8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-2024-2025学年高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

8.3.2圆柱、圆锥、 圆台的表面积和体积 1.掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际思考.(重点) 2.理解圆台的表面积与体积公式的推导.(难点) 3.会求简单组合体的表面积和体积. 学习目标 之前，我们已经详细研究了基本立体图形的结构特征，以及棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方法。这些几何体大多是多面体，其表面积和体积的计算相对直观。然而，对于圆柱、圆锥、圆台等由平面图形绕轴旋转而成的旋转体，它们的表面积和体积计算则需要引入新的公式和方法。这些旋转体在日常生活和工程应用中非常常见，因此掌握它们的表面积和体积的计算方法是非常重要的。 导 语 目 录 1 2 3 4 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台的体积 简单组合体的表面积和体积 CONTENTS 书读百遍 其义自现 圆柱、圆锥、圆台的表面积 1 圆柱的表面积是围成圆柱的各个面的面积和，大家能说一下圆柱的表面包括哪几部分吗？我们又如何计算它们的面积呢？ 思考1 提示　圆柱的表面积=上底面面积+下底面面积+侧面面积. 圆柱的上、下底面是大小相等的两个圆面. 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长. 如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？ 思考2 提示　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，则S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长. 如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？ 思考3 提示　圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图， =，解得x=l， S扇环=S大扇形-S小扇形=πR(x+l)-πrx=π［(R-r)x+Rl］=π(r+R)l， 所以S圆台侧=π(r+R)l， S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).   图形 表面积公式 旋转体 圆柱   底面积：S底=_______； 侧面积：S侧=_______； 表面积：S=_________ 圆锥   底面积：S底=_____； 侧面积：S侧=_____； 表面积：S=_________ 2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) 知识梳理   图形 表面积公式 旋转体 圆台   上底面面积： S上底=______； 下底面面积： S下底=_____； 侧面积： S侧=__________； 表面积：S=_______________ πr'2 πr2 π(r'l+rl) π(r'2+r2+r'l+rl) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 问题4 提示　 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 √ √ 7 探究1 54π 圆柱、圆锥、圆台的体积 2 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 V圆柱=πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥=πr2h(r是底面半径，h是高). 你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？ 思考5 提示　V圆台=πh(r'2+r'r+r2). 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=_______ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=_______ 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =______________ 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h πr2h πr2h πh(r'2+r'r+r2) 1. 知识梳理 2.柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S )(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 理解： 当S=S'时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S'=0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式. 知识梳理 23 题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积 √ 探究2 简单组合体的表面积和体积 3 题型三　简单组合体的表面积和体积 探究3 书读百遍 其义自现 4 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ 96＋6π 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是(　　) A．40π2 B．64π2 C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π 【解析】　当底面圆的周长为8π时，半径r＝4， ∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2， ∴圆柱的表面积为32π2＋32π. 同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π. (2)若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(　　) A．2倍　　　 B．3倍 C．4倍 D．5倍 【解析】　设圆锥底面半径为r，母线长为R. 由圆锥底面周长为2πr＝eq \f(120,360)×2πR，解得R＝3r， ∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2， ∴圆锥的表面积是底面积的4倍． (3)已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________． 【解析】　设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7. 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，应注意表面积是侧面积与底面积的和． 思考题1　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为________． eq \f(2π,1＋2π) 【解析】　设圆柱的底面半径为r，则由题意得其底面周长和母线长都为2πr，故侧面积为S侧＝(2πr)2，表面积为S表＝(2πr)2＋2πr2，则eq \f(S侧,S表)＝eq \f(（2πr）2,（2πr）2＋2πr2)＝eq \f(2π,1＋2π). 即这个圆柱的侧面积与表面积的比值为eq \f(2π,1＋2π). (2)已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面面积是________ cm2. 2eq \r(5)π 【解析】　根据圆锥的侧面面积公式可得S侧＝π×2×eq \r(22＋12)＝2eq \r(5)π(cm2)． (3)圆台OO′的母线长为6，上、下底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是________． 【解析】　圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，则圆台的侧面面积S侧＝π(r′＋r)l＝π(2＋7)×6＝54π. 例2　(1)若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该圆柱的体积是(　　) A.eq \f(2,π)　　　　　　 B.eq \f(4,π) C.eq \f(8,π) D.eq \f(4,π)或eq \f(8,π) 【解析】　由题知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，则分两种情况： 当母线长为4时，圆柱的底面半径是eq \f(1,π)，此时圆柱的体积是π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π))) eq \s\up12(2)×4＝eq \f(4,π)；当母线长为2时，圆柱的底面半径是eq \f(2,π)，此时圆柱的体积是π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π))) eq \s\up12(2)×2＝eq \f(8,π).综上，所求圆柱的体积是eq \f(4,π)或eq \f(8,π).故选D. (2)如图，高为h的圆锥形封闭容器内装水，水面高为h1＝eq \f(h,2)，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2，则eq \f(h2,h)＝________． eq \f(\r(3,7),2) 【解析】　设圆锥形容器的底面面积为S，则未倒置前液面的面积为eq \f(1,4)S，所以水的体积为V＝eq \f(1,3)Sh－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)S×(h－h1)＝eq \f(7,24)Sh， 设倒置后液面面积为S′，则eq \f(S′,S)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h2,h))) eq \s\up12(2)，所以S′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h2,h))) eq \s\up12(2)·S＝eq \f(Sh22,h2)，所以水的体积为V＝eq \f(1,3)S′h2＝eq \f(Sh23,3h2)，所以eq \f(Sh23,3h2)＝eq \f(7,24)Sh，解得h2＝eq \f(\r(3,7),2)h，所以eq \f(h2,h)＝eq \f(\r(3,7),2). 求解与旋转体有关的几何体的体积问题，首先应明确旋转体的形状，再选择相应的体积公式求解． 思考题2　(1)若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为________． eq \f(\r(3)π,3) 【解析】　因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的底面半径r＝1，圆锥的高h＝eq \r(3)，所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3)π,3). (2)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为________． eq \f(38,3)π 【思路】　作出圆台的轴截面，再利用相似求圆台的高．根据体积公式求得圆台的体积． 【解析】　作出圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则eq \f(2,3)＝eq \f(6－h,6)，∴h＝2，∴V＝eq \f(π,3)(22＋2×3＋32)×2＝eq \f(38,3)π. 例3　如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，CD＝2AB＝2，∠ADC＝60°，该梯形绕着直线AB旋转一周． (1)求所形成的封闭几何体的体积； 【解析】　(1)由旋转后的图形，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥，如图，过A作AE⊥CD，垂足为E，则AE＝1×tan 60°＝eq \r(3)，故所形成的封闭几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝π×(eq \r(3))2×2－eq \f(1,3)×π×(eq \r(3))2×1＝5π. (2)求所形成的封闭几何体的表面积． 【解析】　(2)圆锥的母线长为AD＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2. 所形成的封闭几何体的表面积S＝π×(eq \r(3))2＋2×π×eq \r(3)×2＋π×eq \r(3)×2＝(3＋6eq \r(3))π. 求组合体的表面积与体积的方法： (1)分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值．根据设计的计算方法求值． 思考题3　如图，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2，下底BC＝10，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB所在的直线旋转一周，求所得的旋转体的体积． 【解析】　如图，作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作CF⊥BA交BA于点F，∵AD＝2，BC＝10，∠ABC＝60°， ∴在Rt△BCF中，BF＝5，FC＝5eq \r(3). ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ABC＝60°，∴在Rt△ADE中，DE＝eq \r(3)，AE＝1. 又在等腰梯形ABCD中可求得AB＝8，∴AF＝AB－BF＝8－5＝3，EF＝AE＋AF＝4，∴旋转后所得几何体的体积V＝eq \f(1,3)π·BF·FC2＋eq \f(1,3)π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－eq \f(1,3)π·AE·DE2＝eq \f(1,3)π×5×(5eq \r(3))2＋eq \f(1,3)π×4×[(eq \r(3))2＋(5eq \r(3))2＋eq \r(3)×5eq \r(3)]－eq \f(1,3)π×1×(eq \r(3))2＝248π. 故所得的旋转体的体积为248π. 要点1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 几何体 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展 开图 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2，S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 要点2　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 锥体 V锥体＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h(r为底面半径，h为高) 台体 V台体＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝eq \f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径，h为高) 1．圆柱、圆锥、圆台之间有什么关系？ 答：圆柱可看作上、下底面半径相等的特殊圆台；圆锥可看作上底面半径为0的特殊圆台． 2．圆柱、圆锥、圆台侧面积之间有什么关系？ 答： 3．柱体可以看作上、下底面相同的台体，锥体可以看作有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．具体如下： 1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　) A．2π　 　　 B．π　 C．2 　　 　 D．1 解析　圆柱的底面半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 2.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为eq \r(3)，则圆锥的表面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析　S表＝S侧＋S底＝eq \f(1,2)(2πr×2)＋πr2＝3π. 3．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面积是________． eq \f(S,2) 解析　如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πl2＝S，,πl＝2πr，))解得r＝eq \r(\f(S,2π)).所以底面积为πr2＝π×eq \f(S,2π)＝eq \f(S,2). 4．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． eq \r(7) 解析　设新的底面半径为r，根据题意得 eq \f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq \f(1,3)πr2×4＋πr2×8， 即28r2＝196，解得r＝eq \r(7). 5.如图所示的几何体是一个棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上挖一个直径为2 cm、深为4 cm的圆柱形的洞，则挖洞后的几何体的表面积是________ cm2. 解析　正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)， 圆柱的侧面积为2π×1×4＝8π(cm2)， 圆柱的上、下底面面积和为2π cm2， 则挖洞后的几何体的表面积为96＋8π－2π＝96＋6π(cm2)． $$