山西省运城市2024-2025学年高二3月调研测试数学试题

山西2024~2025学年高二年级3月份调研测试 数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第2节结束。 约 零 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.某同学从2个田径项目和4个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有 A.6种 B.8种 C.12种 D.16种 如 2.一质点做直线运动，其运动的位移x(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为x=t十t,则t= 3s时的瞬时速度为 A.30 m/s B.28 m/s C.18 m/s D.15 m/s 3.若C5=C学+1(r∈N),则A= A.24 B.20 C.12 D.4 4已知函数f)=21nx+是一fDx,则f1)= 器 A. B.1 c D.2 5.定义：各位数字之和为6的三位数叫“吉祥数”，例如“105,222”，则所有“吉祥数”的个 数是 A.35 B.28 C.21 D.15 【高二3月份调研测试·数学第1页（共4页）】 6.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=子(x)的图象可能是 7.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,若f(一1)=2，且f(x)十xf(x)>0, 则不等式(2x2-3x)f(2x2-3x)<-2的解集为 A(0,2) B(合 C.(-∞，0U(2,+∞） D.(-∞，-1U(,+∞) 8.高三毕业来临之际，3名教师、4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互 不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边 也不在最右边，则不同的排法种数共有 A.144种 B.288种 C.384种 D.1152种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列运算结果正确的是 An3)/=号 B(sin}/=2cos号 D.(xe)'=(x+1)e 10.将图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正 确的是 A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有45种不同涂法 B B.若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同 C E D 涂法 C.若4种不同颜色全部用上，B,D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D.若4种不同颜色全部用上，B,D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【高二3月份调研测试·数学第2页（共4页）】 11.设(x)是f(x)的导函数，(x)是函数f(x)的导函数.若方程(x)=0有实数解 xo,且在x的左、右附近，f"(x)异号，则称点(xo,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.经 过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已 知函数f(x)=ax3+bx2+9x一4(ab≠0)的对称中心为(2，一2)，则下列说法中正确的是 A.a=1,b=6 B.f(x)的极小值为一4 C.若函数f(x)在区间(m,4)上存在最小值，则m的取值范围为[0,3) D.若过点(3，m)可以作三条直线与y=f(x)的图象相切，则m的取值范围为（一5，一4） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某人打算将6个数字1,2,2,2,3,4进行排列得到密码，则可设置的不同密码有 种.（用数字作答） 13.已知函数fx)=x-兰-alnx在2,3)上单调递减，则实数a的取值范围是 14.已知函数f(x)=lnx-1,g(x)=e-2,若g(x1)=f(x2)成立，则x2-x1的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=x2十cosx十a一1(a∈R),f(x)是f(x)的导函数. (1)求(0)+f(受)的值： (2)若f(x)的最小值为一2，求a的值， 16.(15分) 已知袋中装有8个除颜色和编号外完全相同的小球，其中编号互不相同的红球5个，编号 互不相同的黑球3个，若取一只红球记1分，取1只黑球记2分，现从袋中任取5只小球 (1)求总分不小于7分的取法有多少种？（用数字作答） (2)若先取球再将取出的球随机排成一排，求当总分为7分且红球互不相邻的不同排法 有多少种？（用数字作答） 【高二3月份调研测试·数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知函数f(x)=2(x-1)c2一a.x2(a∈R). (1)若2为f(x)的极值点，求a的值： (2)当a>1时，设，x2为f(x)的极值点，若f(m)十f(x2)≤一e一2，求a的取值范围. 18.(17分) 北京冬奥会中，某高校甲、乙、丙、丁等6名同学按以下要求去四个不同场馆做志愿者， 每名同学只去一个场馆。 (1)若6名同学去四个不同的场馆，每个场馆至少1人，且甲、乙在同一个场馆，丙、丁在 同一个场馆，求有多少种不同的分配方法？ (2)若6名同学去四个不同的场馆，每个场馆至少1人，求有多少种不同的分配方法？ (3)若6名同学去其中的三个不同的场馆，每个场馆至少1人，求有多少种不同的分配 方法？ 19.(17分) 已知函数f(x)=2lnx-x十a(a>0). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；： (2)讨论f(x)的单调性； (3)求证：1+号+号++>lh+1)+2mDn∈N~)。 【高二3月份调研测试·数学第4页（共4页）】■ ■ 山西2024-2025学年高二年级3月份调研测试 当布务智的养器斯蝶内生齐，湖性有期国健的斧影本意 事在将理具的害型国山在花，新达带螺的高 数学答题卡 15.13分) 16115分1 姓名 贴条形码区 准考 证号 性 1直筑车生论的地地的心的性书，能位时有往销的量结球量制料上们球世华，的名与中 支等生第卡青超+丹图情时博存海区城内青超，松出特国解酒用门重人地：卡琴丝原：大面型 得题龙色 选择题雨通超现墙净 1t41Lm1【11n3 5无4J1机1【■JL 11t.3t111D) ◆ = 81 4【4111[07 a.可1门Ee】 ID LA3 EHI EG3 EP2 非这挥通（利5商来纳摆色围本答平笔了 12(5分) 1B(5分) 4(5分) 请年点期打他济神打场内性带拼时与现说域活事技 安光题用的济据这域内性养想质写以的行来天量 壁存各精昌的部男以域九花想生清营点端的活营末效 ◆ 二植学题卡里配共2) ■ ■ ■ 请齐务利的州球算速行性节组出客和用日济率来 当留的济河事博内生有写性有国的将事天意 事有丹理具的器制明国山在花新社荷场的高生时 17.(15分》 1%(17分) 9,17分) 安光题用的济据这域内性养想质写以的行来天量 ◆ ◆ 画二植学题卡里2配共2) ■山西2024~2025学年高二年级3月份调研测试·数学 参考答案、解析及评分细则 1.B 不同的选择方案共有2×4一8种 2.B v-x'-3r*+1,所以当t-3时,v-28(m/s). 3.C 因为C=C(rN),所以r-2r+1或r+2r+1-7,解得=-1(舍去)或r-2,所以A-A-4×3-12. 5.C 按首位数字分别计算,当首位数字为6时,则剩余两位数分别是0,0,共有1个“吉祥数” 当首位数字为5时,则剩余两位数分别是1,0,共有2个“吉祥数”; 当首位数字为4时,则剩余两位数分别是1,1,或2,0,共有1十2一3个“吉祥数”; 当首位数字为3时,剩余两位数分别是2,1或3,0,共有2十2一4个“吉祥数” 当首位数字为2时,则剩余两位数分别是3,1或4.0或2,2,共有2十2+1-5个“吉祥数”. 当首位数字为1时,则剩余两位数分别是4,1或5,0或2,3,共有2十2十2一6个“吉祥数”. 则共有1+2+3+4十5+6-21个“吉祥数”. 6.A 由f(x)的图象可知,当x(一,0)时,函数单调递增,则/(x)0,故排除C、D;当x(0,十)时,f(x)先递增 再递减最后递增,所以所对应的导数值应该先大于0,再小于0,最后大于0,排除B,故选A. 7.B 令g(x)=xf(x),因为f(x)十xf(x)<o,所以g'(x)=f(x)十xf(x)>0,所以g(x)在B上单调递增,又f(-1)= 2.所以g(-1)--2,因此不等式(2x-3x)f(2.-3x) -2可化为g(2r-3x)<g(-1),所以2x-3x -1,解得 <c1,即不等式(2r*-3x)/(2r*-3x)<-2的解集为(,1). 8.D 第一步:先将3名教师全排,共有A种排法;第二步:将4名女同学“捆绑”在一起,共有A种排法;第三步:将“捆 绑”在一起的4名女同学作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有A种排法;第四步:首先将2名男同 学之中的一人,插入第三步后相邻的两名教师中间,然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中 1个,共有CC)种排法,所以不同的排法种数有:AAACC-1152种 9.BCD因为ln3是常数,所以(ln3)'-0.A错误;根据复合函数的求导法则知,(sin)'-一cos,B正确;()- 2/ 10.AB 每块区域都有4种选择,根据分步乘法原理,得4×4×4×4×4一4种不同涂法,A正确;若只用3种不同颜色. 且相邻区域不同色,则BD同色,AE同色,共有C·A一24种不同涂法,B正确;按照ABC的顺序涂,每一个区域需 要一个颜色,此时有4×3×2一24种涂法,涂D时,由于B.D同色(D只有一种颜色可选),又4种不同的颜色全部用 上,所以剩下一种的颜色涂E,故共有24×1一24种涂法,C错误;按照ABC的顺序涂,每一个区域需要一个颜色,此时 有4×3×2一24种涂法,当B.D不同色(D只有一种颜色可选),此时ABCD四块区域所用颜色各不相同,涂E只能用 与A同色,此时共有24种涂法,D错误. 11.BCD由f(x)=ar+br*}+9x-4,得/(x)-3a.x*+2bx+9,则/”(x)-6ax+2b,因为(2,-2)是对称中心,结合题设 中心“拐点”的定义可知,/”(2)-12a+2b-0且/(2)-8a+4b+18-4--2,解得a-1,b--6,A错误;f(x)- 6$r*+9x-4.则f(x)-3r*-12x+9-3(x-1)(x-3),令/(x)<0,得1<x<3;令f(x)0,得x1或x>3,所以 f(x)在(一o,1),(3,十)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以函数/(x)的极小值为/(3)=一4.B正确;令f(x) 一4,解得x一0或3,函数f(x)在区间(m,4)上存在最小值,由图1可知,n的取值范围为[0,3),C正确 【高二3月份调研测试·数学参考答案 第1页(共4页)】 ## 3.4) (2.) 图1 图2 设切点为(c,d),由f(x)--6r+9x-4,f(x)=3x*-12x+9-3(x-1)(x-3),得切线的斜率为-f(c)-3 12c+9,所以切线方程为y-d-(3c-12c+9)(x-c),即y-(-6c*+9c-4)=(3c-12c+9)(x-c).因为切线经过 点(3,m),所以m-(c-6c+9-4)-(3c-12c+9)(3-c),整理得m=-2+15c-36c+23.由题意可知关于c的 方程n=-2^+15^-36c+23有3个不等的根,令g(x)=-2x+15-36x+23,则g'(x)=-6x+30x-36.令$ g'(x)>0,得2<x<3:令g(x) 0,得x<2或x>3,所以g(x)在(-,2)和(3,+o)上单调递减,在(2,3)上单调递 增,所以g(x)的极小值为g(2)一一5,极大值为g(3)=一4.所以g(x)的大致图象如图2所示,由图象可知当一5 m 一4时,直线y=n与g(x)的图象有3个交点,即当一5m一4时,过(3,m)可以作三条直线与y=/(x)图象相切,D 正确. 12.120 6位密码,可先选择三个2的位置,共C一20种情况;再将剩余3个数字排列入剩余3个位置中,共A-6种情 况,则密码共有20×6-120种情况. 恒成立,设h(c)-x+4(c>0),则h'(cx)=1-4(+2)(xr-2),当x(2.3)时,n'(c)>0.所以i(.x)在(2.3)上单 $4.1设g(x)=f(x)=t,则g(x)=e-2=t.f(x)=lnx-1=t.则xr=ln(t+2)(t-2),=e.令h()= (一2,+c)上单调递增,又h(-1)-0,当一2 <-1时,h(t) 0,所以h(t)在(-2,-1)上单调递减;当t-1时; '(t)0,所以h(t)在(-1,十o)上单调递增,所以h(t)在t--1处取得最小值,h(-1)=1,故x。-x:的最小值为1. 15.解:f(..................2..-.... ............................................................. 3分 (1)/(0)+/()-0+n-1--1. (2)法-.'..)-2.x-s.i.x,令g(.)-22x-si.x.则'()-2-cosx0............................. 6分 所以g(x)单调递增,且g(0)-0. 所以当.o时,/F.c)v.1(.i)单调递减;当.xo时,'(.).y(.i)单调递增............... 10分 所以./.....................................分... 即f(0)-0+1十a-1--2,解得a一-2. .................................................. ... 法二:因为f(-x)=(-x)②+cos(-x)十a-1=x*+cosx十a-1-f(x). 所以..........................................................................................................6分. 【高二3月份调研测试·数学参考答案 第2页(共4页)】 当x0时,f(x)-2x-sinx. 设g(x)-f(x),则g(x)-2-cosx>0,所以g(x)在[0,+o)上单调递增, ............................... 所以g(x)g(0)=0,所以f(x)>0,所以f(x)在[0,+o)上单调递增. .............................. ..分 因为f(x)是偶函数,所以/(x)在(一o,0)上单调递减; ............................................................1分 所以f(x)m-f(0)-0+1+a-1=-2 解得a--2. (r十-5. 3+2y7, 16.解:(1)设取出x个红球,y个黑球,依题意可得 ..........................................................分 1<5. (13. (r-2[:-3. 因为x,yN',所以 立 ................................................................................5分 -3 -2. (注:学生直接写出红球、黑球个数,也给分) 所以符合题意的取法种数有CC+CC一40种. ..............................分 (2)总分为7分,则红球3个,黑球2个,将取出的球排成一排分两步完成, 第一步................................................................1.分 第二步再排,先把..黑球全排列,再...红球插空..,.有...1...........................12分 根据分步乘.计数理....排..3.....春6............1分 17.解:由 f.)=2.r--..-.-..,知/'(.)2....- 2..=2.(-.). .............................- 2分 (1)因为.2.为/(..)的..值点,,所以)..一-4..-....解得.c....................................4分 经检验a一e*}时,函数f(x)在(一,0).(2,+)上单调递增,在(0,2)上单调递减,/(x)在x-2处取得极小值,符合 题意, (2)当.......o0.... 0..-_.....................-.分. 所以当xo时,/(x)0;当o<xlna时,f(x)<0;当x>lna时,f(x)>0. ....................... 所以/fu.....-..)......调增......单调%..................-.分. 所以x.一0,x。-lna为f(x)的极值点, 所以f(x)+f(x)=f(o)+f(lna)-2a(lna-1)-a(lna)-2. 令g(a)-2a(lna-1)-a(lna):-2(a>1). 则g'(a)...-). ........ .........................1.2分.. 又g(e).-.-..2.,.所不.式 (... f(.).. 2..).................. 14分 所以a二e,即a的取值范围为e.十). 18.解:(1.)由题知,甲、乙在同一.个场馆,丙、丁在同一.个场馆,则另两名同学各在一.个场馆...............2分 所以共有A一24种不同的分配方法. (2)若6名同学去四个不同的场馆,每个场馆至少1人,先将6名同学分组,有两种分法;2、2、1、1;3、1、1、1;再分配去4 个不同的场馆: (3)6名同学去其中的三个不同的场馆,每个场馆至少1人,可看成6名同学去4个不同的场馆,恰有一个场馆0人. 【高二3月份调研测试·数学参考答案 第3页(共4页)】 先将6名同学分组,有三种分法:4、1、1、0;3、2、1、0;2、2、2、0;再分配去4个不同的场馆,.............13分 .....................................分 19.(1)解:当a-2时:/(x)-2lnx-x+2./(c)-2-1-2. ..................................... ... 所以......................................................分. 所以曲线y一fx)在点(1.f(!)处的切线方程为y-1.-(x-1),即x十y-2-0......................3分 (2)解:(x)-2lnx-x+(x>o),则/(c)-2-1---*+2x-a. _} .......................................分 2 { 对于方程-r+2x-a-0,△-4-4a 当△-4-4a<0,即a1时,-r^*+2x-a 0,f(x)<0,函数f(x)在(0,+o)上单调递减; ......................5分 当△=4-4a>0,即0<a<1时,方程-x+2x-a=0有两不等根,x=1+ 1-a,x=1-v1-,且x>x>0. 所以当x>x或0xx:时,/(x)0;当x<xx时,/(x)>0. 即函数f(x)在(0,1-1-a),(1十1-a,+o)上单调递减,在(1-1-a,1+1-a)上单调递增 .......7分 综上所述,当a1时,函数/(x)的单调递减区间为(0,十),无单调递增区间; 当0a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(1-v1-a,1+1-a),单调递减区间为(0,1-1-ā),(1+1-a, 十)......................................................................................................................分 (3)证明:..知,当.-.1.时,.函.-.(-).2...-.x-在(..-o.)上?单调减,...9分 又/(1)-0,所以当x>1时,/(x)-2lnx-.+1<o. 即当x>1时,2lnx-1 .......................................................................................... ..分 2 因为“11,所以21n+11-1 十1= nn1' ........................................... 7 即2ln(n+1)-2lnn-11 _' 所以2ln2-2ln1<1+, 1 21n3-212 累加可得 2#n(+1分)211+++1+0#++1# 即2n(1)>2(1++1+)-(1-)-(1++1+)-1. .......................6分 【高二3月份调研测试·数学参考答案 第4页(共4页)】