第八章 因式分解知识归纳与题型突破（12题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第八章 因式分解知识归纳与题型突破（12题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一：因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 1.因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2.因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； 3.因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4.因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 二．用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 1.多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． 2.提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． 3.若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 三．用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 四．用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 03 题型归纳 题型一　判断是否是因式分解 例题：1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左边到右边的变形是否是因式分解，只需根据定义来确定即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等号右边不是积的形式，不符合题意； C、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 巩固训练 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 中等号右边不是整式积的形式，则C不符合题意； 符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：． 3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：中等号左边是单项式，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 符合因式分解的定义，则C符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解．把多项式变为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，单项式乘以多项式，不是因式分解，不符合题意； B、，右边没有变为乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、 ，右边是单项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D 5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分解因式，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此判断即可求解，掌握分解因式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式的恒等变形，不是因式分解，不合题意； 、是整式的乘法运算，不是因式分解，不合题意； 、是多项式的恒等变形，不是因式分解，不合题意； 、是因式分解，符合题意； 故选：． 题型二　利用因式分解求参数 例题：6．把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 巩固训练 7．多项式可以分解为，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解和多项式乘多项式的运算，正确将原式变形是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：依题意得： ， ，． 解得∶，． 则 ． 故选：B． 8．若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 9．若，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘多项式，计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， 故选：B． 10．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题． 【详解】解： ， ，， 故选：C． 题型三　公因式 例题：11．多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义解答即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：B． 巩固训练 12．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式，解题的关键是找出多项式各项系数的最大公因数以及各项都含有的相同字母的最低次幂． 分别分析多项式各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂，从而确定公因式． 【详解】在多项式中，8和12的最大公因数是4； 对于字母，在中的次数是3，在中的次数是1，相同字母的最低次幂是； 对于字母，在和中的次数分别是3和2，即相同字母的最低次幂是； 对于字母，中不含，所以公因式中不含． 综合起来，多项式的公因式是， 故答案选：B． 13．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得公因式是，解答即可． 本题考查了公因式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选：C． 14．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 15．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键． 根据公因式的定义即可解答． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选D． 题型四　平方差公式因式分解 例题：16．下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解∶A．符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； B．， 两平方项的符号相同，不能用平方差公式分解，符合题意； C． 符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； D．符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； 故选：B． 巩固训练 17．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A. 不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B. 是完全平方式，不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C. 是完全平方式，不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D. ，能直接用平方差公式分解因式，故此选项符合题意， 故选：D． 18．将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解答此题的关键．利用平方差公式进行因式分解即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 19．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：A．不满足平方差公式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B．不满足平方差公式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C．，能用平方差公式分解因式，符合题意； D．不满足平方差公式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意． 故选C． 20．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B．，故能用平方差公式分解因式，符合题意； C．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意． 故选B． 题型五　完全平方公式因式分解 例题：21．下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解； B、，不能用完全平方公式进行因式分解； C、，不能用完全平方公式进行因式分解； D、，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 巩固训练 22．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特点是解题的关键． 根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 23．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解，直接利用完全平方公式分解因式可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 24．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A不符合题意； B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B不符合题意； C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 25．多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，将看作一个整体，根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故选：A． 题型六　综合公式法因式分解 例题：26．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 巩固训练 27．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 28．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 29．将多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据完全平方公式分解为，再将分解为由此得到答案. 【详解】==， 故选：D. 【点睛】此题考查公式法分解因式，综合运用完全平方公式、平方差公式是解题关键. 30．分解因式x2＋2xy＋y2－4的结果是(   ) A．(x＋y＋2)(x＋y－2) B．(x＋y＋4)(x＋y－1) C．(x＋y－4)(x＋y＋1) D．不能分解 【答案】A 【分析】运用完全平方公式和平方差公式解答即可. 【详解】解：x2＋2xy＋y2－4=-4= (x＋y＋2)(x＋y－2). 故选A. 【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键. 题型七　因式分解与几何图形 例题：31．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键． 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为， 图2中的阴影部分的面积为， ∴， 故答案为∶D． 巩固训练 32．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（    ）    A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积，完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式；根据图形列出算式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意可得，，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得： ， ∴， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 由图②得： ， ∴， ∴， ∴， ∴图②所示的大正方形的面积 ， ∴，（负根舍去），故甲的说法错误； ∴． 故选：B． 33．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，由此列出面积等式. 【详解】∵四边形是一个长方形， ∴该长方形的面积=， ∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成， ∴该图形的面积=， ∴=， 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键. 34．如图①，矩形长为，宽为，用剪刀分别沿矩形的两组对边中点连线剪开，把它分成四个全等的矩形，然后按图②拼成一个新的正方形，则图②中阴影部分面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出图②中大正方形的边长，继而得出它的面积，然后根据阴影部分的面积=大正方形的面积-矩形的面积即可得出答案． 【详解】由题意可得，图②中大正方形的边长为，则它的面积是 又∵图①中原矩形的面积是 ∴中间阴影部分的面积 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式的计算及用完全平方公式法进行因式分解，认真分析图形的结构，找到相应的边，列出计算阴影部分的面积的代数式是解题的关键和难点． 35．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．从个体分析图形的面积：，从整体分析图形的面积：，两种方法均表示大长方形的面积，据此解题． 【详解】解：图形面积可表示为， 也可表示为， 根据题意得出可以得到一个用来分解因式的公式， ， 故选：D． 题型八　因式分解与整除问题 例题：36．若为任意整数，则的值总能被 整除． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案．正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 【详解】解： ． ∴的值总能被整除． 故答案为：． 巩固训练 37．已知能被30至40之间的两个整数整除，这两个整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴能被35和37整除， ∴这两个整数的和是， 故答案为：． 38．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ． 【答案】28和26 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解，将利用幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解得到，即可解题． 【详解】解： ， 可以被28和26两个数整除， 故答案为：28和26． 39．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是 ． 【答案】63，65 【分析】将496﹣1利用平方差公式分解因式，根据496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，即可得到答案． 【详解】因式分解可得： 496﹣1=（448+1）（448-1）=（448+1）（424+1）（424-1）=（448+1）（424+1）（412+1）（412-1）=（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（46-1）=（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43-1）， ∵43+1=65，43-1=63， ∴496﹣1可以被60到70之间的某两个整数65，63整除， 故答案为：63，65． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式分解因式． 40．对于任何整数a，多项式(a＋2)2－a2都能被整数 整除． 【答案】4 【分析】利用平方差公式分解因式，然后整理即可． 【详解】 所以多项式都能被整数4整除． 【点睛】本题考查了对因式分解方法的掌握，解题关键是通过分解因式写成一个常数和代数式积的形式． 题型九　利用因式分解简便运算 例题：41．利用因式分解简便运算：＝ ． 【答案】 【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算； 【详解】原式＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 巩固训练 42．简便计算：101×99= . 【答案】9999 【分析】将101化成100+1,利用乘法分配律即可解题. 【详解】解：101×99=（100+1）×99=9900+99=9999. 【点睛】本题考查了整式的乘法,属于简单题,找到简单方法,对101进行分解是解题关键. 43．用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是 ． 【答案】1． 【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答. 【详解】20082﹣4016×2007+20072， ＝20082﹣2×2008×2007+20072， ＝（2008﹣2007）2， ＝1． 【点睛】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键. 44．计算 ． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式特征进行因式分解，进行简便计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． 45．计算： ． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式． 题型十　利用完全平方式求参数 例题：46．多项式能用完全平方式分解因式，则的值为 ． 【答案】8或/或8 【分析】利用完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 巩固训练 47．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据完全平方式：，可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 48．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 ． 【答案】或9/9或-3 【分析】根据完全平方公式即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 则， 解得或， 故答案为：或9． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式是解题关键． 49．如果是一个完全平方式，那么m＝ ． 【答案】±3 【分析】根据完全平方公式可直接进行求解． 【详解】解： 是一个完全平方式， ； ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 50．已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于 ． 【答案】16 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：二次三项式是完全平方式， 16 故答案为：16． 【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 题型十一　提取公因式和公式法综合因式分解 例题：51．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 巩固训练 52．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 53．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，先提取公因式，再用平方差公式来分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 54．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的知识点，解题的关键是熟练掌握提取公因式法与十字相乘法． 先提取多项式各项的公因式，再对提取公因式后剩余的多项式进行十字相乘法分解因式． 【详解】提取公因式：观察多项式，每一项都含有公因式，将其提取出来，得到， 十字相乘法分解因式：所以可以分解为， ． 故答案为： 55．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型十二　利用因式分解求值 例题：56．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的作用，先提公因式，然后再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为： 巩固训练 57．已知，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，由已知得，然后将原式转化为，再整体代入计算即可．利用整体的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 58．已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先进行因式分解，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 59．若，，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 60．若，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 因式分解知识归纳与题型突破（12题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一：因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 1.因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2.因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； 3.因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4.因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 二．用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 1.多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． 2.提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． 3.若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 三．用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 四．用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 03 题型归纳 题型一　判断是否是因式分解 例题：1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二　利用因式分解求参数 例题：6．把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 巩固训练 7．多项式可以分解为，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．2 8．若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 9．若，则的值是(   ) A． B． C． D． 10．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 题型三　公因式 例题：11．多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 12．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 13．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 14．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 15．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 题型四　平方差公式因式分解 例题：16．下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 17．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 18．将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 19．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（       ） A． B． C． D． 20．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 题型五　完全平方公式因式分解 例题：21．下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 22．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 23．计算（    ） A． B． C． D． 24．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 25．多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六　综合公式法因式分解 例题：26．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 27．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 28．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．将多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． 30．分解因式x2＋2xy＋y2－4的结果是(   ) A．(x＋y＋2)(x＋y－2) B．(x＋y＋4)(x＋y－1) C．(x＋y－4)(x＋y＋1) D．不能分解 题型七　因式分解与几何图形 例题：31．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 32．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（    ）    A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 33．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 34．如图①，矩形长为，宽为，用剪刀分别沿矩形的两组对边中点连线剪开，把它分成四个全等的矩形，然后按图②拼成一个新的正方形，则图②中阴影部分面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 35．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（       ） A． B． C． D． 题型八　因式分解与整除问题 例题：36．若为任意整数，则的值总能被 整除． 巩固训练 37．已知能被30至40之间的两个整数整除，这两个整数的和是 ． 38．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ． 39．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是 ． 40．对于任何整数a，多项式(a＋2)2－a2都能被整数 整除． 题型九　利用因式分解简便运算 例题：41．利用因式分解简便运算：＝ ． 巩固训练 42．简便计算：101×99= . 43．用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是 ． 44．计算 ． 45．计算： ． 题型十　利用完全平方式求参数 例题：46．多项式能用完全平方式分解因式，则的值为 ． 巩固训练 47．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为 ． 48．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 ． 49．如果是一个完全平方式，那么m＝ ． 50．已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于 ． 题型十一　提取公因式和公式法综合因式分解 例题：51．因式分解： ． 巩固训练 52．分解因式： ． 53．因式分解： ． 54．因式分解： ． 55．因式分解： ． 题型十二　利用因式分解求值 例题：56．已知，，则 ． 巩固训练 57．已知，则的值为 ； 58．已知，那么的值为 ． 59．若，，则 ． 60．若，，则的值为 ． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$