精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高一下学期3月调研数学试题

2025年延安中学高一年级3月调研 一、填空题（每小题3分，共42分） 1. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根号下的数非负以及分母不为0，两个原则，即可求函数定义域. 【详解】且，得且，则函数定义域为 故答案为： 2. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】设坐标原点为， 由题意可得：， 故. 故答案为：. 3. 已知，，那么第______象限角 【答案】四 【解析】 【分析】根据正切和余弦的正负得到为第四象限角. 【详解】，则为第二或第四象限角， ，则为第一或第四象限角，综上，为第四象限角. 故答案为：四 4. 扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】根据扇形的面积公式得，． 故答案为：4 5. 方程，的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用可得，，结合角的范围即可求解 【详解】由，得，， 又由得或， 方程，的解集是 故答案为： 6. 已知角是第四象限角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求. 【详解】因为，角是第四象限角， 所以，又， 所以， 又，所以. 故答案为：. 7. 已知，，用，表示______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知直接利用对数的运算性质以及换底公式求解. 【详解】因为，，， ， 所以，， . 故答案为：. 8. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由即可求解； 【详解】， 故答案为： 9. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式，由是的充分不必要条件，可得，列出不等式组，求解即可 【详解】 记 由是的充分不必要条件，可得，且 故，且等号不同时成立，解得 故答案为： 10. 已知，则的最小值为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】分，和分类讨论，结合函数单调性求出最小值. 【详解】当时，令， 当时，， 当时，单调递减，最小值为， 综上，的最小值为-3. 故答案为：-3 11. 若是的内角，且，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求得，即可求出. 【详解】由题意知，，即， ∴， 又，∴. 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，属基础题． 12. 若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意在数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的方程在实数范围内有解， 即在实数范围内有解，令，， 则问题转化为与有交点， 因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以， 则. 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，a）、C（a，0）（），OABC是正方形.函数与线段交于点，函数与线段交于点.当最小时，a的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，表示出，利用基本不等式求出最值，即可求解. 【详解】因为、（），是正方形，函数与线段BC交于点P， 所以. 因为函数与线段交于点，所以. 因为，所以=（当且仅当，即时“=”成立）. 所以当时最小. 故答案为：. 14. 已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，对两根的来源进行分析，对分类讨论，分别求出对应的范围. 【详解】当时，令可得：或，均无解，不符合题意； 当时，令可得：或 若，由解得：符合题意. 因为函数恰有两个零点，所以只有一解， 所以符合题意，此时. 即. 若或时，无解； 要使函数恰有两个零点，则有两解， 所以需，解得：. 综上所述：. 所以a的取值范围是. 故答案为： 二．选择题（每小题3分，共12分） 15. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数单调性判断D. 【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，则， 当时，，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在R上单调递增，则成立， 故选：C 16. 角是第四象限角，其终边与单位圆交点，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆焦点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解. 【详解】解：由题意知：， 则， ， 所以角终边与单位圆焦点的坐标为， 故选：B 17. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 18. 函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列5个结论： ①函数的定义域为； ②； ③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ⑤方程有四个不同的实根； 其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用数形结合判断⑤. 【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误； 对于②，，，②正确； 对于③，，，， 不关于直线对称，③错误； 对于④，当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述：当时，，④正确； 对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象， 由图象可知与有四个不同交点， 方程有四个不同的根，⑤正确. 所以正确的个数为3. 故选：B. 三．解答题（共46分） 19. 已知全集为，集合，，求. 【答案】或 【解析】 【分析】根据指数函数的性质及一元二次不等式的解法求出集合，根据绝对值不等式的解法求出集合，进而根据补集及交集的定义求解即可. 【详解】由，则， 则或，解得或，即或， 由，则或， 解得或，即或， 则，所以或. 20. 已知，求下列各式值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)两角和正切展开求解. (2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 又 21. 已知函数； （1）判断函数的奇偶性，并按定义证明： （2）判断函数，的单调性，并按定义证明； 【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析 （2）函数在减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据函数奇偶性的定义即可证明； （2）根据单调函数的定义即可证明. 【小问1详解】 函数为奇函数， 由，所以函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数； 【小问2详解】 函数在为减函数， 对任意的，且， ， 因为，在上为增函数， 所以，， 所以， 所以函数在为减函数. 22. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和． （1）求k的值，并写出函数的表达式； （2）求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x． 【答案】（1），()； （2）38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米. 【解析】 【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k值，进而写出函数的表达式. (2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x值. 【小问1详解】 依题意，当时，，解得， 于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，， 所以，函数的表达式为，. 【小问2详解】 由(1)知，，， 当且仅当，即时取“=”， 所以y的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米. 23. 已知，； （1）当时，解方程； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案. （3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得. 根据题意得出，即任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围. 【小问1详解】 当a＝1时，不等式化为， ∴，且， ∴，解得或（舍去）； 【小问2详解】 由，得， 即，所以， 当时，则，解得，经过验证此时满足题意； 当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意； ②若时，方程有两不等实根， 设为，显然， 由，得，因为，所以， 即 所以都满足，所以此时不满足题意. 综上可得或； 【小问3详解】 因为对任意，函数在区间上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以，所以， 即任意恒成立， 令 当时，， 当时，，矛盾； 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，且最大值为， 所以当时不满足. 当时，对任意恒成立， 有以下三种情况： ①，解得，结合得. ②，由得 ，而，故此情况无解. ③，解得，此时无解. 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年延安中学高一年级3月调研 一、填空题（每小题3分，共42分） 1. 函数的定义域为______． 2. 已知角的终边经过点，则__________． 3. 已知，，那么是第______象限角 4. 扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________. 5. 方程，的解集是___________ 6. 已知角是第四象限角，且，则______． 7. 已知，，用，表示______． 8. 若，则______． 9. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 10. 已知，则的最小值为______． 11. 若是的内角，且，则等于______. 12. 若关于方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，a）、C（a，0）（），OABC是正方形.函数与线段交于点，函数与线段交于点.当最小时，a的取值为______. 14. 已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是__________． 二．选择题（每小题3分，共12分） 15. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 角是第四象限角，其终边与单位圆交点，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆焦点的坐标为（ ） A. B. C. D. 17. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 18. 函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称“囧函数”，下列5个结论： ①函数的定义域为； ②； ③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ⑤方程有四个不同的实根； 其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 三．解答题（共46分） 19. 已知全集为，集合，，求. 20. 已知，求下列各式值： （1）； （2）． 21. 已知函数； （1）判断函数的奇偶性，并按定义证明： （2）判断函数，的单调性，并按定义证明； 22. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和． （1）求k值，并写出函数的表达式； （2）求y最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x． 23. 已知，； （1）当时，解方程； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$