河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一年级3月联考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知A(-2,3),B(1,-2),C(1,-1),则 A. C.5 2.已知向量a=(-2,3),b=(m,6),若a⊥b,则m= A.-9 B.-4 C.4 D.9 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 则b= C.4 4.在△ABC中,点D 在线段BC上,且 E是线段AB 的中点，则 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 则△ABC 的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定的 6.已知向量a=(2,6),b=(x,4),若a-b与b的夹角为锐角,则x的取值范围为 A.(-2,4) B.(-4,2) 7.三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形,其中AB⊥BC,AC⊥AD,AB=BC=2,AD=AC,若 则xy= 【高一数学 第1页(共4页)】 8.若向量a,b 满足 且向量a与向量a+b的夹角为 ，则|b|的最小值是 A.2 B. C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列各组向量中，可以作基底的是 A. m=(3,-2),n=(4,1) B. m=(-2,3),n=(4,-6) C. m=(2,0),n=(0,3) D. m=(-1,3),n=(-2,6) 10.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感.已知△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，BC=4，分别以AB，AC为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，P是两个半圆弧上的动点，则 的值可能是 A.-4 B.1 C.8 D.18 11.在Rt△ABC 中,斜边 AC=2,△ABC 所在平面内的动点 P 满足 且 则 的取值范围为(0，4) B.动点 P 的运动轨迹是一条射线 C.动点 P 的运动轨迹经过△ABC 的重心 的取值范围为[1，+∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个物体在力F=(-2,4)的作用下,从点A(1,3)移动到点 B(4,7),则F对该物体所做的功的大小为 ▲ . 13.如图，A，B，C三点位于同一水平面，A 位于B 的北偏西30°方向，C位于B 的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米. B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A 处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D 处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为 ▲ 米. 14.已知平面向量a,b,c满足|ca|=1,|b|=x,|c|=x+1,其中x≥2,且3a+b+c=0,则a·c的最大值是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知向量a，b满足 (1)若a与b同向,求a 的坐标; (2)若 求a 与b 的夹角. 【高一数学 第2页(共4页)】 16.(15分) 在 中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 (1)求C; (2)若 外接圆的半径为 求 的周长. 17.(15分) 如图， E是线段AD 的中点，过点E 的直线MN 交线段AB 于M，交线段AC 于N 其中 (1)用向量 表示 (2)证明: (3)若 且 求m,n的值. 【高一数学 第3页(共4页)】 18.(17分) 锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 (1)求A; (2)若a=3,求 面积的最大值； (3)若 求△ABC 周长的取值范围. 19.(17分) 定义：非零向量m=(a，b)的“特征三角函数”为 ，向量m称为函数f(x)的“特征向量”. (1)若 求f(x)的“特征向量”a的坐标； (2)设向量b=(3,-4)的“特征三角函数”为g(x),若关于x的方程. 在[0,π]上有两个不同的实根，求k 的取值范围； (3)设向量n=(a,a)的“特征三角函数”为φ(x),若函数. 的最小值不小于-2，求a 的取值范围. 【高一数学 第4页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 $$高一年级3月联考 数学参考答案 1.C因为A(-2,3),C(1,-1),所以AC=(3,-4),则1AB+BC=|AC1=√32+(-4=5. 2.D由题意可得-2m十3×6=0，解得m=9. 3.B由余弦定理可得62=a2+c2-2 accos B=4+9-2X2X3×=10,则6=√而。 4.A因为BC=4BD,所以BD=}BC-A心-}A店，则D呢=B配-励=-2A店-AC +A店=-AC-A 5c国为密A+密是-号曾R+曲-吕所以+老号生-吕 0=其，主=9，所以6=5ac=令2 设a=5k(k>0),则b=6k,c=4k,则a2+c2-b2=5k2>0,所以△ABC是锐角三角形. 6.C因为a=(2,6),b=(x,4),所以a一b=(2x,2).又a一b与b的夹角为锐角，所以(a一 。b>0,且-6与b不共线则计 0,解得-2<<4，且x≠号 7.B以B为坐标原点，BC,BA的方向分别为xy轴的正方向，建立如图所示1 的直角坐标系.作DF⊥AB,交BA的延长线于点F,由题中数据可得A(O, 2),B(0,0),C(2,0),D(2,4),则BD=(2,4),AC=(2,-2),AD=(2,2).因 为BD=xAC+yAD,所以(2,4)=(2x+2y,-2x+2y),则 2x+2y=2, -2x+2y=4, x=-1 解得 4 8.A如图，设AB=a,BC=b,则AC=a+b,∠BAC=于 过B作BD⊥AC,垂足为D,则|BC1=Bi1=2W2Xsin于=2，即 b|的最小值是2. 9.AC对于A,因为m=(3,一2)，n=(4,1),所以m,n不平行，则向量m,n可以作基底，故A 符合题意.对于B,因为m=(一2,3)，n=(4,一6)，所以m,n平行，则向量m,n不可以作基 底，故B不符合题意.对于C,因为m=(2,0),n=(0,3),所以m,n不平行，则向量m,n可以 作基底，故C符合题意.对于D,因为m=(一1,3)，n=(一2,6)，所以m,n平行，则向量m,n 不可以作基底，故D不符合题意. 10.BC如图，设AB,AC的中点分别为O1,O2,作O2D∥BC,D在半圆O2的圆弧上，作DE⊥ 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 ·A1· BC,交BC的延长线于点E,则BE=3十√2，故B驴· BC的最大值为12+42.作OM∥BC,M在半圆O, 的圆弧上，作MN⊥BC,交CB的延长线于点N,则BN D =2-1,故B驴.B武的最小值为4-42.综上，B萨， N B C E BC的取值范围为[4-42,12+4V2]. 1.ABD由题可知，∠ABC=2,则A·AC=AB=|AB13,因为斜边AC=2,所以0<AB <2,从而P∈0，，A正确记AC的中点为D,则市-号.由市-2花- amo店得市--aa应因为心。-ma=1管2=1，且心。∈1. cos2a cos2a 十o∞)，一tan2a∈（一o∞，0]，所以B,D,P三点共线，且点P在BD的延长线上，故B,D正 确，C不正确 12.10因为A(1,3),B(4,7),所以AB=(3,4),则F对该物体所做的功的大小为F·AB= -2×3+4×4=10. 13.25因为A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且 A,C之间的距离为50米，所以BC=253米.又从A处观察塔尖E,测得仰角为45°，所以 CE=50米.过D作CE的垂线，垂足为F(图略)，则DF=BC=25√3米，∠EDF=30°，则 EF=25米，从而楼房的高度为50一25=25米. 14.- ·由题可知3a十c=一b,两边平方得9a2+6a·c+c2=b2,则6a·c=x2-9-(x+ 1=-2x-10≤-2X2-10=-14,当x=2时a·e取得最大值-台=-子 6 15.解：(1)因为b=(5,一3)，所以|b=√3+9=2√5.…2分 因为向量a与6同向，所以a=,且太-日-停， …4分 则a-号×，-3》=1，-月. …6分 (2)因为a-2b|=2√7，所以(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=28.…7分 因为la|=2,|b|=2√3，所以a2-4a·b+4b2=4-4a·b+4×12=28,所以a·b=6.… …9分 因为a·b=a1b1cosa,b,所以cosa,b)=aib-2X25 a·b 6 3 2 …11分 又a,b)∈[0，]，所以向量a与b的夹角为后 …13分 16.解：1)因为asnB=osA,所以oSAB …1分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 ·A1 由正弦定理可知A-品B所以sinA=60sA.,则anA=1.…3分 因为0<A<,所以A=平 …4分 因为sin2A=2cosC,所以2cosC=1,所以cosC= 2 6分 因为0<C<x,所以C= 31 …7分 (2由正弦定理可知品ABc=2R,则a=2RsnA,6=2 Rsin B,c=2 RsinC. …8分 由1)可知A=子，所以s如A-号，所以a=2RnA-2E×号=2 …9分 由1)可知C=号，所以mC-号.所以c=2RnC=22×号-6。 …10分 因为A+B+C=x,所以simB=in(A+C)=号x号+×E_E+6 2 2 2 …12分 2 4 则6=2RinB=22X2+6=1十5，…13分 4 故△ABC的周长为a十b十c=2+1+3+6=3+3+6.…15分 17.1)解：因为BC=3BD,所以B币=号BC=3(AC-A), …1分 则=+筋=号+号花 …2分 因为E是线段AD的中点，所以A花=2A=号A+AC …3分 (2)证明：因为M,E,N三点共线，所以AE=kAM+(1-k)AN. …5分 因为AM=mAB,AN=nAC,所以AE=kmAB+(1-k)nAC. …6分 由1)可知A应=}A店+A心， km=， …7分 1-k)m=6, 所以长==1一品所以m十2a=6mm 9分 (3)解：因为AM=mAB,AN=nAC,所以MN=AN-AM=nAC-mA克.…10分 由(1)可知A应=A店+AC,所以A范.M=(号A店+AC)·(mAC-mA.… 11分 因为1AB1=3,AC1=6,AB⊥AC,且AE.MN=0,所以AE.M=6n-3m=0.… …13分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 ·A1· 6n-3m=0, 1 由(2)可知m十2m=6mn,联立 m+2n=6mn 解得m= 3,n 3· …15分 18.解：1)由sin Bcos C+-sin CcosB=-tan Atan Btan C-3, cos Bcos C 得tanB+tanC=tan Atan Btan C-√5.… 2分 因为amA=-tan(B+C)三一品0C, 4分 所以tanB十tanC=tan Atan Btan C-tanA,…5分 所以tanA=5,则A= ，…6分 (2)由余弦定理知，a2=b2十c2-2 bccos A=b2十c2-bc≥bc,…7分 当且仅当b=C时，等号成立.…8分 因为a=3,所以bc≤9， .a 9分 故△ABC的面积S-方k如A≤号X9X停-99 9√3 ，即△ABC面积的最大值为 404040 4…10分 (3)由正弦定理知nAsin B一snC写 a b =2,…11分 3 所以b=2sinB,c=2sinC,则△ABC的周长为a十b+c=√3+2(sinB+sinC).… …12分 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C-+cosAsin C=Y5。 2cos○+sinC,·……-·13分 所以mB+nC=号血c+号sc-5mc+》】 …14分 b<B=号-c<受 因为△ABC为锐角三角形，所以 …15分 0<c<, 解得晋<C<受，从而晋<C+答<行，则sm(c+若）∈(5,1小， …16分 故△ABC周长的取值范围为(3十5,33].…17分 19.解：(1)由题意可得f(x)=sinx十√3cosx+2√3cosx+2sinx=3sinx+3W3cosx, …2分 则f(x)的“特征向量”a=(3,3√3).…3分 (2)由题意可得g(x)=3sinx-4cosx=5sin(x-0),其中sin0=号(0<0<受). …4分 因为关于x的方程g(x)十k=0在[0，π]上有两个不同的实根，所以关于x的方程一k 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 ·A1· g(x)在[0，π]上有两个不同的实根. …5分 当x∈[0，]时，g(x)在[0，乏+0）)上单调递增，在[+0，]上单调递减.…6分 因为g(0)=-4,g(5+0）=5,g(x)=4, 7分 所以4≤一k<5,即一5<k≤-4.… …9分 (3)由题意可得h(x)=asin x十acos x+sin2x. 设t=sinx+cosx=2sim(x+）∈[-厄W2], 则sin2x=t2-1,所以G(t)=t2+at-1(-√2≤t≤2).…10分 当-号<一厄，即a>≥22时，G)在[-厄2]上单调递增， 则G0)-6(-一2)=-一a+12-2解得a<号。 因为a≥2√2，所以a∈；…12分 当-厄<-<2，即-22<a<22时，G()在[-巨，-2]上单调递减，在(-号巨] 上单调递增， 则G0)m=G(-号）=--12-2，解得-2a<2…14分 当-2≥2，即a≤-22时，G)在[-2v]上单调递减， 则G(t)n=G(2)=√2a+1≥-2，解得a≥ 32 2 因为a≤一2√2，所以a∈心.… …16分 综上，a的取值范围是[一2,2]. 17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】