第19章 小专题14 特殊平行四边形中的折叠与最值问题-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（华东师大版 2012）

小专题14特殊平行四边形中的折叠与最值问题 类型1折叠问题 针对训练 【例1】(2024·开封杞 1.(2024·开封期末)把一个矩形纸带按如图所示 县期末)如图，在矩形ABCD 的方式折叠，MN为折痕，AM与CN交于点P. 中，AB=3,BC=9,将矩形折 若∠PMN=64°，则∠APC的度数为 叠，使点C与点A重合，点D 落在点G处，折痕为EF,则AE .EF= 【思路点拨】由折叠可知，∠CEF= ∠AEF,CE=AE,设AE=CE=x,则BE= 第1题图 第2题图 BC-CE=9一x.在R1△ABE中，根据勾股定理 2.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB 即可求出AE的长：过点E作EH⊥AD于点H, 沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将 在Rt△EFH中，根据勾股定理即可求出EF的长 边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N 【例2】(2022·河南改编)如图，对折矩形 纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF, 处，易证四边形AECF是平行四边形.若四边 把纸片展平：再次折叠纸片，使点A的对应点N 形AECF是菱形，则∠BAE的度数是 落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM, 3.(2024·南阳桐柏县期末)如图所示，有一张 同时得到线段BN,MN.请猜想∠MBN的度数 矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.现折叠该 是多少，并证明你的结论 纸片，使得边AD与对角线DB重合，折痕为 D DG,点A落在点F处，则AG= AO 第3题图 第4题图 4.(2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正 厅活指月+小++++小+ 方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标 与折叠有关的常用性质： 为（一2,0），点E在边CD上.将△BCE沿BE折 (1)折叠问题的本质是全等变换，折叠 叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6)，则 前的部分与折叠后的部分是全等形： 点E的坐标为 (2)折痕可看作垂直平分线（互相重合 5.(2023·周口太康县期末)如 的两点之间的连线被折痕垂直平分)： 图，在矩形ABCD中，AB= (3)折痕可以看作角平分线（对称线段 6,BC=8,E是边BC上的一 所在的直线与折痕的夹角相等). 点，连结AE,将△ABE沿 常用方法：找到或构造直角三角形，运 AE折叠，使点B落在点B'处.当△CEB'为直 用勾股定理列方程求解。 角三角形时，CE的长为 名校置 90 6.(2023·漯河舞阳市期末)如图，在矩形 的长，即求出了PF+PE的最小值. ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折 D 叠，使点B落在点B'处，则重叠部分△AFC 的面积为 A.12 B.10 C.8 D.6 + 厅法指身 7.(2024·开封期末)如图，在平面直角坐标系 求线段和的最小值时，若已知的两点在 中，矩形OACB的边OB在x轴上，OA在y 动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作 轴上，顶点C的坐标是（一3,4），将矩形沿对 对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一 点与这个对称点连结，则其与直线的交点即 角线AB进行翻折，使点C落在点P的位置， 为所求动点的位置，所连结的线段长即为 BP交y轴于点Q,则点Q的坐标是() 所求最小值 针对训练 8.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2.若P为对角线BD上一动点，则EP+ FP的最小值为 A.1 A0, B.(0,25 B.2 C.3 7 C.(0,8 D.(0. D.4 9.如图，在矩形ABCD的边AD上找一点P,使 类型2最值问题 得点P到B,C两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 处. 【例3】如图，正方形ABCD的边长为4，E D 为BC上的一点，BE=1,F为AB的中点，P为 AC上的一个动点，求PF+PE的最小值 【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作，点 第9题图 第10题图 E关于AC的对称，点E',连结FE,交AC于点 10.(2023·周口沈丘县期未)如图，在矩形 P,则点P即为所求：(2)求EF的长：将EF放 ABCD中，AB=4,AD=6,点P在AD上， 到一个直角三角形中，利用勾股定理求出EF 点Q在BC上，且AP=CQ,连结CP,QD, 则PC+QD的最小值为 91 名校碳套+数华·人年撞∠AC+∠F=r,∠4E=∠U,△AG=△AD中 -m1.,在Nt,市，EF=2,=h”,F=P 第20童数据的整建与切步处建 ，A数为14 凸Ag8A0风国A 的量商期 A8E- 恶温 章末复习（》矩形，.壶形与正方形 1,解，说网学止E代级大心幽字绮城随为，鱼出丝处国1+血止色上 2Fa人 A4(如，丽：该风学途五次权实心雄脂平电晚情方(4 20,3数据的南散程度 ASA以AD=卫品四边和A元为平行霄边服.星U厂L且E, 号行得边每 1n1.2 全天久”2，铺目甲种要量，零的平的度密提 用计算福求方着 象Dn1小.DH.7 ，（啊An①.AD3自形ACD是平行再 1山.n新车湖平为年速，山-送+灯+中+中坦-经.3到于第/ 下期：% 凶+图+运+士+a士国+业-a<意， A.二标率RAEr中-A,C .O L00++ =无1C,i。C- 3,品4民，1甲种世料博生章C的食量比较限定， c271(143WNA1LA11.1 AP-E-L六AP-PF-AP√/-1 21州什前器平均数 【限■量】宁An-P限于·PF寸AC,W-& 针时雪 城塘的友装八年餐快塞家结的方表，牛上年想代我国单晓精程 ,公品，与正方修有关的儿个常考博位 平特数多了1中=么了，上时家容的甲烤整为幻奇实每平具数 1一2.713 得13加拔平均戴 5式，乙的 h风A5.0== AC,品周边琴 时的有的人纳资特学生平海答时的■频是？A污中面X花+ 章末复习五}种爆的蓝理与初多处理 :AB-n在△An和△AM电：B一六△AE 1 号+o×41D 多AD是方，品，AB=A A是，AE司 纠解得<教等：最家写 50aFA94i,,-0深.又A0=h,D表AF国 20.2蓝据的黑中趋转 ,∠=∠深，在△AO△中 是平行国迪、.8FLC,AFC图是形：号 国玉1中使数和众数 a含0E△WA.D IN A 路，1移，155,141,14核，1，则中D数为 期末复习一)分式 证代s上题查-正，陈销t∠B-.∠r (分钟1平脚量W方×412移+1+1转+明+140+1格+1好+ 【例】期：原成=（二 在△ABP和△ADE中， AAP=AE,∠A-∠E∠AF+∠4R=∠MR 1： 表.D1.n159C正它以行43 ,经检验，4=一于是程个细，期方程的解为4= 13.解11《2D×0+T+9+12十1+17×1++ 惊合与实成与特群草行四效形有美的探究赠 上亡司-子解得一品期隆需：4一是解方得的制且两会顺表 青核单夏a0,使面i-证.连情Aa,艾颗达甲Ak功是王意 =《时，L5=生答.周车的速度为1品m上 亚式得基 AB ∠EAR又AE=AE,+△A 1D13.4.5 -2 =青+ 4时：11)浸期关1特乙种衣帆界湘京万元，刚图买1特甲种家松其需 1AD8 注，解得一L经程验一4是现为 小专量14特殊军行四边形中的桥鱼与罩值闪题 等甲具 :直线是A的直相 / .∠DM4∠A D 1.D去D天A4 C EA AC T.D系DRA1B,AL1,1 ∠AM=∠AnN=3 -E,1AE,品E=ACT = 4以下，真时P可为明求的使PF千Pg的慎最小的点，：王方 .解C1平新为×满C2D1T中121419◆181+1744164p10 AE=主2H=AE一AH=一=在△H中DE =4