精品解析：广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴距离，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，据此解题． 【详解】解：由题意得：， 即或， 解得：或， ∴点P的坐标是或， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两点之间直线最短 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 若，则且 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的实际应用，掌握相关知识是解题关键．根据方差越小，数据越稳定解答即可． 【详解】解：平均成绩相同，且，，，， ， 射击成绩最稳定的是乙， 故选：B． 5. 若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象的交点写出方程组的解即可． 【详解】解：∵解二元一次方程组时所画的图象交点为， ∴方程组的解为， 故选：A 【点睛】此题考查了图象法解二元一次方程组，熟知根据图象交点即可得到方程组的解是解题的关键． 6. 如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的外角定理，熟练地掌握角平分线的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据三角形的外角定理即可求出，根据角平分线的定义，可求出，再根据三角形的外角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确的列方程组是解题的关键．如果一间客房住7人，那么有6人无房可住，则；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，则；进而可列二元一次方程组． 【详解】解：由题意知，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住，则； 如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，则； 依题意得，关于x、y的二元一次方程组为， 故选：D． 8. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象． 【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢． 观察四个图象，选项C符合题意． 故选：C． 9. 如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. a＜c＜b 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案． 【详解】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c． 则b＞c＞a， 即a＜c＜b． 故选D． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小是解题的关键. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，直线经过点，则代数式______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握点在直线上，则点的坐标满足直线解析式．由直线经过点，知，故 【详解】解：直线经过点， ， ； 故答案为： 12. 关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件得出是解题的关键．将两个方程相加并计算即可． 【详解】解：将两个方程相加得：， 则， 故答案为：． 13. 如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，根据“同位角相等，两直线平行”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据补角的和为，则计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若a、b均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式和算术平方根的定义，把x的值代入代数式中，根据已知条件即可求出a、b的值，然后再求出的算术平方根． 【详解】解：当时，代数式的值为0， ， ， 、b均为整数， ，， ，， ， 则的算术平方根为：， 故答案为：． 15. 一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是_____________． 【答案】或3或7 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，先根据平均数的定义求出平均数，再分当时，当时，当时，三种情况分别求出对应的中位数，再根据平均数和中位数相同建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，这组数据的平均数为， 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 综上所述，x的值是或3或7． 故答案为：或3或7． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，二元一次方程组的解法． （1）先算算术平方根，立方根，绝对值，再算加法即可； （2）用加减消元法，将①②消去即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ①②得 解得 把代入①得 ∴原二元一次方程组的解为． 17. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）80° 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ABC≅△DEF可推出∠ACB=∠F，即可证明AC∥DF； （2）根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 又AB=DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≅△DEF(SAS)， ∴∠ACB=∠F， ∴AC∥DF； 【小问2详解】 解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F， ∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°， ∴∠EOC=180°−∠DEF−∠ACB =180°−65°−35° =80°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 18. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． （3）试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点不在此函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【小问1详解】 根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 将点代入得：， 解得：； 小问3详解】 当时，， 则点不在此函数的图象上． 19. 美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 【答案】（1）购进A型服装15件，购进B型服装10件 （2）美丽服装店一共可获利元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用1900元购进A，B两种新式服装共25件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一共可获利每件A型服装挣的钱数销售数量每件B型服装挣的钱数销售数量，即可求出结论． 【小问1详解】 设购进A种服装x件，购进B种服装y件， 根据题意得：， 解得：， 答：购进A型服装15件，购进B型服装10件； 【小问2详解】 解：根据题意： （元） 答：美丽服装店一共可获利元． 20. 为进一步巩固提升文明城市创建成果，常态长效推进文明城市建设，长安区某中学举办了“文明长安，你我同行”的知识竞赛．经过对100名竞赛者成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60～69分；C：70～79分；D：80～89分；E：90～100分），观察统计图，完成下列问题： （1）成绩在59分及以下的有 　 　人，在80～89分的有 　 　人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，成绩在“60～69分”部分所对应的圆心角的度数是多少？ 【答案】（1）10；35 （2）见解析 （3）72° 【解析】 【分析】（1）根据“部分=整体×对应的比例”计算即可； （2）根据（1）的结论补全条形统计图即可； （3）首先计算出60-69分部分的学生所占百分比，再利用360°×百分比即可． 【小问1详解】 解：成绩在59分及以下的有：100×10%=10（人）， 在80～89分的有：100×35%=35（人）； 故答案为：10；35； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，“60-69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×=72°． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 22. 如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点， 且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿 轴向右移动，设动点D的移动时间为秒． （1）求、的值； （2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标； （3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式． 【答案】（1）k=2，b=6；（2）t=9，D点坐标为（6,0）；（3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）求出B点坐标，根据OB=OD，求出t值及D点坐标； （3）当D点在原点左侧和右侧分类讨论，根据OC=3，高为OD长，求面积即可． 【详解】解：把代入得， ， 解得，， （2）由（1）得，直线AB解析式为：， 当x=0时，y=6，B点坐标为（0，6）， ∴OB=6， 当OD=OB=6时，△COD≌△AOB， AD=OA+OB=9, ∴t=9，此时D点坐标为（6,0）； （3）∵C点坐标为（0，3）， ∴OC=3， 当0≤t＜3时，OA=3，AD=t ， ∴OD=3-t， S= ， 当t≥3时，OD=t-3， S= ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法、全等三角形、动点函数等，解题关键是准确理解题意，熟练运用相关知识解决问题，注意：动点问题的分类讨论． 23. 综合运用 【问题情景】 如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ． 【问题解决】 （1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． （3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （2）根据解析（1）的思路进行求解即可； （3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过K作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过P作， 同理可得，， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 小问2详解】 解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图，过K作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过P作， 同理可得，， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 2. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两点之间直线最短 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 若，则且 4. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若用图象法解二元一次方程组时所画图象如图所示，则该方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. a＜c＜b 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，直线经过点，则代数式______． 12. 关于x、y的方程组，则的值为______． 13. 如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是______度． 14. 若a、b均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为______． 15. 一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是_____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 17. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． （3）试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 19. 美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 20. 为进一步巩固提升文明城市创建成果，常态长效推进文明城市建设，长安区某中学举办了“文明长安，你我同行”的知识竞赛．经过对100名竞赛者成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60～69分；C：70～79分；D：80～89分；E：90～100分），观察统计图，完成下列问题： （1）成绩在59分及以下的有 　 　人，在80～89分的有 　 　人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，成绩在“60～69分”部分所对应圆心角的度数是多少？ 21. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 22. 如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点， 且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿 轴向右移动，设动点D的移动时间为秒． （1）求、的值； （2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标； （3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式． 23. 综合运用 【问题情景】 如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ． 【问题解决】 （1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． （3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$