精品解析：天津市宁河区芦台第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

芦台二中 2024—2025学年第二学期第一次阶段考试 高二年级数学试卷 选择题（本小题共9小题，每题4分，共36分） 1. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】根据分类加法计数原理得： 不同的选法共有（种）． 故选：A． 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的计算逐一判断即可. 【详解】，，，， 故选：C 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解. 【详解】因为， 又，则，所以，则， 故选：B. 5. 若函数满足，则的值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到，取带入计算得到答案. 【详解】，则， 则，故. 故选：C. 【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角. 【详解】因为，所以， 所以，所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线的倾斜角为. 故选：D. 7. 函数在上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 在上增，在上减 D. 在上减，在上增 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数判断其单调性 【详解】解：由，得， 所以在上为增函数， 故选：A 8. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示： 由函数图象可得. 故选：A. 9. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案． 【详解】解：由导函数的图象可知，当时， 当时，当时，当时， 所以在区间上单调递减，故①错误； 在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增， 在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误； 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的导数为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数公式计算即可. 【详解】 故答案为： 11. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法． 【答案】14 【解析】 【分析】根据分类加法原理以及分步乘法原理得出结果即可. 【详解】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种， 根据分类计数原理可得，共有6+8=14种， 故从甲地到丁地共有14条不同的路线． 故答案为：14 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据切点在切线上以及导数的几何意义求解即可. 【详解】由已知得，， . 故答案为：. 13. 的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再求的区间即可. 【详解】函数定义域为， ， 令， 即，解得： 的单调递减区间为. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 15. 已知函数的定义域为R，，则的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数并求导得出函数单调性，即可解得不等式的解集. 【详解】由可构造函数， 则可得，所以为单调递增函数， 又，所以等价于， 即，可得, 即的解集为. 故答案为： 三、解答题（共5个题，每题12，总计60分） 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求函数的极值； 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性求出函数的极值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． 17. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可； （2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果. 【小问1详解】 ，故可得， 由题可知：，， 即：，，解得； 经检验，当时，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1）可知：，，又， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极大值为，的极小值为，， 故在上的最大值为，最小值为. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在切点处的切线方程； （2）利用导数研究函数单调性，求最大值. 【小问1详解】 因为，故， 即切点坐标为， ， 故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为. 【小问2详解】 易得 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时，， 又时恒成立， 所以的最大值为. 19. 已知函数 （1）若在点处取得极值.求a的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，函数单调递增区间为， 当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为 【解析】 【分析】(1)由题意有即可求解，最后验证一下为极值点即可； (2)求导得，根据的情况分类讨论即可. 【小问1详解】 由题意有函数的定义域为， 所以，因为在点处取得极值， 所以有， 所以，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以为的极小值点，有. 【小问2详解】 由已知有：， 当时，，所以函数在为增函数， 当时，由有，有， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以当时，函数单调递增区间为， 当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为. 20. 已知函数 （1）当时，证明不等式： （2）当时，不等式对在任意恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）由，则，求导可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即. （2） 【解析】 【分析】（1）由导数与函数单调性的关系，求得最值，可得答案； （2）利用参变分离整理不等式，构造函数，根据导数求最值，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则，由，则， 要证在上恒成立， 只需证在上恒成立， 令，求导可得， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芦台二中 2024—2025学年第二学期第一次阶段考试 高二年级数学试卷 选择题（本小题共9小题，每题4分，共36分） 1. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数满足，则的值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 0 D. 6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 7. 函数在上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 在上增，在上减 D. 在上减，在上增 8. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的导数为______ 11. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法． 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则_______． 13. 的单调递减区间为______. 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________. 15. 已知函数的定义域为R，，则的解集为_______． 三、解答题（共5个题，每题12，总计60分） 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求函数的极值； 17. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 19. 已知函数 （1）若在点处取得极值.求a的值； （2）求的单调区间. 20. 已知函数 （1）当时，证明不等式： （2）当时，不等式对在任意恒成立，求实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $