第6章 变量之间的关系（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第6章 变量之间的关系（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．（3分）要画一个面积为20cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为（　　） A．常量为20，变量为x，y B．常量为20、y，变量为x C．常量为20、x，变量为y D．常量为x、y，变量为20 3．（3分）如图1，长方形ABCD中，动点P从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为x s，△BCP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线AC长为（　　） A．48cm B． C．21cm D． 4．（3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）端午假期，小明早晨从家里出发出门晨练，他没有间断的匀速跑了30min后回到家．已知小明在整个晨练途中，他出发后tmin时，他所在的位置与家的距离为skm，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB﹣BC所示．则下列图形中可大致表示小明晨练的路线的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度h（米）随飞行时间t（秒）的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0～5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为 　 　米． 10．（3分）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗0.5厘米，铁环间处于最大限度的拉伸状态．设x个铁环长为y厘米，则y与x之间的关系式为 　 　． 11．（3分）某车间欲生产300个相同的零件，每名工人每小时可做15个零件，则完成任务所需的时间y关于工人人数x的函数解析式为 　 　． 12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿B→A→D→C方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，矩形ABCD的面积为 　 　． 13．（3分）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 　 　秒恰好将水槽注满． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用y＝6x来表示． （1）上述关系中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）上述关系用表格表示如表，请补充填空： x/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y/元 3 6 　 　 12 15 　 　 … （3）48元能买多少千克樱桃？ 15．（7分）如图1，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点P是线段AB上任意一点（点P不与点D重合），设AP的长为x，△CDP的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示． （1）请直接写出AD，BD，CD的长； （2）随着点P的运动，请分段求y与x之间的关系式． 16．（8分）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）． （1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式； （2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式． 17．（8分）下面的图象记录了某地1月份某一天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题． （1）20时的温度是　 　℃，最暖和的时刻是　 　时，温度是0℃的时刻是　 　时，温度在﹣3℃以下的持续时间约为　 　h； （2） 在什么时间段，气温不断上升？在什么时间段，气温不断下降？ 18．（9分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表： x（kg） 0 1 2 3 4 5 … y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 … （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）不挂物体时弹簧的长度是多少？挂质量为3kg的物体时弹簧的长度是多少？ （3）弹簧的长度是15.25cm时，所挂物体的质量是多少？ 19．（12分）阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数y＝2x的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①y＝2x的图象是经过原点的一条直线；②y＝2x的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数y＝2x的经验，对新函数y＝|2x|的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y＝|2x| … 0 2 4 6 … ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象． （1）请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； （2）根据小文的探索过程，类比研究y＝2x图象时得到的结论，写出函数y＝|2x|图象的一个结论． 20．（12分）若自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面类比学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． （1）列表：请完成表格． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 2 1 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． 连线：如图，请在坐标系中描出该函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点A（﹣5，y1），，，D（x2，3）在函数图象上，则y1　 　y2，x1　 　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值y＝2时，求自变量x的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 变量之间的关系（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：C． 2．（3分）要画一个面积为20cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为（　　） A．常量为20，变量为x，y B．常量为20、y，变量为x C．常量为20、x，变量为y D．常量为x、y，变量为20 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：由题意，得 xy＝20． 常量为20，变量为x，y， 故选：A． 3．（3分）如图1，长方形ABCD中，动点P从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为x s，△BCP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线AC长为（　　） A．48cm B． C．21cm D． 【分析】通过图2知，CD段，对应的函数是一次函数，此时CD＝6，而在DA段，△BCE的面积不变，故DA＝2×（8﹣3）＝10，再由勾股定理求解． 【详解】解：由图象知， CD＝2×3＝6，DA＝2×（8﹣3）＝10， ∴AC2（cm）， 故选：B． 4．（3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米， ∴甲步行的速度为240÷4＝60（米/分），故①正确； 由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16﹣4＝12（分钟）追上甲，故③错误； ∴乙的速度为16×60÷12＝80（米/分）， 则乙走完全程的时间为2400÷80＝30（分），故②错误； 当乙到达终点时，甲步行了60×（30+4）＝2040（米）， ∴甲离终点还有2400﹣2040＝360（米），故④正确； 综上，正确的结论有①④． 故选：B． 5．（3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选B． 故选：B． 6．（3分）端午假期，小明早晨从家里出发出门晨练，他没有间断的匀速跑了30min后回到家．已知小明在整个晨练途中，他出发后tmin时，他所在的位置与家的距离为skm，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB﹣BC所示．则下列图形中可大致表示小明晨练的路线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】应根据每个时间段小明所在的位置与家的距离变化情况，进行思考． 【详解】解：根据图象知：OA段，s随时间t的增大而增大，因而所在的位置与家的距离增大；AB段距离不变，说明这段所走的路线与家的距离不变，即路线是以家为圆心的圆；BC段，s随时间t的增大而减小，因而所在的位置与家的距离减小． 故选：B． 7．（3分）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案； 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯60℃的热水中，温度计的度数与时间的关系，图象是C； 故选：C． 8．（3分）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度h（米）随飞行时间t（秒）的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0～5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为 　8　米． 【分析】根据函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即可得出答案． 【详解】解：观察图象，当t＝3时，最高点h＝13， 当t＝0或t＝2时，最低点h＝5， ∴最高高度与最低高度的差为13﹣5＝8（m）， 故答案为：8． 10．（3分）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗0.5厘米，铁环间处于最大限度的拉伸状态．设x个铁环长为y厘米，则y与x之间的关系式为 　y＝3x+1　． 【分析】根据铁环与环长之间的关系进而得出y与x之间的关系式． 【详解】解：由题意得：y＝4x﹣2×0.5（x﹣1）＝3x+1， 故答案为：y＝3x+1． 11．（3分）某车间欲生产300个相同的零件，每名工人每小时可做15个零件，则完成任务所需的时间y关于工人人数x的函数解析式为 　　． 【分析】根据等量关系“x个工人所需时间＝工作总量÷x个工人工效”即可列出解析式． 【详解】解：由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间函数解析式为y＝300÷15x， 故答案为：． 12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿B→A→D→C方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，矩形ABCD的面积为 　12　． 【分析】根据函数图象可得，当x＝3时，点E运动到点A，x的值在3～7之间时，点E从点A运动到点D，可得AB＝3，AD＝4，即可求解． 【详解】解：由图可得，当x＝3时，点E运动到点A， ∴AB＝3， ∵x的值在3～7之间时，点E从点A运动到点D， ∴AD＝7﹣3＝4， ∴矩形ABCD的面积为3×4＝12， 故答案为：12． 13．（3分）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 　4　秒恰好将水槽注满． 【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将正方体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满． 【详解】解：由图形可知， 圆柱体的高是20cm，正方体铁块的高是10cm，圆柱体一半注满水需要28﹣12＝16（秒）， 故如果将正方体铁块取出，又经过16﹣12＝4（秒）恰好将水槽注满， 故答案为：4． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用y＝6x来表示． （1）上述关系中，　x　是自变量，　y　是因变量； （2）上述关系用表格表示如表，请补充填空： x/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y/元 3 6 　9　 12 15 　18　 … （3）48元能买多少千克樱桃？ 【分析】（1）运用函数的自变量和因变量的定义进行求解； （2）运用采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用y＝6x进行代入求解； （3）根据题意解方程6x＝48进行求解． 【详解】解：（1）由题意得，x是自变量，y是因变量， 故答案为：x，y； （2）由题意得， 当x＝1.5时，y＝6×1.5＝9； 当x＝3时，y＝6×3＝18， 故答案为：9，18； （3）由题意得6x＝48， 解得x＝8， ∴48元能买8千克樱桃． 15．（7分）如图1，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点P是线段AB上任意一点（点P不与点D重合），设AP的长为x，△CDP的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示． （1）请直接写出AD，BD，CD的长； （2）随着点P的运动，请分段求y与x之间的关系式． 【分析】（1）根据图2中（6，0）可得AD的长6，（10，0）可得AB的长为10，进而可得BD的长为4；当点P在点A处时，AP＝0，此时△CDP的面积为12，把相关数值代入可得CD的长； （2）根据S△CPD•PD•CD，分别求出当0＜x＜6时，当6＜x≤10时，y用x表示的函数关系即可． 【详解】解：（1）由图2可得：当AP＝6时，△CDP的面积为0，此时点P运动到点D． ∴AD＝6． ∵当点P运动到点B时，停止运动，此时AP＝10， ∴AB＝10． ∴BD＝4． 当点P在点A处时，△CDP的面积为12． ∴AD•CD＝12． ∴6•CD＝12． 解得：CD＝4． 答：AD长6，BD长4，CD长4； （2）①当0＜x＜6时，如图1． S△CPD•PD•CD． ∴y（6﹣x）•4＝﹣2x+12； ②当6＜x≤10时， S△CPD•PD•CD． ∴y（x﹣6）•4＝2x﹣12． 16．（8分）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）． （1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式； （2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式． 【分析】设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元） （1）因为每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；所以未超出7立方米时：y＝x×（1+0.2）；（2）超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，超出7立方米时：y＝7×1.2+（x﹣7）×（1.5+0.4） 【详解】解：（1）未超出7立方米时：y＝x×（1+0.2）＝1.2x； （2）超出7立方米时：y＝7×1.2+（x﹣7）×（1.5+0.4）＝1.9x﹣4.9． 17．（8分）下面的图象记录了某地1月份某一天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题． （1）20时的温度是　﹣1　℃，最暖和的时刻是　14　时，温度是0℃的时刻是　12或18　时，温度在﹣3℃以下的持续时间约为　8.5　h； （2）在什么时间段，气温不断上升？在什么时间段，气温不断下降？ 【分析】（1）先由图象可知：横轴表示时间、纵轴表示温度；然后根据图象解答即可； （2）根据图象中温度随时间的变化规律进行判断即可． 【详解】解：（1）根据图象得：当时间为20时，温度是﹣1℃，最暖和的时刻是14时，温度是0℃的时刻是12时和18时，温度在﹣3℃以下的持续时间约为8.5h； （2）在4～14时，气温不断上升；在0～4时或14～24时，气温不断下降． 18．（9分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表： x（kg） 0 1 2 3 4 5 … y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 … （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）不挂物体时弹簧的长度是多少？挂质量为3kg的物体时弹簧的长度是多少？ （3）弹簧的长度是15.25cm时，所挂物体的质量是多少？ 【分析】（1）根据表中的数据特征即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）直接根据表中的数据特征回答即可； （3）根据表中的数据可知质量每增加1kg，弹簧伸长0.5cm，即可得到y与x的关系式，把y＝15.25代入关系式求解即可． 【详解】解：（1）表中反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧长度； （2）根据表格中的数据可知：不挂物体时弹簧的长度是12cm；挂质量为3kg的物体时弹簧的长度是13.5cm； （3）根据表格中的数据可知：质量每增加1kg，弹簧伸长0.5cm，则y与x的关系式为y＝12+0.5x， 把y＝15.25代入y＝12+0.5x得：15.25＝12+0.5x， 解得：x＝6.5， 答：弹簧的长度是15.25cm时，所挂物体的质量是6.5kg． 19．（12分）阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数y＝2x的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①y＝2x的图象是经过原点的一条直线；②y＝2x的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数y＝2x的经验，对新函数y＝|2x|的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y＝|2x| … 0 2 4 6 … ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象． （1）请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； （2）根据小文的探索过程，类比研究y＝2x图象时得到的结论，写出函数y＝|2x|图象的一个结论． 【分析】（1）将﹣1，﹣2，﹣3，代入求解，描点连线即可求解； （2）本题考查函数的性质及作函数图象，根据（1）中的图象直接找到函数规律，即可求解． 【详解】解：（1）当x＝﹣1时，y＝|2×（﹣1）|＝2， 当x＝﹣2时，y＝|2×（﹣2）|＝4， 当x＝﹣3时，y＝|2×（﹣3）|＝6， x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y＝|2x| … 6 4 2 0 2 4 6 … 描点， （2）①y＝|2x|的图象是以原点为公共端点的两条射线； ②y＝|2x|的图象经过坐标系的第一、二象限； ③y＝|2x|的图象关于y轴对称； ④y＝|2x|的图象的最低点是（0，0）． 20．（12分）若自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面类比学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． （1）列表：请完成表格． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 2 1 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． 连线：如图，请在坐标系中描出该函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点A（﹣5，y1），，，D（x2，3）在函数图象上，则y1　＜　y2，x1　＜　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值y＝2时，求自变量x的值． 【分析】（1）列表：将x的值代入对应函数计算即可； 描点、连线：根据表格中的数据描点并连线即可； （2）①根据函数的增减性判断即可； ②分别讨论当x≤﹣1、x≥1时，将y＝2代入对应函数并解方程即可． 【详解】解：（1）列表：当x＝﹣2时，y1；当x＝1时，y＝|1﹣1|＝0． 描点、连线如图： （2）①由图象可知，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大， ∵﹣51， ∴y1＜y2； 当x≥1时，y随x的增大而增大， ∵13， ∴x1＜x2． 故答案为：＜，＜． ②当x≤﹣1时，2， 解得x＝﹣1； 当x＞﹣1时，|x﹣1|＝2， 解得x＝3或x＝﹣1（舍去）， ∴x的值为﹣1或3． / 学科网（北京）股份有限公司 $$