专题强化01：解三角形题型精讲精练【10大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

专题强化01：解三角形题型精讲精练 【考点归纳】 · 考点一：正弦定理 · 考点二：正弦定理的边角互化应用 · 考点三：余弦定理 · 考点四：余弦定理的边角互化应用 · 考点五：三角形面积公式 · 考点六：正余弦定理的实际应用问题 · 考点七：正几何图形的计算 · 考点八：三角形的边长或周长最值和范围问题 · 考点九：三角形面积最值问题 · 考点十：三角函数和解三角形交汇问题 【题型归纳】 题型一：正弦定理 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 题型二：正弦定理的边角互化应用 4．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型三：余弦定理 7．（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，，则的最小内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A． B．19 C． D．7 9．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型四：余弦定理的边角互化应用 10．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 11．（22-23高一·全国·期中）若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 12．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 题型五：三角形面积公式 13．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，内角的对边长分别为，若且，则 ，面积的值为 ． 14．（22-23高一下·北京·期中）在中，，则 ， ． 15．（2024·河北保定·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为 . 题型六：正余弦定理的实际应用问题 16．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 17．（23-24高一下·江苏泰州·期中）如图所示，某人在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，速度为米/分钟，开始时刻物体位于点，一分钟后其位置在点，且，再过一分钟，该物体位于点，且，此时 . 18．（2022·北京东城·一模）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动．如图所示，线段表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，与水平面垂直．现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 ．(只需写出一种方案) ①C，D两点间的距离；②C，E两点间的距离；③由点C观察点A的仰角；④由点D观察点A的仰角；⑤和；⑥和． 题型七：几何图形的计算 19．（19-20高一下·江苏南京·期中）如图，在中，为角的平分线，若，，则等于（    ） A． B． C． D．0 20．（20-21高一下·江苏·期中）如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 题型八：三角形的边长或周长最值和范围问题 22．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：三角形面积最值问题 25．（2022·江西·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(    ) A．1 B．3 C．2 D．4 26．（22-23高一下·江苏淮安·期中）已知的三个角，，所对的边为，，，若，为边上一点，且，，则面积的最小值为 ． 27．（20-21高一下·江苏泰州·期中）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则 ；若，则的面积的最大值为 ． 题型十：三角函数和解三角形交汇问题 28．（20-21高三上·江苏常州·期末）在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 29．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，在斜三角形中，角的对边分别为，． (1)求的大小； (2)若，求的最小值； (3)若，求的大小． 30．（22-23高一下·江苏泰州·期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且的面积， (1)求外接圆半径； (2)求的取值范围. 【专题强化】 一、单选题 31．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 32．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 33．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 34．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 35．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·福建福州·三模）已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 37．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则一定有 B．若是锐角三角形，则一定有成立 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 38．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，则满足下列选项的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·江苏徐州·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则b的取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 40．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D．若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 三、填空题 41．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 42．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 43．（24-25高一·江苏）在中，已知且，则面积的最大值是 ． 44．（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，内角所对的边分别为，满足，是边的中点，，且，则的长为 ． 45．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知锐角内角，，的对边分别为，，若，，则边上高的取值范围为 .. 四、解答题 46．（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 47．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 48．（23-24高一下·江苏南京·期中）“无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约平方千米，平均海拔米，拥有天池、无想湖等多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形，并规划百米，百米. (1)设计师发现无论多长，为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值； (2)为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值. 49．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．D，E分别为边上的两点，且． (1)证明：； (2)若，当取最大值时，求面积； (3)若，求的值． 50．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：解三角形题型精讲精练 【考点归纳】 · 考点一：正弦定理 · 考点二：正弦定理的边角互化应用 · 考点三：余弦定理 · 考点四：余弦定理的边角互化应用 · 考点五：三角形面积公式 · 考点六：正余弦定理的实际应用问题 · 考点七：正几何图形的计算 · 考点八：三角形的边长或周长最值和范围问题 · 考点九：三角形面积最值问题 · 考点十：三角函数和解三角形交汇问题 【题型归纳】 题型一：正弦定理 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【详解】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，利用正弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得， ，化简得， 因为，所以， 可得，又，所以， 由正弦定理得，. 故选：C. 题型二：正弦定理的边角互化应用 4．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及正弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小 【详解】因为 由正弦定理可得 在中，， 可得，而 可得 故选：A． 6．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 题型三：余弦定理 7．（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，，则的最小内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得是最小的角，设，再由余弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理可得， 可得是最小的角，设，则， 由余弦定理得. 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A． B．19 C． D．7 【答案】D 【分析】由余弦定理计算可得 【详解】由余弦定理得， 所以．因为， 所以． 故选：D 9．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，得，由正弦定理即可求解． 【详解】由题意，得， 又C为的内角，因为 则， 由正弦定理，得. 故选：B. 题型四：余弦定理的边角互化应用 10．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【详解】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D 11．（22-23高一·全国·期中）若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答. 【详解】由，得， 化简得， 所以，由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即为等边三角形． 故选：B 12．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 题型五：三角形面积公式 13．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，内角的对边长分别为，若且，则 ，面积的值为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理找到变量之间的关系求解第一空，利用三角形面积公式结合给定条件求解第二空即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，化简得， 也可得到，化简得， 又可得到，化简得， 解得，，由余弦定理得， ，而在中，故， 而设面积为，所以， ，而，所以. 故答案为：； 14．（22-23高一下·北京·期中）在中，，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意可知，然后利用余弦定理即可求解；利用正弦定理的面积公式即可求解. 【详解】对空：由题意知，则，所以， 由余弦定理得，则； 对空：由，，所以， 所以. 故答案为：；. 15．（2024·河北保定·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为 . 【答案】 【分析】由正弦定理角化边可得，再结合余弦定理可得，根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：因为，由正弦定理可得：，即， 又，所以， 由， 所以， 故答案为：. 题型六：正余弦定理的实际应用问题 16．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【分析】在中求出AC，在中用正弦定理求出AM，再在中求解作答. 【详解】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 17．（23-24高一下·江苏泰州·期中）如图所示，某人在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，速度为米/分钟，开始时刻物体位于点，一分钟后其位置在点，且，再过一分钟，该物体位于点，且，此时 . 【答案】4 【分析】和内，由正弦定理，，中，，，解得可求. 【详解】由正弦定理，内，有， 即. 内，有， 即. 所以， 中，得，又， 得，， 所以. 故答案为：4 18．（2022·北京东城·一模）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动．如图所示，线段表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，与水平面垂直．现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 ．(只需写出一种方案) ①C，D两点间的距离；②C，E两点间的距离；③由点C观察点A的仰角；④由点D观察点A的仰角；⑤和；⑥和． 【答案】①③④（答案不唯一） 【分析】考查① ~⑥ 的条件，运用正弦定理和三角函数定义可确定方案①③④或②③⑤可行. 【详解】结合题图，经分析知： 若选①③④， 在中，，则， 所以，所以， 所以，其中各个量均已知； 若选②③⑤， 已知和，则 由， 所以， 所以，其中各个量均已知． 其他选择方案均不能求得AB长． 综上，①③④或②③⑤都可以. 故答案为：①③④（答案不唯一） 题型七：几何图形的计算 19．（19-20高一下·江苏南京·期中）如图，在中，为角的平分线，若，，则等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在中利用正弦定理可得，化简计算可得答案 【详解】解析：因为为角的平分线 所以 因为 所以 所以不妨设， 因为在中，， 所以 因为在中，， 所以 所以. 故选：C 20．（20-21高一下·江苏·期中）如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题中条件，得到，，在中，利用正弦定理，列出等量关系，进而可求出. 【详解】因为，，所以，， 在中，，，则， 由正弦定理可得：，即， 所以. 故选：C. 21．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解. 【详解】设，则， 在中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，当时，有最小值，此时取最小值， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题. 题型八：三角形的边长或周长最值和范围问题 22．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 23．（23-24高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 则， 所以，解得，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数. 24．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理的 又因为，可得， 所以， 即， 因为，可得，可得，即， 解得或（舍去）， 因为，所以，则， 又因为外接圆半径为，所以， 又由 ， 因为为锐角三角形，且，所以且， 解得，可得，所以， 所以. 故选：C. 题型九：三角形面积最值问题 25．（2022·江西·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(    ) A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值． 【详解】， ， 即， 即， 则， 整理得， ∴， 当且仅当时取等号， ， 则． 故选：C． 26．（22-23高一下·江苏淮安·期中）已知的三个角，，所对的边为，，，若，为边上一点，且，，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】 设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得. 【详解】 设，则， ∵，， ∴， 即，化简得，即， 又，解得或（舍去）， 所以， 又， 所以， 即，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为. 故答案为： 27．（20-21高一下·江苏泰州·期中）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则 ；若，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】若是的中点，则，，在中，由余弦定理得，在中，可得，即可求得的值；若， 作， ，可求得，由余弦定理可得，利用二次函数的性质可得的最大值，进而求得的最大值. 【详解】若是的中点，则， 在中，由余弦定理可得 即，整理得， 即，所以 在中，由余弦定理得 即，所以 若，，，由上述知 作于点E，由，知， 作于点F， 所以在边上的高为， 所以 因为，，，所以 由余弦定理得 即 当时，有最大值，即，则 所以 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：本题考查了余弦定理，二次函数的性质，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，解题的关键是将求得，结合余弦定理可得，利用二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值，考查了学生的转化思想与函数思想，属于难题. 题型十：三角函数和解三角形交汇问题 28．（20-21高三上·江苏常州·期末）在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）. 【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值； （2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围. 【详解】解：（1）选①， 由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； 选②， ∴， ∴， ∵，∴，则， ∴； 选③， 得， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴. （2）已知为锐角三角形，且， 由正弦定理得：， ∴，， ∴， ∵为锐角三角形， ∴， ∴，∴. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力. 29．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，在斜三角形中，角的对边分别为，． (1)求的大小； (2)若，求的最小值； (3)若，求的大小． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由，得到，进而求得； （2）由正弦定理分别求得，，结合向量的数量积的运算公式和三角恒等变换，得到，结合基本不等式，即可求解. （3）因为，得到，求得或，结合题意，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以或，， 因为且，所以或， 由为斜三角形知，（舍），所以. （2）解：由正弦定理：，所以， 又由，可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. （3）解：因为，所以， 所以，所以， 即， 整理得， 所以， 所以或， 因为是钝角，所以，所以，所以． 30．（22-23高一下·江苏泰州·期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且的面积， (1)求外接圆半径； (2)求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）对于，利用余弦定理和面积公式可得，对于，利用正弦定理和三角恒等变换可得，进而可得结果； （2）利用正弦定理和三角恒等变换可得，结合正弦函数求其范围，进而可得结果. 【详解】（1）因为，则，整理得， 且，所以， 又因为，由正弦定理可得， 则，可得， 且，则，可得， 由可得，所以， 设外接圆半径为， 由正弦定理可得，则， 所以外接圆半径为2. （2）由（1）可得，则， 可得 ， 因为，则，可得， 所以， 可得， 所以的取值范围为. 【专题强化】 一、单选题 31．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到的值，因为为三角形中的角，即，利用正弦函数的性质得到满足条件的个数即可. 【详解】因为，根据正弦定理得，代入得到， 由大边对大角可知，，所以或. 故选：C. 32．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角和二倍角正弦公式化简，可得或，从而判断三角形的形状； 【详解】由正弦定理得，， 解得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 33．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以，由正弦定理可得， 所以为直角三角形. 故选：C 34．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 35．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解. 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 36．（2024·福建福州·三模）已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得,，，利用倍角公式计算即可得出结果. 【详解】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 又因为，解得：，所以，C为钝角， ，结合为锐角，解得：或(舍). 故选：D 二、多选题 37．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则一定有 B．若是锐角三角形，则一定有成立 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理以及三角形的性质，即可判断A，根据锐角三角形角的关系，以及三角函数的单调性，即可判断B，根据余弦定理角化边，即可判断C，利用正弦定理，结合余弦定理，以及三角形的性质，即可判断D. 【详解】对于A，若，根据正弦定理得， 结合三角形中“大边对大角”，可得，故A项正确； 对于B，若是锐角三角形，则､均为锐角，且， 可得，两边取正弦得，即，故B项正确； 对于C，若， 则，去分母得， 整理，可知是以为斜边的直角三角形，故C项正确； 对于D，若，则，即， 由正弦定理得，可得，结合，可知为锐角， 但不能得到是锐角三角形，故D项不正确. 故选：ABC. 38．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，则满足下列选项的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出角即可判断A；利用余弦定理求出即可判断B；利用正弦定理判断C、D. 【详解】对于A：因为，所以，故有唯一解，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理， 所以，故有唯一解，故B正确； 对于C：因为， 由正弦定理，即， 结合且知有解，则有解，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理，即， 结合，可得，故只能取锐角，所以有唯一解，故D正确． 故选：ABD 39．（23-24高一下·江苏徐州·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则b的取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，对于B，利用正弦定理求解判断，对于C，由正弦定理得，再由为锐角三角形，求出角，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，对于D，由题意得，两边平方化简，结合余弦定理和基本不等式可求得结果. 【详解】对于A，因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，即，得， 因为，所以或， 所以有两解，所以B错误， 对于C，由正弦定理得，即，得， 因为为锐角三角形，所以， 所以，得， 所以，得， 所以，即b取值范围是，所以C正确， 对于D，因为D为BC边上的中点，所以， 所以 ， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以AD的最大值为，所以D正确. 故选：ACD 40．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D．若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 【答案】ACD 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理由题意可得，对B：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对C：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】对于选项A：因为， 则，整理得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D： 由题意得， 即， 整理得，即， 可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 41．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】， ， 故答案为： 42．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 【答案】 【分析】根据已知角和三角形内角和为，求出对应三角形的内角，然后利用正弦定理分别求出的长度，最后利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 又因为，所以 在中，由正弦定理可得， 即， 所以. 故答案为：. 43．（24-25高一·江苏·假期作业）在中，已知且，则面积的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】设，可得的面积的表达式，再由余弦定理可得的表达式，进而可得三角形面积的最大值． 【详解】因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 44．（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，内角所对的边分别为，满足，是边的中点，，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先根据正弦定理边角互化，求得角，再根据面积关系求得，并根据余弦定理求得，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，， 即，则，， 所以，    因为点是中点，所以和的面积相等，设， 则，即， 中，根据余弦定理可知，， 则，， 中，. 故答案为： 45．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知锐角内角，，的对边分别为，，若，，则边上高的取值范围为 .. 【答案】 【分析】由三角形面积公式运用等面积法把边上高转化为，再由正弦定理和二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，结合角的范围和正弦函数的性质求出取值范围即可. 【详解】设边上高为， 由三角形的面积公式可得，即， 解得， 又由正弦定理可得，其中为外接圆半径， 所以， 所以， 又因为， 所以， 展开化简可得， 因为为锐角三角形， 所以， 所以，则， 所以， 所以边上高的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 46．（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由求出，由正弦定理得到答案； （2）由三角形面积公式得到方程，求出，由余弦定理得到. 【详解】（1），且， ， 由正弦定理得， 又， ； （2）， . 由余弦定理得：， . 47．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解； (2)根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再根据三角函数积化和差，由角的取值范围可求得. 【详解】（1）因为，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以解之得：， 因为，由正弦定理得：， 所以， 所以 因为，所以， 所以，则的取值范围为 48．（23-24高一下·江苏南京·期中）“无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约平方千米，平均海拔米，拥有天池、无想湖等多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形，并规划百米，百米. (1)设计师发现无论多长，为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值； (2)为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值. 【答案】(1)答案见解析，定值为1 (2)当时，才能使人工湖的面积最大，最大值为 【分析】（1）利用余弦定理进行边角转化进行求解即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形面积之和，得到，在这两个三角形中，利用公共边用余弦定理表示，得到，对两个式子进行平方后相加，根据同角的三角函数关系式，结合两角和的余弦公式，得到，最后利用余弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1） 始终为定值； （2）， ， ， ， ， ， 、， 当时，， . 49．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．D，E分别为边上的两点，且． (1)证明：； (2)若，当取最大值时，求面积； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接由余弦定理角化边即可得解； （2）由余弦定理、基本不等式求得当取最大值时，，，结合、平方关系以及三角形面积公式即可得解； （3）由题意，，在三角形、三角形、三角形以及三角形中，运用正弦定理，再结合（1）中结论即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 即； （2），等号成立当且仅当， 当取最大值时，，， 而，所以， 而， 所以面积为； （3） 因为，所以， 设，， 在三角形中，由正弦定理有， 同理在三角形中，由正弦定理有， 在三角形中，由正弦定理有， 在三角形中，由正弦定理有， . 50．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1). (2)①；② 【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可； （2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$