第八章 因式分解（3易错+7压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第八章 因式分解易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　利用因式分解判断三角形形状 1 易错题型二　因式分解与密码问题 3 易错题型三　利用因式分解降次后整体代入 5 压轴题型一　利用因式分解解决最值问题 8 压轴题型二　因式分解与非负性综合 11 压轴题型二　分组分解法 13 压轴题型四　利用“整体思想”因式分解 17 压轴题型五　配方法因式分解 23 压轴题型六　拆项法因式分解 27 压轴题型七　十字相乘法 31 02 易错题型 易错题型一　利用因式分解判断三角形形状 例题：1．三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【详解】解： ， 或 ，（舍去）， ， ， ， 三角形是直角三角形， 故选：B． 巩固训练 2．在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．只有两边相等的三角形 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：， 则， ， ， ，，， ， 是等边三角形， 故选：B． 3．若的三边为，，，且满足，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 4．已知a、b、c为三边，满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】解：． ， ． 或， 或， 的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 5．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 易错题型二　因式分解与密码问题 例题：6．登登是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．美丽 B．美丽泉州 C．我爱泉州 D．泉州美 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ ， 又∵分别对应下列四个字：我，爱，泉，州， ∴结果呈现的密码信息是：我爱泉州． 故选：C． 巩固训练 7．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息． 【详解】解：∵ ， 分别对应4个汉字：爱，我，数，学． 则呈现的密码信息可能是：我爱数学． 故选：A． 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱蓬莱 B．我爱游 C．爱我蓬莱 D．我游蓬莱 【答案】C 【详解】本题考查了因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 解：由， ∵，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬， ∴呈现的密码信息可能是“爱我蓬莱”， 故选：． 9．取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，把进行因式分解，再根据产生密码的方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当，时，， ∴产生的密码可以为：，，， 故选A． 10．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式 依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法，先把多项式因式分解，再根据密码信息确定即可． 【详解】解：， ， ， 分别对应汉字我、爱、新、余， 呈现的密码信息可能是我爱新余， 故选：C． 易错题型三　利用因式分解降次后整体代入 例题：11．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，将化为，再整体代入计算即可．利用整体代入思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 巩固训练 12．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的整体代入求解、因式分解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体． 由题意可得，把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知条件，先通过因式分解将式子变形，然后将进行整体代入，再求解，解题的关键是将已知条件整体代入变形的式子中，从而求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 14．若，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查了因式分解及求代数式的求值，灵活运用因式分解变形代数式是求值的关键，由，，将代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 15．若实数满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 03 压轴题型 压轴题型一　利用因式分解解决最值问题 例题：16．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将代入中，利用完全平方公式变形为，可得代数式的最大值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴， 即， 即的最大值为3， 故答案为：3． 巩固训练 17．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查利用公式分解因式，非负数的性质，解题关键是找到a的取值范围．先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可． 【详解】解：∵，即， ∴ 时，的最大值为 故答案为： 18．已知实数、、满足，则实数的最大值为 ． 【答案】2022 【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定的最大值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，的值最大， ， ， 实数的最大值为2022， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键. 19．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设：， ∵直角三角形的斜边大于直角边， ∴边上高， ∴当时，的面积最大，最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键． 20．已知，则的最小值是 ． 【答案】0 【分析】求代数式的最小值，应该把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式．把所给代数式“两、两”分组，进而把整理成的形式，然后继续整理，可得一个完全平方式加一个常数的形式，然后分析完全平方式的最小值可得整个式子的最小值．本题考查因式分解的应用．关键是把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式．易错点是根据所给的值判断出的最小值． 【详解】解： ． ， 原式 ． 设，则． ， ． ． ． ． 方程有解， ． ． 或． 当即时，原式； 当即时，原式． ， 的最小值是0． 故答案为：0 压轴题型二　因式分解与非负性综合 例题：21．如果，那么的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查因式分解、非负数的性质、代数式求值，根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方式的非负性求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：由得， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 巩固训练 22．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解方程组， 得：， ． 故答案为： ． 23．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查因式分解的应用、求代数式的值，将式子变形为，再利用因式分解解方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 24．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，代数式求值，由，通过配方得，再根据非负数的性质求出的值，然后代入求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 25．如果，则 ． 【答案】36 【分析】先将变形成，进而求得a、b的值，然后再对因式分解即可解答． 【详解】解： ，解得：； ． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键． 压轴题型二　分组分解法 例题：26．阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ，， ． （3） ． 故答案为：． 巩固训练 27．因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解．如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法，已知；．请利用以上方法解决下列问题： (1)分别把多项式A和B分解因式； (2)已知a，b分别为等腰的腰和底边，试比较分式与1的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查因式分解； （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将进行约分化简后，结合三角形的三边关系，进行判断即可． 掌握分组分解法，分式的基本性质，是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； （2）； ∵a，b分别为等腰的腰和底边， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解：； (2)已知是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由； (3)若为非零实数，且，求证：． 【答案】(1) (2)是等边三角形； (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解； （3）等式两边去括号展开，移项得到，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴， ∴是等边三角形； （3）解： ∴ ∴ 29．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如： 请你仿照以上方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成，前者利用平方差公式分解后，再利用提取公因式分解即可； （2）分成，前者利用完全平方公式分解后，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ² ； 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及平方差公式，能正确给多项式分组是解决本题的关键． 30．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分解因式分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可； （2）原式后三项提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 压轴题型四　利用“整体思想”因式分解 例题：31．阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对于（1），根据材料一可知，即可分解； 对于（2）①，令，再结合材料一分解，可得答案；②令，展开并整理，结合材料一分解，整体代入可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①令， ， ， ， ， ． ， 原式； ②令， ， ， ， ， ． ， 原式．. 巩固训练 32．阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解−运用公式法，弄清题中的方法是解本题的关键． （1）将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解即可； （2）先把多项式乘多项式整理后，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 原式， 再将“A”还原，得原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则 ， 再将“A”还原，得原式． 33．阅读下面材料，并仿照其解题方法解决问题． 因式分解：． 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)说明：若n为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）先用完全平方公式，得到，将看成整体，再利用平方差公式因式分解即可； （2）将看成整体，再利用完全平方式因式分解即可； 本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是运用整体思想和完全平方公式、平方差公式因式分解的能力． 【详解】（1）解：∵， 将看成整体， 令， 原式， 再将“A”还原， 原式 （2）将“”看成整体， 令， 原式 ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴的值一定是某个整数的平方． 34．因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业． 因式分解：． 小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式． 张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目． (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）分组后然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （3）将看成整体，令，进行因式分解，再将“B”还原代入，再次因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解：令， 则 ． 将代入，得 原式． 35．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 问题： (1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________； (2)请你结合以上的思想方法对多项式进行因式分解； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用换元法进行因式分解即可； （3）设，则原式可变为，求出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解： 设， 原式 ． （2）解：， 设， 原式 ； （3）解：， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴题型五　配方法因式分解 例题：36．阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 【答案】(1) (2)2023 【分析】考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据题干的方法求解即可； （2）利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 故的最小值为2023． 巩固训练 37．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 38．阅读材料：把形如的二次三项式或其中一部分配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据上述材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，配方法的应用和非负数的性质，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意几个非负数的和为，则每一个非负数都为． （1）运用配方法、结合阅读材料解答； （2）运用配方法把原式和平方和的形式，根据非负数的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2） ， ∴， ∴． ∴． 39．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】（3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）16  4  （2）2  （3） 【分析】本题考查配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解． （2）先配方，再求最小值． （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1）； 故答案为：16，4； （2）∵， 且， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为2； （3），理由如下： ∵， ∴． 40．利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查了多项式的因式分解．利用完全平方公式：配方是解题关键． （1）配方时，先加上的平方，再减去这个平方数；配方时，先加上的平方，再减去这个平方数； （2）①仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解； ②仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：① ； ② ． 压轴题型六　拆项法因式分解 例题：41．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【答案】(1)①；② (2)，， 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ，，． 巩固训练 42．你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【详解】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 43．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． (1)分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”． 例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为，，拆为，，然后排列如下：                    交叉相乘，积相加得，凑得中间项，所以分解为，利用以上方法分解因式：； (2)对不能直接使用提取公因式法，公式法或者十字交叉法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可得到答案； （2）利用分组分解法、提公因式法、平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：根据题意可得： ． 45．利用拆项法，分解因式：． 【答案】． 【分析】将拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解． 【详解】解： ， ， ， ． 压轴题型七　十字相乘法 例题：46．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 巩固训练 47．等式是数学学习中常见的代数模型． 例如：分解因式    《十字相乘法分解因式》先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（左图） 这样，我们也可以得到，请试着将多项式分解因式． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式． (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释． (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：． （2）解：如图：    大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长×宽； 另一种是四块小长方形面积之和：， 即． （3）解：∵， ∴． 48．阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 49．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：    第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为；②的系数为； ③的系数为；④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： (1)分解因式：； ①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；    ②分解因式：_______； (2)分解因式：． ①完善横线上的数字；    ②分解因式：________． 【答案】(1)①见解析；② (2)①见解析；② 【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可． 【详解】（1）解：①  ； ②； （2）①  ； ②． 50．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图， 由图知． （2）解：如图， 由图知． （3）解：如图， 由图知． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 因式分解易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　利用因式分解判断三角形形状 1 易错题型二　因式分解与密码问题 3 易错题型三　利用因式分解降次后整体代入 5 压轴题型一　利用因式分解解决最值问题 8 压轴题型二　因式分解与非负性综合 11 压轴题型二　分组分解法 13 压轴题型四　利用“整体思想”因式分解 17 压轴题型五　配方法因式分解 23 压轴题型六　拆项法因式分解 27 压轴题型七　十字相乘法 31 02 易错题型 易错题型一　利用因式分解判断三角形形状 例题：1．三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 巩固训练 2．在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．只有两边相等的三角形 D．无法确定 3．若的三边为，，，且满足，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．已知a、b、c为三边，满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 易错题型二　因式分解与密码问题 例题：6．登登是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．美丽 B．美丽泉州 C．我爱泉州 D．泉州美 巩固训练 7．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱蓬莱 B．我爱游 C．爱我蓬莱 D．我游蓬莱 9．取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 10．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式 依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 易错题型三　利用因式分解降次后整体代入 例题：11．已知：，则的值为 ． 巩固训练 12．已知，则代数式的值是 ． 13．已知，则 ． 14．若，则的值为 ． 15．若实数满足，则 ． 03 压轴题型 压轴题型一　利用因式分解解决最值问题 例题：16．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为 ． 巩固训练 17．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 18．已知实数、、满足，则实数的最大值为 ． 19．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ． 20．已知，则的最小值是 ． 压轴题型二　因式分解与非负性综合 例题：21．如果，那么的值为 ． 巩固训练 22．已知：，则 ． 23．若，则 ． 24．已知，则的值为 ． 25．如果，则 ． 压轴题型二　分组分解法 例题：26．阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 巩固训练 27．因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解．如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法，已知；．请利用以上方法解决下列问题： (1)分别把多项式A和B分解因式； (2)已知a，b分别为等腰的腰和底边，试比较分式与1的大小． 28．阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解：； (2)已知是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由； (3)若为非零实数，且，求证：． 29．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如： 请你仿照以上方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2) 30．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 压轴题型四　利用“整体思想”因式分解 例题：31．阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 巩固训练 32．阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 33．阅读下面材料，并仿照其解题方法解决问题． 因式分解：． 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)说明：若n为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 34．因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业． 因式分解：． 小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式． 张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目． (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)因式分解：． 35．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 问题： (1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________； (2)请你结合以上的思想方法对多项式进行因式分解； (3)若，求的值． 压轴题型五　配方法因式分解 例题：36．阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 巩固训练 37．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 38．阅读材料：把形如的二次三项式或其中一部分配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据上述材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方； (2)已知，求的值． 39．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】（3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 40．利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 压轴题型六　拆项法因式分解 例题：41．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 巩固训练 42．你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 43．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 44．阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． (1)分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”． 例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为，，拆为，，然后排列如下：                    交叉相乘，积相加得，凑得中间项，所以分解为，利用以上方法分解因式：； (2)对不能直接使用提取公因式法，公式法或者十字交叉法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上方法分解因式：． 45．利用拆项法，分解因式：． 压轴题型七　十字相乘法 例题：46．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 巩固训练 47．等式是数学学习中常见的代数模型． 例如：分解因式    《十字相乘法分解因式》先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（左图） 这样，我们也可以得到，请试着将多项式分解因式． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式． (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释． (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 48．阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： (1) (2) 49．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：    第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为；②的系数为； ③的系数为；④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： (1)分解因式：； ①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；    ②分解因式：_______； (2)分解因式：． ①完善横线上的数字；    ②分解因式：________． 50．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． / 学科网（北京）股份有限公司 $$