精品解析：2025届新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学高三二模数学试题

2024-2025学年第二学期高三3月模拟考试 一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知椭圆E：与矩形四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全不选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为 ，，，，，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. 这200名参赛学生的成绩的中位数为76分 B. 这200名参赛学生的成绩的平均值为分 C. 这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为 D. 这200名参赛学生的成绩在之间的有40人 10. 已知的展开式共有7项，则（ ） A. B. 二项式系数和为64 C. 展开式的所有项的系数和为1 D. 含项系数为 11. 余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 与的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的虚部为______________． 13. 已知数列的前n项和为，且，则= _______________． 14. 用1，2，3，4四个数字组成一个六位数，要求3，4不排在偶数位置（最高位为第一位），每个数字至少用一次，则不同六位数共有_____个．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 16. 如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ． （1）证明：AD⊥PB ； （2）若二面角A−PB−O的余弦值为，求圆锥PO 的侧面积． 17. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l与C交于不同的两点A，B． （1）若，求l的斜率； （2）若点Q是弦AB上异于两端的点，设A，B，Q点的横坐标分别为，，，且满足，则点Q是否在一条定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 18 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若存在，使得，求的取值范围． 19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． （1）已知等比数列的前n项和为，且，证明：数列为“数列”，并求出其通项公式； （2）已知等差数列满足=15，探究数列中是否存在由某些项构成的数列为“数列”？若存在，写出一个“数列”；若不存在，请说明理由； （3）已知等差数列的通项公式为，设m为正整数，若存在“数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高三3月模拟考试 一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知条件求得的值，再根据同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】，， ，， ，即， 又，，， ，，， . 故选：C. 3. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式写出，再结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件即可得到，再由椭圆离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，不妨设， 则，且， 即，则. 故选：A 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合，以及时，，可得结论. 【详解】由题得，的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，排除A； ．排除C；当时，，排除B． 故选：D． 6. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 中，，. 故选：D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】我们需要根据的表达式，分情况讨论在上的解集. 【详解】当时，即时, 此时,由, 可得，即，解得，结合，得到. 当时，即时， 此时，由, 可得，解得 结合：，得到. 因为是奇函数，所以，. 当时，时， ， 由，可得，即，此时无解. 综合以上情况，不等式在上的解集为. 故选：A 8. 已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线性质以及垂直关系可得斜率关系，设，可得，所以；在中利用正弦定理以及三角恒等变换可得，，再结合双曲线定义以及离心率表达式化简即可得出. 【详解】如下图所示： 可知， 双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线， 因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 设，可得，所以； 由可得， 在中利用正弦定理可得， 可得， ； 再利用双曲线定义可得 整理可得， 因此可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用渐近线斜率以及垂直关系得出，再由中的正弦定理得出其边长，利用双曲线定义可得，即可求得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全不选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为 ，，，，，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. 这200名参赛学生的成绩的中位数为76分 B. 这200名参赛学生的成绩的平均值为分 C. 这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为 D. 这200名参赛学生的成绩在之间的有40人 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率直方图中中位数的计算方法即可判断；根据小矩形的面积乘以对应矩形中点的横坐标之和即可求解平均数，即可判断；求解的频率即可判断；根据频数的求解方法即可判断. 【详解】对于，设中位数为， 所以，解得， 所以这200名参赛学生的成绩的中位数为76分，故正确； 对于，， 所以这200名参赛学生的成绩的平均值为分，故正确； 对于，这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为，故错误； 对于，因为，所以这200名参赛学生的成绩在之间的有40人，故正确. 故选：. 10. 已知的展开式共有7项，则（ ） A. B. 二项式系数和为64 C. 展开式的所有项的系数和为1 D. 含项系数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得，进而求出二项式系数和、所有项的系数和判断A、B、C；利用展开式通项求含项的系数. 【详解】由的展开式共有7项，则，故二项式系数和为，A错，B对； 令，则展开式所有项的系数和为，C对； 展开式的通项公式为， 若，则含项的系数为，D对. 故选：BCD 11. 余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，即可利用正切函数的性质，结合选项逐一求解. 【详解】由于， 故定义域满足,故，解得，故A错误， 对于B，，令,所以，故对称中心为，B正确， 对于C, ,令,解得，故C正确， 对于D, ,则，所以与的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的虚部为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简可得，再结合虚部的定义即可求解. 【详解】由， 则其虚部为. 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和为，且，则= _______________． 【答案】350 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的定义判断为奇数、偶数的性质，再应用分组求和、等差数列的前n项和公式求. 【详解】若为奇数时，且，即首项、公差均为1的等差数列，则， 若为偶数时， 所以. 故答案为：350 14. 用1，2，3，4四个数字组成一个六位数，要求3，4不排在偶数位置（最高位为第一位），每个数字至少用一次，则不同的六位数共有_____个．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先分析每个数字出现的次数，再给有限制条件的3和4安排位置即可求解. 【详解】根据题意分成三种情况： 第一种情况：1和2其中一个数字用一次，另一个数字用三次，3和4分别用一次， 先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共种方法， 再选择1和2中用一次的数字，并从剩下的四个位置中选择一个位置安排，共种方法，余下的位置是用三次的数字， 所以共种方法； 第二种情况：1和2分别用两次，3和4分别用一次， 先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共种方法， 再选择两个位置安排数字1，剩下的两个位置安排数字2，共有种方法， 所以共有种方法； 第三种情况，1和2其中一个数字用一次，另一个数字用两次，3和4其中一个数字用一次，另一个数字用两次， 先从3和4中选择一个用一次的数字并安排一个奇数位置，共种方法， 剩下一个用两次的数字安排在剩余的奇数位置， 再从1和2中选择一个用一次的数字并安排一个偶数位置，共种方法， 剩下一个用两次的数字安排在剩余的偶数位置， 共有种方法， 所以不同的六位数共有个. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】(1)利用将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证； (2)利用(1)中的结论可求出，再利用正弦定理将化成角，即可求出范围. 【小问1详解】 ，， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. 【小问2详解】 由(1)可知，又，， ，， 又由已知可得，，， ， ， ，， ，， 的取值范围是. 16. 如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ． （1）证明：AD⊥PB ； （2）若二面角A−PB−O的余弦值为，求圆锥PO 的侧面积． 【答案】（1）详见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）设，由证明； （2）求得平面APB的一个法向量为，易知是平面PBO的一个法向量，由，求得t，即圆锥的高，从而得到圆锥的母线，由圆锥的侧面积为求解. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 所以， 所以，则； 【小问2详解】 设平面APB的一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 易知是平面PBO的一个法向量， 所以， 解得，即圆锥的高为， 则圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 17. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l与C交于不同的两点A，B． （1）若，求l的斜率； （2）若点Q是弦AB上异于两端的点，设A，B，Q点的横坐标分别为，，，且满足，则点Q是否在一条定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1）4或-2 （2）点Q在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设，，直线l的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，，结合已知可求得l的斜率； （2）不妨设，Q的纵坐标为，则，由已知可得，进而可得，化简可得点Q在定直线上. 【小问1详解】 设，， 由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为，代入， 整理得，， 解得或．则，， 所以 ，解得或，所以l的斜率为4或-2． 【小问2详解】 如图，不妨设，Q的纵坐标为，则， 因为，所以， 即，即， 又，所以，即， 所以点Q在定直线上． 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． （1）已知等比数列的前n项和为，且，证明：数列为“数列”，并求出其通项公式； （2）已知等差数列满足=15，探究数列中是否存在由某些项构成的数列为“数列”？若存在，写出一个“数列”；若不存在，请说明理由； （3）已知等差数列的通项公式为，设m为正整数，若存在“数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m 的最大值． 【答案】（1） （2）存在“数列”为 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出首项和公比即可； （2）根据已知条件求出数列的通项公式，即可求解； （3）根据已知条件得到对恒成立，时可单独得出的范围；当，两边取对数可得，对有解，即，构造，利用导数研究单调性求得相应最值，然后研究上述关于的不等式有解的必要条件，即成立的整数的取值范围，得到正整数最大为5时的范围，进一步验证此处得出的的范围满足时得到的的范围的要求，进而求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为，则，解得（舍）或， 若，则与不符，所以， 所以，解得，则， 所以数列为“σ− 数列”， 通项公式为； 【小问2详解】 设等差数列的公差为，，所以， 因为，所以，所以， 则， 因为， 所以数列中存在由某些项构成的数列为“数列”为； 【小问3详解】 设的公比为， 存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立， 当时，，当时，， 当，两边取对数可得对有解， 即， 令，则， 当时，，此时递减，当时，， 令，则， 令，则， 当时，，为单调递减函数，， 即，在上单调递减， 即时，，所以，其中， 下面求解不等式， 化简，得， 令，则， 由得，进而，在上单调递减， 又由于， ， 故使得的最大整数，此时， 又因为， 所以当时，满足题意， 综上所述，满足题意的实数的最大值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$