回顾与思考(4) 因式分解-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

回顾与思考（四） 因式分解 01考点针对练 (3)a2(a-b)3+b(b-a)3. 考点1因式分解的概念 1.(2023·济宁)下列各式从左到右的变形，因 式分解正确的是 A.(a+3)2=a2+6a+9 (4)(x2+6x)2+18(x2+6.x)+81. B.a2-4a+4=a(a-4)+4 C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) 考点2因式分解 2.2x3y2与12xy的公因式是 8.已知x=y+4,求代数式2x2-4xy+2y2一25 3.因式分解： 的值。 (1)(2024·枣庄)xy+2xy (2)(2024·赤峰)3ax2-3a= (3)2a3-12a2+18a= 4.若9-1D112-D=8×10×12,则k= 考点3因式分解的应用 9.新考向情境素材小南是一位密码编译爱 5.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式 好者，在他的密码手册中有这样一条信息： 分解的是 ( x-1,a一b,2,x2十1，a,x十1，分别对应下列 A.9x2-16y B.4x2-4x+1 六个字：数，爱，我，化，物，学.现将2a(x2 C.x2+zy+y2 D.9-3x+x2 1)一2b(x2一1)因式分解，结果呈现的密码信 6.(一8)2024+（一8）2025能被 整除( 息可能是 () A.3 B.5 C.7 D.9 A.我爱化 B.爱物化 7.把下列各式因式分解： C.我爱数学 D.物化数学 (1)m2-mn+4 10.(教材习题变式)学校有一块边长为13.2m 的正方形场地，准备在四个角各建一个边长 为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成 绿地，则购买130m2的草坪够不够铺满绿地？ (2)6(n-m)-12(m-n)2. 78 名陵深·数学·八年最下，西 11.阅读下面题目的解答过程： 13.【知识生成】对于一个图形，通过不同的方法 已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2c2 计算图形的面积可以得到一个数学等式，例 b仔2=a-b,试判断△ABC的形状」 如：由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2十 解：a2c2-bc2=a-b, 第一步 3ab十2b.请解答下列问题： ∴.c2(a2-b2)=(a2+b)(a2-b). 第二步 ∴.c2=a2+b 第三步 ∴△ABC是直角三角形. 白白 (1)上述解答过程，从第 步开始出现 错误 图1 图2 图3 (2)错误的原因为 (3)本题正确的结论为 02核心素养提升练 图4 12.如果一个正整数能表示成两个连续奇数的 (1)写出图2中所表示的数学等式 平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如： 8=32-12,16=52-32,24=72-52,…,因 此，8,16,24都是“智慧数”. (2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问 (1)28 “智慧数”，2024 “智 题：已知a十b十c=10,ab十bc十ac=32, 慧数”（填“是”或“不是”） 求a2十b2+c2的值. (2)设两个连续奇数为2k一1和2k十1（其中 (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方 k为正整数)，它们构造的“智慧数”是8 形，y张边长为b的正方形，之张宽，长分 的倍数吗？请说明理由」 别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为 (2a+b)(a十3b)长方形，则x十y+x= 【知识迁移】 (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可 以表示一些代数恒等式，图4表示的是 一个棱长为x的正方体挖去一个小长方 体后重新拼成一个新长方体，请根据图4 中图形的变化关系，写出一个数学等式： 名校详道 79 新课标·新情境·新题型·引领训练 D类型1开放性问题 类型3综合与实践 1.请你写出一个整式A,使得多项式x2十A能 4.【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式 因式分解，这个整式A可以是 为(a+b)2=a2+2ab+b,如果我们将(a-b) 写成[a十（一b)],就可以由两数和的完全平 2.从m2,2mn,n2这三个单项式中先选择两个或 方公式推导出两数差的完全平方公式.过程 三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出 如下：(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a· 一个这样的等式 (-b)+(-b)2=a2-2ab+b 【类比推理】(1)已知两数的立方和公式为a3+ 2类型2阅读理解题 b=(a+b)(a2一ab+b),请类比两数差的完 3.小明、小花和小青一起探究一个问题：将m十 全平方公式的推理过程，推导两数的立方差 4因式分解， 公式：a3-b=a3+(-b)3= 这个二项式既无公因式可提， 也 气不能直接用公式，怎么办呢？ 【应用公式】(2)因式分解： 该多项式属于平方和(m+2的形 ①x+x. 式， 要使用公式必须添加一项4m 随即将此项4m减去即可 ②x3-3x2y+3xy2-y3. 早在19世纪，法国数学家 【拓展提升】(3)如图，将八个完全相同的直角 苏菲·热门就发现了这个 奥秘，为了纪念他，人们 三角形拼成一个大正方形ABCD,设 把这个解法叫做“热门定 理” S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形NPQ= S.若S1+S2十S3=39. 小花根据大家的提示，整理出解答过程： ①S2= m十4=(m2)2十22=(m2)2+4m2+22 ②若该直角三角形的两条直角边长分别为a, 4m2=(m2+2)2-(2m)2=(m2+2+2m)(m2+ b,且S3=1,请先将代数式a3+2a2b+2ab+ 2-2m). 进行因式分解，然后求出该代数式的值. 请依照上述方法，将下列各式因式分解： (1)4x+1. (2)a+c4-7a2c2. 80 名深性数学1·八年最下，14.(1)-(4xy)(2x+y)(2)(x-y)(a+3)(a-3)15.acb 16.解：(1)原式=(x+3)(x-3),(2)原式=(m-2)(n十1)(m-1) 10:1)号-衣(2)12a+as-0- 2a(a+1) 1 3ab 3ab (3)原式=3(x+y)(x-y).(4)原式=(1+4a)(1+2ab)(1 -2ab). 4b+3c.(3) x2-9 xy十3y +32-3.(40aa a2-4 y(x+3) 17.解：(1)a2一b=(a十b)(a-b).(2)依题意，得a-2=12,.a2 (a-2)(a+2_a+2 、8=(a+0(a-60=12.:a-b=3,a+6=4.(3)原式=0. (a-2) a-2 11.x≠0且x≠512.D13.C14.B15.a<016.2 第2课时运用完全平方公式因式分解 17,解：(1)原式=一a2,当4=一2时，原式=一4，(2)原式= 1.D2.A3.D4.±45.D6.C7.(1)(a-1) (2)(2-3x) (3)(y-之产(4(ab-40 a8”而-多当a-后+2,6-后-2时，原式 (a+b) a4i"t 8.解：(1)原式=(2x一y).(2)原式=(m 5+2+8-2-2E-3 9.(1)2(x-1)(2)x(x-3) (4)3a(x-y) 3十2-√5+242 10.解：(1)原式=2a2(x十y).(2)原式=一(6-1). 18解：(1)C（2)m士3=”+=++元 4 m十 m十1 11,2x(或-2x或x)(填-个即可)12.D13.等边 14,解：(1)原式=(a十2b+1)(a+2b-1).(2)原式=-(x+1)(z m+1 十m打m一1+m有(3)曲(2)可得0子 (m+1)(m一1)+4 m+1 -1》2 m一1十 15.解：(1)x2-4x十3=x2-2×2x+21-2+3=(x-2)2-12=(x ：的值为整数，且m为整数，m十1一 1)(x-3).(2)有最小值.x2+2x+2=x2+2x+12一1°+2=(x+ 或1或-4或4或-2或2.∴.m=-2或0或-5或3或-3或1. 1)+1.(x+1)≥0，.(x十1)十1≥1.故当它取最小值时，x的 2分式的乘除法 值是一1 1.2n22.A 微专题6 【问题解决】(1)(x+1)(x+4)(2)(x一1)(x一5)(3)(x+8)(x 1格：0原式券芸 (2)原式=12a a-b' -1)(4)(x-9)(x+3)【拓展训练】(1)(2x+1)(x+1)(2)(x -1)(3x-2) 4解：原式一0子当网=1时，原式-吊一子 小专题9因式分解及其应用 1.解，(1)原式=(3x-y)(a一2b),(2)原式=(3a十b)(a-b) 5.B6.+ (3)原式-3a(a+3)(a-3).(4)原式--4(y+2), 2.解：(1)原式=6mn(2m十n)(2m-).(2)原式=(x一3) .解，1原式-12空.15兴-兰(2)原式- 4xy y ,(3)原式- (3)原式=(x-y)(x十y).(4)原式=(3y+2)'(y-2) -x'y. (5)原式=(a十b)(a+b十c). 2 22 3.解：(1)原式=246.(2)原式=4900.(3)原式=0. 8.解，原式=千2当x=1时，原式=中2= 回顾与思考（四）因式分解 9.解：：小拖拉机b天耕地nkm,大推拉机a天棕地mkm,,小推 1.C2.2xy3.(1)xy(x+2)(2)3a(x+1)(x-1) 拉机的工作效率是分，大拖拉机的工作效率是婴“？+云 (3)2a(a-3)34.105.B6.C b 7.解：(1)原式=(m-之n)”,(2)源式=6(n一m)(1一2m十2m). “大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的密倍。 (3)原式=(a-b)(a+b).(4)原式=(x+3)' 10.(1)2x23y 4工 9 2y2x一8立 11.A 8.解：x=y十4x一y=4,原式=7 9. 12.解：(1)原式=之，(2)原式=之. 10.解：铺设草坪的面积为13.2一4×3.4一(13.2十2×3.4)×(13.2 13,解：该同学的求解不正确，错在分式乘除混合运算的顺序没有按从 -2×3.4)=20×6.4=128(m).128<130,.购买130m的草 坪够铺满绿地。 左到右来正确的解答过程÷(x一·马=工“一‘ 11.(1)三(2)没有考虑a一6=0的情况(3)△ABC是等腰三角 无 形或直角三角形或等腰直角三角形 12.解：(1)不是是(2)是.理由：(2k+1)-(2k一1)=(2+1+2k “(x--2x+ 一1)(2k+1一2k+1)=4·2=8k..构造的“智慧数”是8的倍数。 13.解：(1)(a+6+c)=a++2+2ab+2bc+2ac(2):a+b+ 14.D15.36 c=10,ab+bc+ar=32,.10=a2+b+c2+2×32.∴.a2++c2 =100-64=36..a2+B+2的值为36.(3)12(4)x-x=x(x 16.解：D原式2x十(2)顺式=号 -1)(x+1) 50 新课标·新情境·新题型·引领训练 17.解：1)由题意得，甲筐水果的单价为z元，乙筐水果的单价 50 1,xy(答案不难一）2.m一2mn十=(m一n)(答案不唯一) 为元.(x-1)-(r-1)=-2x+2=-2(x-1),且x 3.解：1)原式=(22+1+2x)(2x2+1-2x).(2)原式=(a+2+ 50 50 3ac)(a+e2-3ae). 1心0<x-1<-1.心2答：乙筐水果的单价 4.解：(1)(a一b)(a十ab十b)(2)①原式=x(x十1)=x(x十1)(x 更.2”””·6-卫-答： 50 50 50 x十1).②原式=(x一y).(3)①13②原式=(a十b)(a十ab+ 50 ).:5,=1a-b=1.5=39-S,-5=25,∴a+b=5.联立 (解得8-2+26+2a+=a+6+a+ 高的单价是低的单价的倍。 6)-5×(32+3×2+22)-95. 3分式的加减法 第五章分式与分式方程 第1课时同分母分式的加减法 1认识分式 1.D2.B3.(1)1(2)2(3)m+3 第1课时认识分式 (2)原式=2.(3)原式=a+2b.(4)原式 1.D2.x≠43.C4.45.5 4解：1)原式-x广2 6解当1时=告=是当=2时 22告-5当=-1时尝-宁 5,解：原式=x,当x=√2时，原式=（√2）=2. 6.D7.A 7开m028A9D10.2(答案不唯-）1.(1)x>名 8解：原式=上一×(2)原式-于 (2)x<2且x012813.-1 9.解：原式=一1， 10.B11.B12.113. 第2课时分式的基本性质及约分 1.D2.D3.D4.(1)x2(2)3b(3)2x(4)x+y 14.解：原式三xy.当x=3十V2,y=3-√2时，原式=3+2-(3 5器@碧a)2驻W6B1D&A 5 √2)=22. 3z a-3 6 a-3+6=1 9.(1)(2)x-1(3)a+图 15.解：a)T-aa司十ag千a号合，2)曲正方形的面 a-3 积为9，得a=3,则T=子 S八下·参考答案47