第三章 第15节 二次函数与几何图形的结合-【加速度中考】2025年青海中考数学课堂精练本

第15节 二次函数与几何图形的结合 (11一13分) 类型1线段问题 必备学法构建 预备知识： 1.两点之间， 最短： ⅱ.轴对称图形中，对应点到对称轴上任意点的距离 问题1：求线段长 BC∥x轴 BC=xe-xnl A） AB∥y轴 AB=lyA-ynl ce B(xgya) AC不与坐标轴平行 AC=√(xA-xe)+(y-x 问题2：求线段（和）最值 利用两点间距离公式，锐角三角函数或相似比表示 一条线段 对称轴11y 出线段，然后利用函数增减性求最值 利用对称转化线段位置，然后用“两点之间，线段最 两条线段 短”解决（如右图，求EP斗DP的最小值可转化为求 D EP十FP的最小值EF的长) 李解题策赂问题串 1.如图，已知抛物线y=x2+2x一3与x轴交于A,B两点（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C,顶点为D.P为第三象限的抛物线上一点（不与B,C两点重合），过点 P作PH⊥x轴于点H,PH与线段BC交于点M,设点P的横坐标为t.■■ 函数图象相关点的求解 (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为一 ,顶 点D的坐标为 第1题图 点的表示 (2)1的取值范围为 ,点P的坐标可以表示为 (3)线段BC所在直线的函数解析式为 ,点M的坐标为 线段的表示 (4)BC= ,线段MH的长可以表示为 ,线段PM的长可以表示为 线段间的数量关系 (5)若点M将线段BC分成长度比为1：2的两部分，则点M的坐标为 若点M平分线段PH,则点M的坐标为 线段（和）最值 (6)当t= 时线段PM的长度最大，PM的最大值为？，此时点P的坐标为 (7)作PELBC于点E,则PE的最大值为 (8)已知Q为抛物线对称轴上一点，若t=一2，则PQ十BQ的最小值为 33 类型2面积问题 豪必备学法构建 预备知识： i,三角形的面积公式： ⅱ，同底等高的三角形的面积 i.规则图形：如图①，图②，当△ABC的一条边与坐标轴平行或在坐标轴上时，S△x= AB·h. ⅱ.不规则图形：如图③，当△ABC的三条边与坐标轴均不平行时，S△r= 表示四边形的面积时，可以通过作辅助线，将四边形分成多个易于求解的图形解决 面积表示 14 1铅垂高 B 水平宽 图① 图2 图③ 面积最值 表示出图形的面积，然后利用函数的增减性求面积最值 1,面积定值：令图形面积的表达式等于这个值，解方程可得到参数值，进而计算得到所求点坐标： 面积数量关系 ⅱ.面积相等：①同底等高三角形的面积相等，则未知三角形的第三个顶点与已知三角形的第三个 顶点连线与底边平行：@直接令两个三角形的面积表达式相等求解 解题策略问题串 2.如图，已知抛物线y=x2十2x一3与x轴交于A,B两点（点B在点A 的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.连接AC,BC,BD, CD,抛物线的对称轴交x轴于点H,交BC于点E. B H 面积计算 (I)S△Nx= ,S州边形，1三 :S△D E (2)连接AE,则AE所在直线的函数表达式为 面积表示 (3)若P是x轴上方抛物线上一动点，横坐标为t,连接PA,PB,则 第2题图 S△PAB= (4)若Q是BC下方抛物线上一动点，横坐标为m.连接QB,QC,则Sa 面积定值 (5)在(3)的条件下，若S△=10，则点P的坐标为 面积最值 (6)在(4)的条件下，S△ar有最 (填“大”或“小”)值为 此时点Q的坐标为 (7)在(6)的条件下，过点Q作直线l∥BC,当S△c最大时，直线l与抛物线有 个交点： 面积数量关系 (8)已知F为抛物线上一动点，连接FB.FC,若S△=S△，则点F的坐标为 (9)在(4)的条件下，若S6r=Sm,求点Q的坐标 34 类型3特殊三角形的存在性问题 豪必备学法构建 预备知识： i.等腰三角形 (1)两条腰长 :(2)两个底角 :(3) 垂直平分底边. ⅱ，直角三角形 (1)勾股定理：两直角边的平方和等于 (2)斜边上的中线等于斜边的 问题 已知线段AB,在直线l上作一点C,使得△ABC为等腰三角形 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线I于点C1,C:以点 B为圆心，AB长为半径作弧，交直线I于点Ca,C:作线段 几何法 等腰三角形 AB的垂直平分线，交直线1于点C(G,C,C,C,C即为 的存在性 所求) 设动点C的坐标，然后利用动点的坐标表示出其他点，进而表示三角形的腰长，可利用 代数法 两条腰长相等建立方程求解， 注意：当顶点不确定时，需分类讨论三种情况：①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB 问题 已知线段EF,在直线I上作一点G,使得△EFG为直角三角形 过点E作EF的垂线，交直线I于点G,连接FG:过点F作EF 几何法 的垂线，交直线l于点G,连接EG:以EF为直径作圆，交直线I 直角三角形 于点G,G.连接EG,PG,EG,FG(G,G,G,G即为所求) 的存在性 G1G3---4G1 设出点G的坐标，分别表示出G,FG,EF的长，然后利用勾股定理建立方程求解.在 代数法 具体问题中，也可以结合题图中直角三角形背景利用三角函数解决。 注意：斜边不确定时，需分类讨论EF,FG和EG分别为斜边时的情况 动解题策略问题串 3.如图，二次函数y=一x2+x十2的图象交x轴于点A,B,与y轴交于点C.连接AC,BC 第3题图 (1)点A,B,C的坐标分别为A .B 求解等腰三角形 (2)已知P为x轴上一动点，若△PBC是以BC为腰的等腰三角形，则点P的坐标为 若△APC是以AC为底边的等腰三角形，则点P的坐标为 35 求解直角三角形 (3)M为坐标轴上一动点（不与原点重合），若△ACM是以AC为直角边的直角三角形，则点M的坐 标为 (4)N为函数图象对称轴上一点，连接BN,CN.若△BCN为直角三角形，求出点N的坐标； B 备用图① (5)D为坐标系平面内一动点，连接AD,CD,若△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，求点D 的坐标. B 加速度碧 备用图② 36(3)22+4t-6(t>1或t<-3) (4)- (5)(2,5)或(-4,5) (6)大名 (7)1(8)(-4,5) (9)解：由(1)得S△w=3, 2m2 由(4)得Sr=-3m 2 1 S.o-7SAm..S.o- 2 、29一3 2m=2 解得m1= -3+ 2 2,m4=二3-⑤ 2 将m1=一3+ 2 ,m=-35分别代人y=x+ 2 2x-3,得y=一5- 2,为=5+⑤ ·点Q的坐标为 -3+5,-55)或 2 2 5-5+5) 2 类型3特殊三角形的存在性问题 必备学法构建 i.(1)相等(2)相等(3)过顶点的中线 i,(1)斜边的平方(2)一半 解题策略问题串 3.(1)(-1,0)(2,0)(0,2) (2)(2-2w2,0)或(2+2v2,0)或(-2,0) 3)(4.0)或(0，） (4)解：y=一x2+x+2的对称轴为 2x麦设N(合小 B(2,0),C(0,2), 第15节二次函数与几何图形的结合 ∴.BC=(2-0)2+(0-2)2=8, 类型1线段问题 必备学法构建 cN=+(w-2=w2-4+, i.线段ⅱ.相等 解题策略问题串 B=号+ 1.(1)(1,0)(-3,0)(0,-3)(-1,-4) 当BN为斜边时，BC+CN=BN, (2)-3<1<0(1,t+21-3) (3)y=-x-3(1,-1-3) 即8+一十=号+w,解得w=号 (4)3√21+3-2-31 当CN为斜边时，BC+BN2=CV, (5)(-2,-1)或(-1，-2)(-1，-2) 6)- 3 (7)9e 即8+号+w=-+解得=一是 8 (8)32 当BC为斜边时，CV+BN2=BC, 类型2面积问题 必备学法构建 即yw2-4w+++w2=8 1.面积=之×底×高i.相等 解得=1+号或1一号。 解题策略问题串 2.(1)643(2)y=x-12 综上所述，点N的坐标为（分，号），（分，-） 9 (经，1+)或（号1-） (5)解：如答图，以AC为直径作圆，作AC的垂直平 分线交圆于点D1,D,过点D作y轴的平行线，过 点C作该平行线的垂线，垂足为H,y轴的平行线 交x轴于点H:,则∠ADC=90°，CD=AD1, HH=2. .∠CDH+∠ADH=∠DAH+∠ADHh=90°， ∴.∠CD1H=∠DAH. 又：∠CHD=∠DHA,CD=DA, .△CDH≌△DAH2(AAS), ..CH=D H2.HD=HA. 设DH=a,则AH=HD,=HH2一DH=2-a AC=2AD=5AD,2=号 在Rt△AD,H2中，DH2+AH22=AD,, ∴a2+(2-a)2=5 · 解得a=号a,=号（不符合题意，合去). 当a=2时，点D,的纵坐标为2，横坐标为 AH-A0=2-a-1=2D(号）》 A(-1,0),C(0,2), “AC的中点坐标为（号1） “点D,D关于AC对称D(号， 综上所述，点D的坐标为（分，）或（一名，号）】 声度碧 第3题答图 0亦