八年级数学下学期期中测试卷【北师大版，测试范围：三角形的证明～因式分解】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形的证明~因式分解（北师大版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 3．（3分）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） 4．（3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H． 下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．点C是BH中点 C．AC平分∠BAD D．S△ABCBC•AD 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 6．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列选项不正确的是（　　） A．y2随x的增大而减小 B．函数y＝bx+d的图象不经过第二象限 C．2a﹣2c＝b﹣d D．a+b+c+d＜0 8．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 9．（3分）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDES△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）分解因式：4m﹣m2＝ 　 　． 12．（3分）已知在△ABC中，∠A＝70°，过点B的一条直线将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 　 　． 13．（3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，将直角三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到直角三角形EFG，EF与AC交于点H，且AH＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 14．（3分）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 　 　m． 15．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 　 　． 16．（3分）如图，△ABC中，AB＝15，BC＝4，∠B＝60°，在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DE⊥AB于E，则AE的长为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）因式分解： （1）8a3b2+12a3bc； （2）（x﹣2）2﹣x+2． 18．（8分）（1）解不等式：； （2）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 19．（8分）如图，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（0，4）、C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C绕某一点旋转得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　 　． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC． （1）求证：∠BAD＝2∠MAN； （2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC． 21．（8分）“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 22．（10分）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合所学研究函数的方法，我们研究函数y＝﹣2|x|+b性质及其应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）b＝　 　，m＝　 　，n＝　 　； （2）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确（正确的打√，错误的打×）； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ 　 　） ②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．（ 　 　） （4）请在同一平面直角坐标系中再画出函数y＝2x﹣4的图象，结合函数y＝﹣2|x|+b的图象，直接写出不等式﹣2|x|+b＞2x﹣4的解集 　 　． 23．（10分）学习了乘法公式（a+b）2＝a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式x2+4x+3因式分解； ①x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1＝（x+3）（x+1）＝（x+2+1）（x+2﹣1） ②求多项式x2+4x+3的最小值． ②由①，得x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2﹣1≥﹣1．所以，当x＝﹣2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为﹣1． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式x2+4x﹣5因式分解； （2）求多项式m2+8m﹣6的最小值； （3）若多项式P＝x2﹣x，Q＝x﹣2比较多项式P，Q的大小． 24．（12分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形的证明~因式分解（北师大版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项正确，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（3分）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） 【分析】根据因式分解的定义进行选择即可． 【解答】解：A、x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）是因式分解； B、（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，是整式的乘法，不是因式分解； C、x2+4x+4＝x（x﹣4）+4，是整式的乘法，不是因式分解； D、x2+y2＝（x+y）（x﹣y），是整式的乘法，不是因式分解； 故选：A． 4．（3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H． 下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．点C是BH中点 C．AC平分∠BAD D．S△ABCBC•AD 【分析】利用基本作图可判断BH垂直平分AD，则根据线段垂直平分线的性质得到AH⊥BC，AH＝DH，然后根据三角形面积公式可判断D选项正确． 【解答】解：由作法得BH垂直平分AD， 所以AH⊥BC，AH＝DH， 所以S△ABCBC•AHBC•AD． 故选：D． 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【分析】先根据角平分线的性质定理证得AD＝DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为13和3证得AB＝BE＝5． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴AD＝DE， 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB＝BE， ∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3， ∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3， ∴AB+BE＝10， ∴AB＝BE＝5． 故选：D． 6．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先写出给出命题的逆命题，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，对顶角相等的性质，等腰三角形的性质对各小题判断后即可进行解答． 【解答】解：（1）到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上是正确的，故逆命题正确； （2）相等的角是对顶角是错误的，故逆命题错误； （3）在三角形中，相等的边所对的角也相等是正确的，故逆命题正确； （4）角的平分线上的点到角的两边距离相等是正确的，故逆命题正确． 所以（1）（3）（4）正确． 故选：C． 7．（3分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列选项不正确的是（　　） A．y2随x的增大而减小 B．函数y＝bx+d的图象不经过第二象限 C．2a﹣2c＝b﹣d D．a+b+c+d＜0 【分析】A、根据函数图象直接得到结论； B、根据b、d的符号即可判断； C、当x＝3时，y1＝y2； D、当x＝1时，根据图象得不等式． 【解答】解：由图象可得：对于函数y2＝cx+d来说，y随x的增大而减小，故A正确； 由于b＞0，d＜0， ∴函数y＝bx+d的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故B正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为﹣2， ∴﹣2a+b＝﹣2c+d， ∴2a﹣2c＝b﹣d，故C正确； 当x＝1时，y1＝a+b，y2＝c+d，由图象可知|y1|＞|y2|， ∴a+b＞﹣（c+d），即a+b+c+d＞0，故D错误； 故选：D． 8．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 【分析】根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，可得答案． 【解答】解：解关于x的不等式组， 由①得：x＞a﹣2， 由②得：x≤1， ∵不等式组无解， ∴a﹣2≥1， ∴a≥3． 故选：A． 9．（3分）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】证明△BO'A≌△BOC，即可得到O'A＝OC＝4，S△AO′B＝S△BOC，根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，则OO'＝OB＝2，利用勾股定理的逆定理判断△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°，利用四边形AOBO'的面积＝等边△BOO'面积+Rt△AO′O面积＝△AO'B面积+△AOB的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积，进行计算即可判断． 【解答】解：在△BO'A和△BOC中，BO'＝BO，∠O'BA＝∠OBA，BA＝BC． ∴△ABO'≌△BOC（SAS）． ∴O'A＝OC＝4． 如图，连接OO’， 根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形， ∴OO'＝OB＝2， 在△AOO'中，AO＝2，OO'＝2，AO'＝4， ∴△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°． ∴Rt△AOO''面积为2， ∵等边△BOO'面积为3， ∴四边形AOBO'的面积为5， ∵△ABO'≌△BOC， ∴四边形AOBO'的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积， ∴S△ABC﹣S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝5． 故选：A． 10．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDES△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题． ②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA＝PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH＝PD即可解决问题． ③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可． ④错误，可以证明S四边形ABDE＝2S△ABP． ⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠BAP＝∠PFD， 在△APH和△FPD中， ， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴PH＝PD， ∴AD＝AP+PD＝PF+PH．故②正确． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∴S△APH＝S△AED，故⑤正确， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． 若DH平分∠CDE，则∠CDH＝∠EDH， ∵DH∥BE， ∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE， ∴∠CDE＝∠ABC， ∴DE∥AB， 这个显然与已知条件不符，故③错误， 综上所述，正确的结论有3个， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）分解因式：4m﹣m2＝ 　﹣m（m﹣4）　． 【分析】运用提公因式法进行变形、分解． 【解答】解：4m﹣m2 ＝﹣m2+4m ＝﹣m（m﹣4）， 故答案为：﹣m（m﹣4）． 12．（3分）已知在△ABC中，∠A＝70°，过点B的一条直线将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 　20°，27.5°，35°　． 【分析】分三种情况讨论：①当∠A为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DBA为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 【解答】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠ABD＝∠BDA（180°﹣70°）＝55°， 又∵△BDC是等腰三角形，DB＝DC， ∴∠C∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠A＝70°， ∴∠ABD＝∠A＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△BDC是等腰三角形，DB＝DC， ∴∠C∠ADB＝20°； ③当∠DBA为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠A＝70°， 又∵△BDC是等腰三角形，DB＝DC， ∴∠C∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 13．（3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，将直角三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到直角三角形EFG，EF与AC交于点H，且AH＝2，则图中阴影部分的面积为 　8　． 【分析】析根据平移的性质可得S△EFG＝S△ABC，则阴影部分的面积＝梯形CGEH的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【解答】解：∵Rt△ABC沿BC的方向平移BF距离得△EFG， ∴EG＝AC＝5，S△EFG＝S△ABC， ∴S△EFG﹣S△CFH＝S△ABC﹣S△CFH， ∴S梯形CGEH＝S梯形ABFH， ∵CH＝AC﹣AH＝5﹣2＝3，CG＝BF＝2，EG＝5， ∴． ∴S梯形ABFH＝8， 即图中阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 14．（3分）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 　120　m． 【分析】设小明到A站之间的距离为x m，小明的速度为v m/s，则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5v m/s，利用时间＝路程÷速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设小明到A站之间的距离为x m，小明的速度为v m/s，则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5v m/s， 根据题意得：， 即5x≤720﹣x， 解得：x≤120， ∴小明到A站之间的距离最大为120m． 故答案为：120． 15．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 　3≤a＜4　． 【分析】先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组有四个整数解进行分析，即可得到答案． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≤a， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组的整数解共有4个， 则这四个整数解为：0，1，2，3， 当3≤a＜4时，不等式组的整数解为：0，1，2，3， ∴3≤a＜4． 故答案为：3≤a＜4． 16．（3分）如图，△ABC中，AB＝15，BC＝4，∠B＝60°，在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DE⊥AB于E，则AE的长为 　　． 【分析】由SAS可证△ABC≌△DHC，可得AB＝DH＝15，∠DHC＝∠B＝60°，由直角三角形的性质可求EHDH，即可求解． 【解答】解：在AB上截取BH＝BC＝4，连接DH，CH， ∵∠B＝60°，BH＝BC＝4， ∴△BCH是等边三角形， ∴CH＝BC＝BH，∠BCH＝60°＝∠B， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°＝∠BCH， ∴∠BCA＝∠HCD， ∴△ABC≌△DHC（SAS）， ∴AB＝DH＝15，∠DHC＝∠B＝60°， ∴∠AHD＝60°， ∵DE⊥AB， ∴∠EDH＝30°， ∴EHDH， ∴AE＝AB﹣BH﹣EH， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）因式分解： （1）8a3b2+12a3bc； （2）（x﹣2）2﹣x+2． 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝4a3b（2b+3c）； （2）原式＝（x﹣2）2﹣（x﹣2） ＝（x﹣2）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣3）． 18．（8分）（1）解不等式：； （2）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣1）， 去括号，得：4x﹣2＞9x﹣3， 移项，得：4x﹣9x＞﹣3+2， 合并同类项，得：﹣5x＞﹣1， 化系数为1，得：x； （2）， 由①得：x≤3， 由②得：x＞2， 故此不等式组的解集为：2＜x≤3， 在数轴上表示为： 19．（8分）如图，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（0，4）、C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C绕某一点旋转得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　（，﹣1）　． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转180°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）找出平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示， （2）△A2B2C2如图所示； （3）如图，旋转中心P为（，﹣1）； 故答案为：（，﹣1）． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC． （1）求证：∠BAD＝2∠MAN； （2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC． 【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，根据等腰三角形的三线合一得到∠3＝∠4，同理得到∠1＝∠2，证明结论； （2）根据四边形的内角和等于360°求出∠BCD，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵M是CD的中点，AM⊥CD， ∴AM是线段CD的垂直平分线， ∴AC＝AD，又AM⊥CD， ∴∠3＝∠4， 同理，∠1＝∠2， ∴∠2+∠3∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN； （2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°， ∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°， ∠BAD＝2∠MAN＝140°， ∵AB＝AC，AD＝AC， ∴AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝20°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°． 21．（8分）“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【分析】（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据“购进腊梅5束，百合3束，需要114元；购进腊梅8束，百合6束，需要204元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进腊梅m束，则购进百合（80﹣m）束，根据“购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，利用总利润＝每束花的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； （2）设购进腊梅m束，则购进百合（80﹣m）束， 根据题意得：， 解得：30≤m≤48， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则w＝（20﹣12）m+（30﹣18）（80﹣m）， 即w＝﹣4m+960， ∵﹣4＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝30时，w取得最大值，最大值＝﹣4×30+960＝840（元），此时80﹣m＝80﹣30＝50（束）． 答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元． 22．（10分）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合所学研究函数的方法，我们研究函数y＝﹣2|x|+b性质及其应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）b＝　2　，m＝　﹣2　，n＝　0　； （2）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确（正确的打√，错误的打×）； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ 　√　） ②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．（ 　√　） （4）请在同一平面直角坐标系中再画出函数y＝2x﹣4的图象，结合函数y＝﹣2|x|+b的图象，直接写出不等式﹣2|x|+b＞2x﹣4的解集 　x　． 【分析】（1）把x＝0，y＝2代入y＝﹣2|x|+b，根据待定系数法即可求得b＝2，将x＝﹣2和x＝1分别代入函数y＝﹣2|x|+2即可求解出m、n， （2）利用描点法画出图象； （3）观察图象即可判断； （4）求得交点坐标，根据图象即可求得结论． 【解答】解：（1）把x＝0，y＝2代入y＝﹣2|x|+b得，b＝2， ∴y＝﹣2|x|+2， 将x＝﹣2代入函数y＝﹣2|x|+2得，y＝﹣2×|﹣2|+2＝﹣2， ∴m＝﹣2， 将x＝1代入函数y＝﹣2|x|+2得，y＝﹣2×|1|+2＝0， ∴n＝0， 故答案为：2，﹣2，0； （2）画出函数图象如图， ； （3）观察图象可知： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大． 故答案为：√；√； （3）在坐标系中，画出直线y＝2x﹣4如图， 解，得， ∴直线y＝2x﹣4与y＝﹣2|x|+2的交点为（，﹣1）． 由图象可知：不等式﹣2|x|+b＞2x﹣4的解集是x． 故答案为：x． 23．（10分）学习了乘法公式（a+b）2＝a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式x2+4x+3因式分解； ①x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1＝（x+3）（x+1）＝（x+2+1）（x+2﹣1） ②求多项式x2+4x+3的最小值． ②由①，得x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2﹣1≥﹣1．所以，当x＝﹣2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为﹣1． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式x2+4x﹣5因式分解； （2）求多项式m2+8m﹣6的最小值； （3）若多项式P＝x2﹣x，Q＝x﹣2比较多项式P，Q的大小． 【分析】（1）根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可； （2）先配方，再利用（a±b）2≥0即可解决问题； （3）利用作差法及配方法求解即可． 【解答】解：（1）x2+4x﹣5 ＝x2+4x+4﹣9 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）； （2）m2+8m﹣6＝m2+8m+16﹣22＝（m+4）2﹣22， ∵（m+4）2≥0， ∴（m+4）2﹣22≥﹣22， ∴多项式m2+8m﹣6的最小值﹣22． （3）∵P＝x2﹣x，Q＝x﹣2， ∴P﹣Q＝x2﹣x﹣（x﹣2）＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+1≥1， ∴P﹣Q＞0即P＞Q． 24．（12分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C． 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$