第八章 因式分解（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第八章 因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解的方法对选项进行逐个分析解答即可． 【详解】解：A. ，利用提公因式法分解因式得：，所以该选项不符合题意； B. ，利用完全平方公式分解因式得：，所以该选项不符合题意； C. ，不能因式分解，故该选项符合题意； D. ，利用平方差公式分解因式得：，所以该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式和公式法分解因式． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】A项，)，故错误； B项，不能因式分解，故错误； C项，不能因式分解，故错误； D项，，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，关键在于是否准确运用公式，还要注意分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止；因式分解是恒等变形． 3．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用公因式的定义求解即可． 【详解】解： = =， 提取的公因式为mn． 故选D． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解答本题关键． 4．1.若mn＝﹣2，m﹣n＝3，则代数式m2n﹣mn2的值是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．1 D．6 【答案】A 【分析】直接提取公因式mn，进行因式分解，把已知代入即可得出答案． 【详解】m2n﹣mn2＝mn  (m﹣n) 当mn＝﹣2，m﹣n＝3时，原式=−2×3=−6． 故选：A 【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，正确分解因式是解题关键． 5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．m2﹣m﹣1 B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2 D．m2﹣2m﹣1 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍． 【详解】解：﹣2m+m2+1＝（m﹣1）2， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解此题的关键． 6．已知a，b，c分别是的三边长，若，则c的长是（   ） A．20 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用．将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键． 先把因式分解可得，已知①，从而得到②，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵①， ∴， ∴②， ∴②－①得，， 解得， 故选：C 7．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解和求代数式的值．先利用提公因式法和公式法把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．把多项式因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查用分组分解法进行因式分解，采用三一分组是解答此题的关键． 利用分组分解法将前三项提取公因式后利用完全平方公式分解，再整体提取公因式后利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先进行因式分解，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式展开再分组为，再根据平方差公式和提公因式法进行分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．已知，则式子 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方及其逆运算，同底数幂乘法计算，先根据得到，进而得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，灵活运用因式分解求得成为解题的关键． 先根据已知条件求得，再解方程组可得，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，解得：， ∴． 故答案为：2025． 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键． （1）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： ． 18．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式进行正确的变形，注意分解要彻底； （1）利用因式分解法，将原式进行正确的变形，即可求解； （2）利用因式分解法，将原式进行正确的变形，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 19．已知，求． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式和偶次方的性质，把原式化成，得出，，求出m、n的值，代入则可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键． （1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）解：方法一：设， 则 ； 方法二：设， 则 ． 21．如图，边长为，的两个正方形并排放在一起，当，时，用因式分解的知识求出阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用；阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，整理后将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得： 把代入得：． 故图中阴影部分的面积为． 22．已知：，． (1)求证：； (2)若，为整数，且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知得，，，再代入，整理得，根据平方的非负性质即可得证； （2）根据已知推出，由得，继而得到，异号，根据推出，继而得到或或或，求解后得到符合题意的、的值，再代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，为整数， ∴或或或， ∴（不符号、异号，舍去）或（不符号、异号，舍去）或或（不符号、异号，舍去）， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解的应用，平方的非负性质，二元一次方程组的应用，求代数式的值．利用因式分解和方程的思想解决问题是解题的关键． 23．阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 【答案】(1)提公因式法；两 (2) (3)， 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 【详解】（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解： ； （3）解： ． 观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式； 故答案为：，． 24．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 25．阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解−运用公式法，弄清题中的方法是解本题的关键． （1）将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解即可； （2）先把多项式乘多项式整理后，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 原式， 再将“A”还原，得原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则 ， 再将“A”还原，得原式． 26．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得，该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：设， 原式 ． 27．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，三角形三边的关系，通过完全平方公式把等式左边配方成两个完全式，等式右边为0的等式是解题的关键． （1）仿照题意得到，由此求出x、y的值即可得到答案； （2）仿照题意得到，由此求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长，且c是中最长的边， ∴，即， ∴． 28．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．1.若mn＝﹣2，m﹣n＝3，则代数式m2n﹣mn2的值是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．1 D．6 5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．m2﹣m﹣1 B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2 D．m2﹣2m﹣1 6．已知a，b，c分别是的三边长，若，则c的长是（   ） A．20 B．16 C．8 D．4 7．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．4 D．9 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．把多项式因式分解的结果是 ． 10．因式分解： ． 11．已知，那么的值为 ． 12．因式分解： ． 13．已知，则式子 ． 14．已知，则 ． 15．计算： ． 16．分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．因式分解： (1) (2) 18．因式分解 (1) (2) 19．已知，求． 20．参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 21．如图，边长为，的两个正方形并排放在一起，当，时，用因式分解的知识求出阴影部分的面积． 22．已知：，． (1)求证：； (2)若，为整数，且，，求的值． 23．阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 24．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 25．阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 26．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 27．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 28．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$