的面积和边长不成比例。 ④ 甲∶15=5∶乙(甲、乙均不为0),甲和乙 成正比例。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下表记录了某出租车的计费情况。先把表格 填写完整,再回答问题。 行驶里程/km 3 4 5 8 计费/元 12 14.617.219.8 38 计费和行驶里程成正比例吗? 为什么? 3. (说理表达)已知1 6m= 7 8n (m,n 均不为0), 则m 和n成正比例吗? 为什么? 4. (数学文化)《孙子算经》记载:“今有竿,不知 长短,度其影,得一丈五尺,别立一表,长一尺 五寸,影得五寸。问:竿长几何?”其意思是现 有一根木杆,不知道它的长度,量它的影子, 长1丈5尺。另外立了一根长1尺5寸的标 杆,影子长5寸,木杆长多少尺呢? (1丈= 10尺,1尺=10寸) 5. (地域美食)新会陈皮是江门市新会区特产, 也是国家地理标志产品。若每20kg新会柑 可以制成1kg新会陈皮,则1.5t新会柑可 以制成多少千克新会陈皮? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 四　正比例与反比例 第4课时 画 一 画 1. (地域美食)德庆贡柑是广东省德庆县特产, 也是国家地理标志产品。一种贡柑售出的质 量与总价如下表: 质量/千克 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 40 80 120 … (1) 把上表补充完整。 (2) 贡柑的总价和质量成正比例吗? 为什么? (3) 根据上表中的数据描点,并顺次连线,你 发现了什么? (4) 点(8,320)在这条直线上吗? 这一点表 示什么含义? (5) 根据图象判断,买5.5千克这样的贡柑 应付多少元? 140元能买几千克这样的 贡柑? 2. (创新意识)请你观察下图,判断该图象是否 表示正比例关系,并联系生活实际举例说明 可能是什么样的两个量。填在表格第一列 中,并在后面填出相应的数据。 3. (思维过程)工厂某个车间平均每名工人加工 螺丝与螺母的情况如图所示。 (1) 根据图中信息,平均每名工人加工螺丝 的个数与加工时间的比为( ),加工螺母 的加工时间与个数的比值为( )。 (2) 平均每名工人加工零件的个数与加工时 间成( )比例。 (3) 这个车间有45名工人,若一个螺丝搭配 一个螺母,则安排( )名工人加工螺丝,剩 下的( )名工人加工螺母最合理。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(北师版·广东专用)六年级下 第5课时 反 比 例(1) 1. (地域特色)粤绣是我国四大名绣之一,也是 国家级非物质文化遗产之一。王阿姨要做一 批粤绣摆件,她每天做的数量和所需时间的 关系如下表所示。 每天做的数量/个 1 3 5 6 10 所需时间/天 30 10 6 5 3 (1) 表中( )和( )是两个相关联 的量,( )随着( )的变化而变化。 (2) 表中每组的两个数的积都等于( ), 这个积表示的意义是( )。 (3) 因为( )一定,所以表中相关联的 两个量成( )比例。 2. (地域美食)德庆贡柑丰收了,李叔叔今天采 摘了600kg德庆贡柑,准备包装运走,每箱 的质量和包装的箱数如下表所示。 每箱的质量/kg 10 15 20 30 40 包装的箱数 60 (1) 把上表补充完整。 (2) 包装的箱数和每箱的质量之间的变化关 系是怎样的? (3) 包装的箱数和每箱的质量成反比例吗? 为什么? 3. ★下表中,x和y两个量成反比例,请把下表 填写完整。 x 3 6 y 2 15 1.2 4. (操作探究)用48个边长为1 cm的小正方形 拼成一个长方形。 长/cm 宽/cm 面积/cm2 (1) 先动手拼一拼,再将每种拼法的数据填 在表中。 (2) 观察上表中的数据,当长方形的面积一 定时,长方形的长与宽成反比例吗? 5. (生活应用)给一间房子的地面铺地砖,如果 用每块面积为9平方分米的方砖来铺,那么需 要160块。如果用每块面积为36平方分米 的方砖来铺,那么需要多少块? 如果需要方 砖的数量是90块,那么每块方砖的面积是多 少平方分米? 请算一算,将下表填写完整。 每块方砖的面积/平方分米 9 36 方砖的数量/块 160 90 所需方砖的数量与每块方砖的面积是否成反 比例? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 四　正比例与反比例 第6课时 反 比 例(2) 1. 选一选。 (1) 下面两个量成反比例的是( )。 A. 从甲地到乙地,汽车的行驶速度与时间 B. 一个人的身高和年龄 C. 一本书,看过的页数和剩下的页数 D. 3a=7b中,a和b (2) 如果甲数与乙数互为倒数(甲数、乙数均 不为0),那么甲数与乙数( )。 A. 成反比例 B. 成正比例 C. 不成比例 D. 无法判断 2. (地域特色)“深中通道”是连接深圳市和中山 市的跨海通道,2024年6月建成通车,全长 约24km,下表记录了该通道的施工进度。 先把表格填写完整,再回答问题。 已修长度/km 4 8 12 18 剩余长度/km 10 0 已修长度和剩余长度成反比例吗? 为什么? 3. (操作探究)如图,有三个圆柱形容器,底面积 各不相等。在这三个容器中倒入同样多的 水,请根据B容器中水的高度估计出A和C 容器中水的高度,并画出来,然后完成下面的 填空。 A B C ( )一定,因此圆柱形容器的底 面积和水的高度成( )比例,因为SA SB SC,所以hA hB hC(在 里 填上“>”“<”或“=”)。 4. (数形结合)如图所示为长方形的长与宽的 关系。 (1) 长方形的长与宽成什么比例? 为什么? (2) 填空。 ① 如果长方形的长是120cm,那么宽是 ( )cm。 ② 如 果 长 方 形 的 宽 是2cm,那 么 长 是 ( )cm。 5. (创新应用)如图,平行四边形ABCD 的边 AB 的长是10cm,边AB 上的高是9cm。 (1) 你能找出图中成反比例的两个量吗? (2) 若平行四边形ABCD 的周长是44cm, 则边AD 上的高是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(北师版·广东专用)六年级下 第7课时 练 习 四 1. (传统文化)放风筝作为一项古老的民间活动, 已逐步成为我国民俗文化的重要内容之一。 一种风筝每个8.5元,把下表填写完整。 个 数 0 1 2 3 4 5 总价/元 0 8.5 (1) 判断总价与个数是否成正比例,并说明 理由。 (2) 把上表中风筝的个数与总价所对应的点 描在方格纸上,再顺次连接。 (3) 买6个风筝需要( )元。 (4) 李老师买风筝用的钱数是张老师的3倍, 张老师买风筝的个数是李老师的( )。 2. 选一选。 (1) 下面相关联的两个量中,成正比例的是 ( )。 A. 订阅报纸的费用和订阅的份数 B. 正方体的表面积和它的棱长 C. 小华看故事书,看了的页数和未看的页数 D. 工作总量一定时,工作时间和工作效率 (2) 下面相关联的两个量中,成反比例的是 ( )。 A. 三角形的面积一定,它的底和对应的高 B. 全班人数一定,出勤人数和缺勤人数 C. 比值一定,比的前项和后项 D. 圆的周长和直径 3. 一艘轮船从A地驶向B地,去时顺水而行, 每时行驶24km,共行驶15h;返程时逆水而 行,速度比去时慢了25%。该轮船多久后可 以返回A地? 4. (数形结合)看一本书,每天看的页数和需要 的天数如图所示。如果要8天看完这本书, 那么平均每天看多少页? 5. (创新应用)甲、乙、丙三人参加100米跑比 赛,甲到达终点时,领先乙10米,此时,乙领 先丙15米。假设乙和丙的速度始终不变,那 么当乙到达终点时,将领先丙多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 四　正比例与反比例 提分真题集训 1. 选一选。 (1) (茂名化州)下面各选项中的两个量,不 成反比例的是( )。 A. 三角形的面积一定,它的底和对应的高 B. 一个数和它的倒数 C. 从甲地到乙地所用的时间和速度 D. 圆的周长和它的半径 (2) (泉州晋江)下面各选项中的两个量,成 正比例的是( )。 A. 平行四边形的面积一定,它的底和对应的高 B. 正方体的表面积和它的一个面的面积 C. 已知y=3+x,y和x D. 已知9∶x=y∶4,y和x (3) (惠州惠阳区)若果园果树的成活率一 定,则栽种的棵数与成活的棵数( )。 A. 成反比例 B. 成正比例 C. 不成比例 D. 无法确定 2. (北京海淀区)下面的图象表示了香蕉、苹果 的总价和数量之间的关系,看图回答问题。 (1) 香蕉的总价和购买的数量成( )比例。 (2) 从图象上看,单价更贵的水果是( )。 (填“香蕉”或“苹果”) (3) 买3千克苹果要用多少元? 20元可以买 多少千克香蕉? 3. (茂名化州)亮亮看一本故事书,平均每天看 的页数和所用的时间见下表: 平均每天看的页数 4 6 8 10 15 … 所用的时间/天 60 40 ① ② 16 … (1) 上表中的①②分别应该填什么数? 在括 号中填出来。 ① ( ) ② ( ) (2) 平均每天看的页数和所用的时间是否成 反比例? 请说明理由。 (3) 如果亮亮用30天看完了这本故事书,那 么他平均每天看多少页? 4. (丽水龙泉)一根弹簧挂上物体(质量不超过 40千克)后长度会成比例伸长,下图表示所 挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的 关系。 (1) 所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成 ( )比例。 (2) 挂上8千克的物体,那么弹簧伸长( ) 厘米。 (2) 要使弹簧伸长8厘米,应挂上( )千 克的物体。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 数学(北师版·广东专用)六年级下 第四单元整合提升 类型一 根据等式判断比例关系 将等式进行适当的变形,得出等式中两个字母的积或 商,然后根据正比例、反比例的意义去判断。 1. 如果A×2=B÷3(A,B 均不为0),那么A 和B 成比例吗? 成什么比例? 为什么? 2. (推理意识)已知1 5a= 3 4b (a,b均不为0), b=5c,则a和c成比例吗? 成什么比例? 为 什么? 类型二 根据正比例图象进行估计 根据正比例图象进行估计,可先在横轴上找到已知 点,再从这点作横轴的垂线,与图象相交于一点,从交 点作纵轴的垂线,得出要估计的值。 3. (地域美食)一种新会陈皮的销售情况如下表 所示。 质量/千克 1 2 4 6 7 8 金额/元 160 320 640 960 (1) 把上表填写完整。 (2) 根据上表中的数据描点,顺次连接各点, 你发现了( )。 (3) 表中的金额与质量成( )比例。 (4) 看图估计一下,2.5千克新会陈皮可以售 出( )元,5.5千克新会陈皮可以售出 ( )元。 素养点 运用比例关系解决问题 4. (思维过程)欢欢想知道一块石头的体积,她 把这块石头浸没在长方体容器中(如图,长方 体容器足够高),当她把这块石头拿出后,容 器的水面下降了0.4cm,她又将一块棱长为 4cm的正方体铁块浸没在这个容器中,容器 的水面上升了0.5cm。这块石头的体积是 多少? 思路提示:底面积一定,体积和高成正比例。 5. (创新应用)一架飞机从深圳宝安机场飞出进 行观测任务,飞机所带的燃料最多可以飞行 7时,飞机去往某地时顺风,每时飞行800千 米,按原飞行路线返回时逆风,每时飞行600 千米。为保证飞行安全,这架飞机最远飞出 多少千米就需要返回? 思路提示:往、返路程相同,速度和时间成反比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 四　正比例与反比例