第22讲 二元一次方程组的解法（三类知识点+十二大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第22讲 二元一次方程组的解法 （十二大题型） 学习目标 1．知道解方程组、消元法的概念 2．、学会用代入、加减消元法解二元一次方程组； 3. 会解求参数，二元一次方程组的代数应用等问题. 知识点1 消元法 引入：如何求第9.1节最后提出的方程组的解？ 分析 由①可知，x与2y相等，将方程②中的x用2y代替，得到关于y的一元一次方程，就可以来解了. 解 把①代入②,得 5×2y+2y=24. 解得 y=2. 把 y=2 代入①,得 x=4. 所以，原方程组的解为 1.解方程组：上面的分析提供了一种求二元一次方程组解的方法，即通过消去一个未知数将其化为一元一次方程进行求解.求方程组解的过程叫作解方程组.现 在，我们来解第9.1节中“鸡兔同笼”问题中的方程组. 2.消元法：在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. 知识点2 代入消元法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 要点： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. 知识点3 加减消元法 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【即学即练1】把方程，改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】用代入法解方程组 【即学即练3】用加减法解方程组 【即学即练4】解方程组： (1) (2) 【即学即练5】若关于的方程组的解满足，则（   ） A．0 B． C．8 D．2 题型1：把一个未知数用另一个未知数表示 【典例1】．已知方程，用含x的式子表示y，则 ；用含y的式子表示x，则 ． 【变式1-1】．已知方程，用含的式子表示： ． 【变式1-2】．已知方程，用含的代数式表示，则 ． 【变式1-3】．将方程变形，用含有的代数式表示为 ． 题型2：用代入消元法解二元一次方程组 【典例2】．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【变式2-1】．用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式2-2】．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 题型3：代入消元法的辨析 【典例3】．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式3-1】．用代入法解方程组，下面四个选项中正确的是（   ） A．由②得，再代入① B．由②得，再代入① C．由①得，再代入② D．由①得，再代入② 【变式3-2】．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②，应将方程①变形为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】．小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 题型4：用加减消元法解二元一次方程组 【典例4】．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-1】．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-2】．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-3】．解方程组： 【变式4-4】．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 题型5：辨析加减消元法 【典例5】．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．用加减法解方程组时，得（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．用加减法解方程组，下列解法正确的是（   ） A．①②消去 B．①②消去 C．①②消去 D．①②消去 【变式5-3】．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 题型6：用适当的方法解二元一次方程组 【典例6】．解方程组： (1) (2) 【变式6-1】．解下列方程组： (1)； (2)． 【变式6-2】．解方程组: (1) (2)． (3) (4)． 题型7：求参问题 【典例7】．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式7-1】．若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．方程组的解中与的值相等，则 ． 【变式7-3】．已知方程组的解满足．则m的值为（   ） A． B．2 C． D．1 题型8：“看错”、“遮（盖）住”问题 【典例8】．在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ． 【变式8-2】．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 题型9：二元一次方程组的特殊解法 【典例9】．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】．已知关于x，y的方程组的解是，则关于m，n方程组的解是 ． 【变式9-2】．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【变式9-3】．解下列方程组： (1)； (2) 【变式9-4】．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 题型10：表格问题 【典例10】．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则的值为（  ） A．3 B．7 C． D． 【变式10-1】．已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 题型11：二元一次方程组的代数应用 【典例11】．已知，满足方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求的值． 【变式11-2】．关于、的方程组的解与互为相反数，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【变式11-3】．已知是关于的方程的解，若是方程组的解，求的值． 【变式11-4】．若关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值 【变式11-5】．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 题型12：阅读材料题 【典例12】．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 【变式12-1】．先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 一、单选题 1．用代入消元法解方程组将②代入①，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．解以下两个方程组①；②较为简便的方法是（  ） A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法 C．都用代入法 D．都用加减法 4．用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去y，可以将 5．如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程组x-3y=8的解，则k等于（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 7．解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到解是，则的值是 A．5 B．6 C．7 D．无法确定 8．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（    ） A． B． C． D． 9．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（    ）． A．不论k取什么实数，的值始终不变 B．存在实数k，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解 二、填空题 11．已知方程，用含y的代数式表示x，则 ． 12．若m，n满足方程组，则的值为 ． 13．若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，则x+y的值是 ． 15．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 16．已知x、y满足方程组，则的值为 ． 17．三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 18．若关于x、y的方程组其中a、b、m为常数）的解为，则方程组的解为 ． 三、解答题 19．解方程组： (1) （用代入消元法） (2)（用加减消元法） 20．解方程组： (1)； (2)． 21．解方程组： （1） （2） （3） （4） （5） 22．已知方程组与方程组的解相同，求的值． 23．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的a，b的值； (3)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 24．已知关于的方程组． （1）当时，求方程组的解； （2）证明：无论取什么数，的值始终不变． 25．（1）已知关于x、y的方程组的解是，求a、b的值； （2）已知关于x、y的方程组的解是，请你运用学过的方法求方程组中m、n的值． 26．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 27．关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 28．【阅读材料】解二元一次方程组： 思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数， 可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y  ③ 把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5， ∴原方程组的解是. 这样运算显得比较简单. 解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8， ∴ x＝8－y  ③， 把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119， 解得y＝3， 把y＝3代入③，得x＝5. ∴原方程组的解是. 【学以致用】 (1)填空：由二元一次方程组，可得x＋y＝__________； (2)解方程组： 【拓展提升】 (3)当m≠－时，解关于x，y的方程组. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 二元一次方程组的解法 （十二大题型） 学习目标 1．知道解方程组、消元法的概念 2．、学会用代入、加减消元法解二元一次方程组； 3. 会解求参数，二元一次方程组的代数应用等问题. 知识点1 消元法 引入：如何求第9.1节最后提出的方程组的解？ 分析 由①可知，x与2y相等，将方程②中的x用2y代替，得到关于y的一元一次方程，就可以来解了. 解 把①代入②,得 5×2y+2y=24. 解得 y=2. 把 y=2 代入①,得 x=4. 所以，原方程组的解为 1.解方程组：上面的分析提供了一种求二元一次方程组解的方法，即通过消去一个未知数将其化为一元一次方程进行求解.求方程组解的过程叫作解方程组.现 在，我们来解第9.1节中“鸡兔同笼”问题中的方程组. 2.消元法：在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. 知识点2 代入消元法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 要点： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. 知识点3 加减消元法 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【即学即练1】把方程，改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解，把x看作已知数求出y即可． 【解析】解：， 移项，得：， 故选B． 【即学即练2】用代入法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．由第2个方程得，代入第1个方程消去，求得，再将代入方程解得即可． 【解析】解： 由②得， 把③代入①，得 解得 把代入②，得 所以原方程组的解为． 【即学即练3】用加减法解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握加减法解方程组是解题的关键．根据题意用加减法解方程组即可． 【解析】解： ，得：，解得：； 把，代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【即学即练4】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解析】（1）解：， 代入①到②得，， 解得：， 把代入①，得， 原方程组的解为． （2）解：， 得，， 得，， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 原方程组的解为． 【即学即练5】若关于的方程组的解满足，则（   ） A．0 B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的知识，结合题意确定是解题关键．首先由①②，可得，结合题意可得，求解即可获得答案． 【解析】解：， 由①②，可得， ∵关于的方程组的解满足，， ∴，解得． 故选：A． 题型1：把一个未知数用另一个未知数表示 【典例1】．已知方程，用含x的式子表示y，则 ；用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题考查消元法，解答的关键是掌握解方程的基本运算技能：移项，合并同类项，系数化为1等，要表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项，系数化1即可．据此求解即可． 【解析】解：方程移项，得， 化系数为1，得， 方程移项，得， 化系数为1，得 故答案为，． 【变式1-1】．已知方程，用含的式子表示： ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，解题的关键是熟知移项的计算过程．看作关于y的方程，移项即可求得答案． 【解析】解：移项，得． 故答案为：． 【变式1-2】．已知方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出．将看作已知数求出即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式1-3】．将方程变形，用含有的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程．把x看作已知数解关于y的方程即可． 【解析】解： 则， ∴， 故答案为： 题型2：用代入消元法解二元一次方程组 【典例2】．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）先将②变形为，再用代入消元法求解即可． 【解析】（1）解：把①代入②，得， 解得：． 把代入①，得． 故这个方程组的解为． （2）解：由②，得③， 把③代入①，得，解得：． 把代入③，得． 故这个方程组的解为． 【变式2-1】．用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）首先将方程整理为然后利用代入消元法求解即可． 【解析】（1） 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解是； （2）原方程可化为 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解是． 【变式2-2】．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【解析】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 题型3：代入消元法的辨析 【典例3】．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，根据最优化原则进行判断即可． 【解析】解：用代入法解方程组，下列最合适的变形是由②，得， 故选：D． 【变式3-1】．用代入法解方程组，下面四个选项中正确的是（   ） A．由②得，再代入① B．由②得，再代入① C．由①得，再代入② D．由①得，再代入② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．利用代入消元法判断即可． 【解析】解：A．由②得，再代入①，原说法错误，故此选项不符合题意； B．由②得，再代入①，原说法错误，故此选项不符合题意； C．由①得，再代入②，原说法正确，故此选项符合题意； D．由①得，再代入②，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②，应将方程①变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，把移项即可． 【解析】解：∵， ∴． 故选:B． 【变式3-3】．小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 【解析】解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 题型4：用加减消元法解二元一次方程组 【典例4】．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程，掌握加减消元法解二元一次方程是解答本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【解析】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 原方程组的解是． 【变式4-1】．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活运用解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【解析】（1）解： ，得 ∴． 把代入①，得 ∴ 所以，方程组的解为：； （2）解： ，得 ． 把代入①，得 ∴． 所以，方程组的解为． 【变式4-2】．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【解析】（1）解： ，得 ∴． 把代入①，得， ∴． 所以，方程组的解为； （2）解：， ，得 ∴． 把代入①，得 ∴． 所以，方程组的解为． 【变式4-3】．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．先将方程组化简得，再利用加减消元法即可求解． 【解析】解：， 整理得，， 得，， ∴， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程的解为． 【变式4-4】．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用题意解方程即可，熟练计算是解题的关键． 【解析】解：解法一：， ，得，即③， ，得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； 解法二：， ，得，即， 所以③．把③代入②， 得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 题型5：辨析加减消元法 【典例5】．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据①中y的系数是3，②中y的系数是，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答． 【解析】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应． 故选：C． 【变式5-1】．用加减法解方程组时，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用可得，熟练计算是解题的关键． 【解析】解：， 得， 故选：A． 【变式5-2】．用加减法解方程组，下列解法正确的是（   ） A．①②消去 B．①②消去 C．①②消去 D．①②消去 【答案】D 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法， 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答． 【解析】解：A、①②，不能消去x，故选项错误，不符合题意； B、①②，不能消去y，故选项错误，不符合题意； C、①②，不能消去x，故选项错误，不符合题意； D、①②，消去y，故选项正确，符合题意． 故选D． 【变式5-3】．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2 (2)②，合并同类项计算错误 (3)见解析 【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的运算即可解答． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【解析】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． （2）第二不出现错误，原因是合并同类项计算错误； （3）解：②得： ③ 得：5y=15，y=3 将代入②得： 所以该方程组的解是 题型6：用适当的方法解二元一次方程组 【典例6】．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解析】（1）解：， 代入①到②得，， 解得：， 把代入①，得， 原方程组的解为． （2）解：， 得，， 得，， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 原方程组的解为． 【变式6-1】．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法及加减消元法解方程组的解法步骤是解答的关键． （1）利用代入法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解析】（1）解：， 将代入①中，得：， 解得：， 将代入中，得：， 原方程组的解为：； （2）解：， ①②得：， 将代入①中，得：， 解得：， 原方程组的解为：； 【变式6-2】．解方程组: (1) (2)． (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有加减消元法、代入消元法，选择合适的方法是快速解题的关键． （1）直接利用加减消元法求解； （2）直接利用加减消元法求解； （3）直接利用加减消元法求解； （4）先将原方程变形，再利用加减消元法求解． 【解析】（1）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （2）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （3）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （4）解： 整理得： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为． 题型7：求参问题 【典例7】．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，利用方程①加上方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【解析】解：， 得， 将代入上式，得：， 解得：， 故选：B． 【变式7-1】．若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由两式相减可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：， 得： ， ， ， 解得：， 故选：B． 【变式7-2】．方程组的解中与的值相等，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解．将与组成方程组，求出、的值，再代入即可求出的值． 【解析】解：由题意可知：， 解得：， 将代入得：， 解得：． 故答案为：2． 【变式7-3】．已知方程组的解满足．则m的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，通过方程组，得到的值，即可解答．正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【解析】解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：C． 题型8：“看错”、“遮（盖）住”问题 【典例8】．在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了，则甲的结果满足方程②，乙看错了，则乙的结果满足方程①，由此建立关于、的方程求解即可． 【解析】解：∵解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，， ∴把，代入②式，得， 解得：； 把，代入①式，得， 解得：； 故选：D． 【变式8-1】．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可． 【解析】解：根据题意可得出：，， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【变式8-2】．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【解析】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 题型9：二元一次方程组的特殊解法 【典例9】．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，得到，求解即可． 【解析】解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 【变式9-1】．已知关于x，y的方程组的解是，则关于m，n方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据已知条件可得出方程组的解满足关系式∶，进而求解可得出答案． 【解析】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式∶， 解得：， 故答案为： 【变式9-2】．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，换元法求方程组的解，将转化为：，进而，得到方程组的解为，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为， 解得：； 故答案为：． 【变式9-3】．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【解析】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 【变式9-4】．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，以及二元一次方程组的特殊解法，先整理原方程组为，结合关于x，y的方程组的解是，则，然后解出，即可作答． 【解析】解：∵， ， 关于x，y的方程组的解是， 由得， 把代入， 解得， ∴， 解得． 题型10：表格问题 【典例10】．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则的值为（  ） A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于k、b的方程组，求出k、b的值，然后代入代数式求值即可． 【解析】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 【变式10-1】．已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 【答案】(1)8，2，，，，2，，4 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程即二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． （1）将x的值代入到方程中依次可得到y的值； （2）由（1）题可知方程组的解为． 【解析】（1）解：中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 故答案为：8，2，，，，2，，4； （2）解：方程组的解是． 题型11：二元一次方程组的代数应用 【典例11】．已知，满足方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程相加即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【解析】解：， 得，， ∴， 故选：． 【变式11-1】．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先把代入，得，然后解得。最后代入进行计算，即可作答． 【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 得， 再把代入，得， 解得， ∴， ∴， 【变式11-2】．关于、的方程组的解与互为相反数，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．根据方程组的解与互为相反数，将代入方程组得到关于k的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【解析】解：， 与互为相反数，即， 则，即， ，即， 解得：， 故选：C． 【变式11-3】．已知是关于的方程的解，若是方程组的解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解方程及方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是关于的方程的解，则，又因为是方程组的解，则有，然后利用加减消元即可求解． 【解析】解：因为是关于的方程的解， 所以， 即， 所以， 因为是方程组的解， 所以， ，得， 整理得， 因为， 所以， 所以． 【变式11-4】．若关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，求解代数式的值； （1）把方程组中不含、的两个方程联立，再解方程组求解即可； （2）把（1）中方程的解代入含、的两个方程组成方程组求解的值，再计算即可． 【解析】（1）解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， （2）解：把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入得，， ③+④得，， ∴， ∴． 【变式11-5】．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）先把方程变形为，根据题意得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【解析】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组 ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解：依题意，将变形， 得 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ． 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 题型12：阅读材料题 【典例12】．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）仿阅读解法，用加减法求解即可； （2）仿阅读解法，用加减法求解即可． 【解析】（1）解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入③，得， ∴； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 把代入③，得， ∴． 【变式12-1】．先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）设，利用换元法计算求解即可； （2）设，利用换元法计算求解即可． 【解析】（1）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 （2）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 一、单选题 1．用代入消元法解方程组将②代入①，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入消元法代入即可得出答案． 【解析】解：代入消元法解方程组， 将②代入①得：， 去括号得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解本题的关键． 2．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并灵活运用是解答的关键．利用用加减消元法解方程组即可． 【解析】解：， ①②得：， 把代入①中得：， ∴原方程组的解为， 故选：B． 3．解以下两个方程组①；②较为简便的方法是（  ） A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法 C．都用代入法 D．都用加减法 【答案】B 【分析】观察两个方程的特点确定出相应的解法即可． 【解析】解：解下面的两个方程组：①；②， 在上列提供的两题解法中，较为简便的是①用代入法，②用加减法． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去y，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法解方程组的步骤逐项分析判断即可得到答案． 【解析】解：得：， ，不符合题意，A选项错误； 得：， ，不符合题意，B选项错误； 得：， ，不符合题意，C选项错误； 得：， ，符合题意，D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 5．如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可． 【解析】解：∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程组x-3y=8的解，则k等于（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】先求得方程组的解，再代入方程计算即可． 【解析】因为， ①+②得，2x=7k， 解得x=； ①-②得，-2y=3k， 解得y=； 所以， 解得k=1， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确选择消元方法是解题的关键． 7．解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到解是，则的值是 A．5 B．6 C．7 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，把代入ax+by=2，可得一个关于a、b的方程，又因看错系数c解得错误解为，即a、b的值没有看错，可把解为，再次代入ax+by=2，可得又一个关于a、b的方程，将它们联立，即可求出a、b的值，进而求出c的值 【解析】解：∵方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是， ∴把与代入ax+by=2中得：， ①+②得：a=4， 把a=4代入①得：b=5， 把代入cx-7y=8中得：3c+14=8， 解得：c=-2， 则a+b+c=4+5-2=7； 故选C． 【点睛】此题实际上是考查解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的． 8．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组消去，得到一个关于的方程，化简这个方程即可． 【解析】解：将代入， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的基本思想是消元，解题的关键是代入法和加减法． 9．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可． 【解析】解：设， 则 ， 由题意得： ， 即， 解得 ． 故答案为：A 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键． 10．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（    ）． A．不论k取什么实数，的值始终不变 B．存在实数k，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解 【答案】D 【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可． 【解析】解：，解得：，然后根据选项分析： A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立； B选项，，解得，存在这样的实数k，成立； C选项，，解得，成立； D选项，当时，，则，不成立； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键． 二、填空题 11．已知方程，用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，掌握解二元一次方程的步骤是解本题的关键．把y看作已知数求出x即可． 【解析】 ． 故答案为：． 12．若m，n满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】用两个方程相减即可得出答案． 【解析】解：， 得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用． 13．若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 【答案】2，1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解二元一次方程组，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此列出方程组进行求解即可． 【解析】解：由题意，得： ，解得：； 故答案为：2，1． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，则x+y的值是 ． 【答案】1 【分析】把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得． 【解析】解：， 由①+②，可得， 解得． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论． 15．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得到，再根据方程组与方程同解，代入二元一次方程，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【解析】解：， 由①②得，解得； 由②①得，解得； 方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ，即，解得． 【点睛】本题考查利用方程组与方程的同解求参数问题，涉及解二元一次方程组、解一元一次方程等知识，熟练掌握解方程及方程组的方法是解决问题的关键． 16．已知x、y满足方程组，则的值为 ． 【答案】3 【分析】将两个方程相加可得，，即可求出的值． 【解析】解：将两个方程相加得，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整体思想解题，正确的计算是解决本题的关键． 17．三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【分析】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【解析】解：设m=x−1，n=y−2， ∵方程组，的解是， ∴ 的解是， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键． 18．若关于x、y的方程组其中a、b、m为常数）的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，、分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得． 【解析】解：变形为， 由题意知： 由题意知， ①+②，得：2x=6，x=3， ①-②，得：2y=10，y=5， 故方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组． 三、解答题 19．解方程组： (1) （用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把②代入①，得，求出y，再把y＝3代入①求出x即可； （2）①×2-②得出16x＝10，求出x，再把x代入①求出y即可． 【解析】（1）解：， 把②代入①，得， 解得：， 把代入②，得x＝1﹣5×3， 即y＝-14， 所以原方程组的解是； （2）解：， ①×3+②，得14x＝28， 解得：x=2， 把x=2代入①，得＝9， 解得：y=-1， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 20．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相加消去求出，把代入第一个方程求出即可． （1）方程组先整理，再用加减消元法求解即可． 【解析】（1）解：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得． 方程组的解是． （2）方程组整理得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得． 方程组的解是． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本思想——消元，掌握加减消元法． 21．解方程组： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）根据将①整体代入②即可求出x，再将x=2代入①即可求y； （2）先去分母，把方程组整理为一般形式，再利用①+②消去常数项得到x与y的关系，然后利用代入法求x或y； （3）先把原方程组整理为一般形式，再利用代入消元法解方程组即可； （4）先把原方程组整理为整数系数方程组，再利用加减消元法求解即可； （5）先把方程组去分母整理为一般形式，再利用代入法解方程组即可． 【解析】解：（1） 将①代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组解为； （2）， 对方程组去分母，整理得： 由①+②得，即， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组解为； （3） 对方程组去分母，整理得： ， 将①式代入②得： 解得， 代入①得：， ∴原方程组解为； （4） 把方程组化为整数系数方程得： ， 由①×2-②得：， 解得：， 把代入①得， 解得： ∴原方程组解为； （5） 即： 对方程组去分母，整理得： 由②得：③， 把代入①得：， 解得：， 代入③得， ∴原方程组解为； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，如果方程组不是一般形式就利用等式性质整理变形为一般形式． 22．已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【解析】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 23．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的a，b的值； (3)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)5 (3)-64 【分析】（1）根据题意把代入①求出a，然后把代入②求出b，进而问题得解； （2）根据题意把代入②求出b，然后把代入①求出a，进而问题得解； （3）由（2）可求出方程组的解，然后代值求解即可． 【解析】（1）解：把代入①，得，解得； 把代入②，得，解得． ∴甲把a看成了1，乙把b看成了3． （2）解：把代入①，得，解得：； 把代入②，得，解得：． （3）解：由（2）可得原方程组为， 解得原方程组的正确解为：． ∴． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法及代数式的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 24．已知关于的方程组． （1）当时，求方程组的解； （2）证明：无论取什么数，的值始终不变． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）先将代入 ，解出方程组即可； （2）解方程组可得代入=3，即可解答． 【解析】（1）将代入 ，得， 两个方程相减得： ，解得： ， 将代入第二个方程得： ， 所以方程组的解为； （2）解方程组，得， 所以， 所以，无论取什么数，的值始终不变． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本步骤是解题的关键． 25．（1）已知关于x、y的方程组的解是，求a、b的值； （2）已知关于x、y的方程组的解是，请你运用学过的方法求方程组中m、n的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入原方程组即可求出a、b的值； （2）利用整体代入思想可得，解方程组即可求出m、n的值． 【解析】解：（1）把代入方程组， 得， 解得； （2）由题意得， ①＋②×2，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 故． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，第2问有一定难度，掌握整体代入思想是解题的关键． 26．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【解析】解：设，， 方程组变形得： 整理得： 得：， 即， 把代入①得：， ∴， ，得， 解得， 把代入，解得， 解得：． 27．关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【解析】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 28．【阅读材料】解二元一次方程组： 思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数， 可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y  ③ 把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5， ∴原方程组的解是. 这样运算显得比较简单. 解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8， ∴ x＝8－y  ③， 把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119， 解得y＝3， 把y＝3代入③，得x＝5. ∴原方程组的解是. 【学以致用】 (1)填空：由二元一次方程组，可得x＋y＝__________； (2)解方程组： 【拓展提升】 (3)当m≠－时，解关于x，y的方程组. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据材料中介绍的方法，解二元一次方程组，通过①+②得：． （2）观察原方程组，发现两式相加不能简化，所以将两式相减．解二元一次方程组，通过①-②，化简可得：，所以．将③代入①中，即可解出，则．所以原方程组的解为 （3）观察原方程组，选择两式相减．解二元一次方程组，通过①-②，化简可得：，所以．将③代入①中，整理可得：．当时，即可解出，则．所以原方程组的解为 【解析】（1）解： 由①+②得：，即 故答案为：2． （2）解： 由①-②得： 把③代入①得： 解得： 把代入③得： 原方程组的解为 （3）解： 由①-②得：，即： 把③代入①中得： 即 当时，可解得 把代入③得： 原方程组的解为 【点睛】本题主要考查知识点为：二元一次方程组的解法，分为代入消元法和加减消元法．同时，本题的关键要仔细阅读材料，理解材料中的做题思路和方法．只有在理解材料中的方法之后，才能更有效快捷的做出后面的问题．所以掌握二元一次方程组的解法、认真审题，认真思考材料中的方法，是解决此类题的关键． 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$