培优专题 一元一次不等式（组）01 推理与运算（知识盘点+8题型+1易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

培优专题 一元一次不等式（组）01 推理与运算 一元一次不等式（组）的相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 例：一元一次不等式5x-10>0（只含有一个未知量，未知量的次数为1） ·不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 ·不等式的解集：不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式 ·一元一次不等式组：由几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 ·不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分 某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． （24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 审题关键:熟练掌握一元一次不等式的三个条件,建立关于待定字母的方程是解答本题的关键. 【解题技巧反思】 紧抓三条件,巧求字母值利用一元一次不等式的概念 同学们，我们在解此类题时，一定要时刻紧扣一元一次不等式的三个条件:(1)含有一个未知数，(2)未知数的次数是1,(3)不等号两边都是整式,列方程求解.可以简记：“非0双1整”. 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）下列命题正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 不等式解集的表示 ·不等式的解集：所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·不等式解集的表示方法： 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别注意】在数轴上表示不等式的解集 ①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 不等式的解集中是否一定有无限多个数？ 不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？ 不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？ 定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 解一元一次不等式 ·方法：根据不等式的基本性质求不等式的解集. ·一般步骤： ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 ⑤系数化1：应用不等式基本性质2、3，两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 解下列不等式： （1）； （2）． 已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解一元一次不等式组 ·解一元一次不等式组的一般步骤： ①分别解出不等式的解集； ②在同一数轴表示不等式的解集； ③找到解集的公共部分； ④写出不等式组的解集。  解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并写出所有整数解． 列一元一次不等式(组)解实际问题 列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、答 ①审题； ②设未知数，找（不等量）关系式； ③（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； ④解不等式组；检验并作答。 （23-24八年级下·陕西西安·期末）安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个数室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． (1)求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． (2)求在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数． 列不等式组并求解 例1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示数分别为，，且点A在点B的左侧． (1)求m的取值范围； (2)若点C表示的数在点A和点B之间，求m的取值范围． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，例如：，求的解集． 不等式的基本性质 例2．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 【变式2】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 求不等式的特殊解 例3．不等式的非负整数解为 ． 审题关键:先求出不等式的解集,再根据题目要求在解集中确定相应的特殊解. 【变式3】已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题技巧总结】 求不等式的特殊解的两种方法 方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解. 方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解. 不等式组与方程组结合问题（重难点） 例4．已知且，则k的取值范围为 ． 破题思路: 思路①:将k看作已知数,通过解方程组求出x,y,再利用,列出关于k的不等式组求解. 思路②:可直接将方程组中的两个方程作差（下-上），得到x-y的表达式，然后列不等式进行求解. 【变式4-1】已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： 阅读理解： 解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得；解不等式组得． ∴原不等式的解集为或． 问题解决： (1)根据以上材料，不等式的解集为________， (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【变式4-3】已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解、互为相反数．求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式4-4】已知关于、的方程组，其中，有下列说法：①当时；②是原方程组的解；③无论为何值时，；④若设，则；以上说法正确的是 ． 【解题技巧总结】 解决不等式与方程组的综合问题的方法 解决此类问题的常规方法是先将所求字母看作已知数，用含有字母参数的代数式表示出方程组的解,再列出关于所求字母的不等式，依据不等式的性质求出解集，确定所求字母的取值范围如果所给的方程组的系数比较特殊，那么可以考虑将两个方程相加或相减，得到需要的代数式，利用整体思想求解，而不必解方程组. 已知不等式(组)的解集求待定字母的值 例5．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 破题思路:将未知字母m、n看作已知数,解不等式组，再通过解集为求n-m的值. 【变式5-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如果关于的不等式的解集恰为关于的不等式的解集，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为 ． 根据不等式组的整数解的个数求字母的范围（选择、填空压轴题高频考点） 例6．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 审题关键:先表示出不等式组的解集,列出关于未知字母的不等式，再借助数轴做出正确的取舍. 破题思路:首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【变式6-1】如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【变式6-3】已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题技巧总结】 数形结合求解“已知不等式解集求字母参数”问题 已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，再利用数轴确定大致范围，验证“临界点”是否满足条件，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 转化条件为一元一次不等式·求代数式的最值 例7．已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 【变式7-1】已知关于x，y的方程满足方程组， （1）若，求m的值； （2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； （3）在（2）的条件下求的最小值及最大值． 【变式7-2】已知，则代数式最大值与最小值的差是 ． 【解题技巧总结】 应用分类讨论思想解“绝对值不等式” ①根据绝对值的意义对绝对值里的代数式进行正负分类讨论——去绝对值； ②分别解不等式：在含有其他未知字母的不等式中，必要时可利用数轴进行分析，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 例8．当三个非负实数x、y、z满足关系式与时，的最小值和最大值分别是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【变式8-2】已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 【解题技巧总结】 应用“换元”、“消元”法解求代数式的最值 ①换元：将多元方程变形，用一个未知元表示其他未知元； ②消元：代入消元 与不等式运算相关的新定义型数学阅读理解 例9．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 例10．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【变式10】若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 例11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【变式11】我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 一元一次不等式的系数含字母时没有对系数进行分类讨论 解关于的不等式：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：可化为 ． 当，即时，不成立，所以无解； 当，即时，依据不等式的性质，可得； 当，即时，依据不等式的性质，可得． 【防错警示】 本题易错误地认为，而直接得出． 因为的值未知，的符号不明确，所以当不等式的两边都除以时应分类讨论的取值，的取值不同，的取值范围也不同． 1.不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合该解集的不等式组为（   ）    A． B． C． D． 2.已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于 x 的不等式组有且仅有2个偶数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 . 5.关于x的不等式组 （1）当m=1时，解该不等式组； （2）若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是______________________． 6.已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 7．（1）关于的不等式有 个整数解； （2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ； （3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和． 8.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 9.新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． ※（柯西不等式）10.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，…，；，，，…，，则，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立． (1)请你写出并证明柯西不等式的二元形式（即取2）； (2)设是边长为1的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值； (3)已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一元一次不等式（组）01 推理与运算 一元一次不等式（组）的相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 例：一元一次不等式5x-10>0（只含有一个未知量，未知量的次数为1） ·不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 ·不等式的解集：不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式 ·一元一次不等式组：由几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 ·不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分 某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． （24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，，进行求解即可． 解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 审题关键:熟练掌握一元一次不等式的三个条件,建立关于待定字母的方程是解答本题的关键. 【解题技巧反思】 紧抓三条件,巧求字母值利用一元一次不等式的概念 同学们，我们在解此类题时，一定要时刻紧扣一元一次不等式的三个条件:(1)含有一个未知数，(2)未知数的次数是1,(3)不等号两边都是整式,列方程求解.可以简记：“非0双1整”. 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）下列命题正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质（同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变；同时加上或减去一个数，不等式符号不变；同时除以或乘上一个负数，不等式符号改变），熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴当时，不一定成立， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C符合题意； ∵， ∴当时不成立，， 故D不符合题意； 故选C． 下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 不等式解集的表示 ·不等式的解集：所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围，它可以是无限多个数、也可以是有限个数. ·不等式的解与不等式的解集的区别与联系 区别： 不等式的解：满足不等式的未知数的某个值，可以有“无数个”； 不等式的解集：满足不等式的未知数的所有值，不等式确定,它的解集也就确定 联系： 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 ·不等式解集的表示方法： 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别注意】在数轴上表示不等式的解集 ①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 不等式的解集中是否一定有无限多个数？ 不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？ 不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？ 【答案】见分析. 解：根据不等式的解集的定义和非负数的性质，绝对值的性质解题. 解：不等式的解集中不一定有无数多个数. |x|≤0的解集是x=0，x2＜0无解. x2＞0的解集为x＞0或x＜0， x2+4＞0的解集为一切实数. 定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 解一元一次不等式 ·方法：根据不等式的基本性质求不等式的解集. ·一般步骤： ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 ⑤系数化1：应用不等式基本性质2、3，两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可 解：（1）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：． 已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 解一元一次不等式组 ·解一元一次不等式组的一般步骤： ①分别解出不等式的解集； ②在同一数轴表示不等式的解集； ③找到解集的公共部分； ④写出不等式组的解集。  解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 解：（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． 将不等式组的解集在数轴上表示如图． ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集是． 将不等式组的解集在数轴上表示如图． ． 解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并写出所有整数解． 【答案】，在数轴上表示不等式组的解集见分析，所有整数解为，0，1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，找满足要求的整数解．先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集，即可找到满足要求的整数解． 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 将解集在数轴上表示如解图： 则所有整数解为，0，1． 列一元一次不等式(组)解实际问题 列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、答 ①审题； ②设未知数，找（不等量）关系式； ③（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； ④解不等式组；检验并作答。 （23-24八年级下·陕西西安·期末）安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个数室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． (1)求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． (2)求在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数． 【答案】(1)每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人； (2)在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数为45． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组应用，一元一次不等式应用等． （1）根据题意设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人，列出关于x和y的方程组即可得到本题答案； （2）设每间教室最多容纳学生m人，列出关于m的不等式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人． 由题意，得， 解得． 答：每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人． （2）解：设每间教室最多容纳学生m人． 由题意，得， 解得． 答：在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数为45． 列不等式组并求解 例1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示数分别为，，且点A在点B的左侧． (1)求m的取值范围； (2)若点C表示的数在点A和点B之间，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式， （1）先观察数轴，根据点A与点B在数轴上的位置，列出关于m的不等式，解不等式求出的取值范围即可； （2）先分别求出点A与点C、点B的位置确定关于m的不等式组，求解集即可； 解题关键是理解数轴上两点的位置表示数的大小关系． 【详解】（1）由题意，得 移项、合并同类项，得， 两边都除以5，得， ∴m的取值范围是； （2）由题意，得 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为． 由（1）得，， ∴m的取值范围是． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，例如：，求的解集． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组．理解题意并正确的解一元一次不等式组是解题的关键． 由题意知，然后求解集即可． 【详解】解：由题意知， 解①得：， 解2得：， ∴的解集为． 不等式的基本性质 例2．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据变形后不等号是否改变判断是用性质2还是性质3进行的变形,从而列出不等式求解. 解：∵关于x的不等式可化为， ∴ 解得 故答案为：． 【变式2】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 求不等式的特殊解 例3．不等式的非负整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 审题关键:先求出不等式的解集,再根据题目要求在解集中确定相应的特殊解. 【变式3】已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即可． 解：∵点在第二象限， ∴， 解得：，因为点M的坐标都是整数， 所以． 故选：C． 【解题技巧总结】 求不等式的特殊解的两种方法 方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解. 方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解. 不等式组与方程组结合问题（重难点） 例4．已知且，则k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】由得：，再代入，再解不等式组即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程组与一元一次不等式组的综合题，熟练的利用整体未知数法解题是解本题的关键． 破题思路: 思路①:将k看作已知数,通过解方程组求出x,y,再利用,列出关于k的不等式组求解. 思路②:可直接将方程组中的两个方程作差（下-上），得到x-y的表达式，然后列不等式进行求解. 【变式4-1】已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式4-2】同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： 阅读理解： 解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得；解不等式组得． ∴原不等式的解集为或． 问题解决： (1)根据以上材料，不等式的解集为________， (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的乘法，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）先求解出二元一次方程组的解用含m的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负， 故原不等式可以转化为或 解不等式组无解； 得， 综上所述，不等式的解集为：， 故答案为：； （2）解：解方程组 得 ∵， ∴或 ∴解得． 或此不等式组无解． 综上所述，m的取值范围是． 【变式4-3】已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解、互为相反数．求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 解：（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 【变式4-4】已知关于、的方程组，其中，有下列说法：①当时；②是原方程组的解；③无论为何值时，；④若设，则；以上说法正确的是 ． 【答案】①③④ 【知识点】加减消元法、不等式的性质 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式的性质，掌握解方程组的方法及不等式的性质是解题的关键．①解出方程组的解为，将代入即可判定；②代入方程组，得到关于的一元一次方程组，消去即可判定；③将方程组①②，即可判定；④将方程组的解代入，可得，结合即可判定． 【详解】 ，得，那么 ，得，那么 方程组的解为： 当时，代入， 解得，故①正确； 将代入方程组，得到 ③④，得，矛盾，故②错误； ①②，得，整理得，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①③④ 【解题技巧总结】 解决不等式与方程组的综合问题的方法 解决此类问题的常规方法是先将所求字母看作已知数，用含有字母参数的代数式表示出方程组的解,再列出关于所求字母的不等式，依据不等式的性质求出解集，确定所求字母的取值范围如果所给的方程组的系数比较特殊，那么可以考虑将两个方程相加或相减，得到需要的代数式，利用整体思想求解，而不必解方程组. 已知不等式(组)的解集求待定字母的值 例5．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集确定参数，解一元一次不等式组；先求出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集与所求不等式组解集比较即可求得m与n的值，从而求出的值． 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：； 由于不等式组的解集为， 所以， 则， 所以； 故选：A． 破题思路:将未知字母m、n看作已知数,解不等式组，再通过解集为求n-m的值. 【变式5-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如果关于的不等式的解集恰为关于的不等式的解集，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，先分别求出了各不等式的解集，即可得出关于a的方程，求出a的值即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式的解集恰为关于的不等式的解集， ∴， 解得， 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即可． 解：∵点在第二象限， ∴， 解得：，因为点M的坐标都是整数， 所以． 故选：C． 【变式5-3】若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一元一次不等式组的解集求参数，不等式组的整数解，由一次函数的图象可得，得到，又根据不等式组的解集可得，即得，得到的整数值，把它们相加即可求解，掌握一次函数的图象和解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， 又不等式组， 由得，， 由得，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴的取值范围为， ∴的整数值为，，，，， ∴满足所有条件的整数之和为， 故答案为：． 根据不等式组的整数解的个数求字母的范围（选择、填空压轴题高频考点） 例6．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 审题关键:先表示出不等式组的解集,列出关于未知字母的不等式，再借助数轴做出正确的取舍. 破题思路:首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【变式6-1】如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】首先根据不等式组得出不等式组的解集为，再由恰好有3个整数解可得的取值范围． 此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：不等式组恰有3个整数解，它们是，，；如图， 由图象可知，需要满足条件：． 故选：C． 【变式6-2】若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解，再根据已知得出答案即可． 解：， ∵解不等式①得：， 又∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解，根据不等式的性质先求出，，再求出原不等式组的整数解为，，，，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组有四个整数解， 原不等式组的整数解为，，，， ， ． 故答案为：A． 【变式6-4】（23-24八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于a的不等式组，再求出解集即可． 【详解】解：关于x的不等式组有解， 解得：， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴， 解得 故选：D． 【变式6-5】已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【解题技巧总结】 数形结合求解“已知不等式解集求字母参数”问题 已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，再利用数轴确定大致范围，验证“临界点”是否满足条件，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 转化条件为一元一次不等式·求代数式的最值 例7．已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 【答案】 8或 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，一次函数的性质，解一元一次不等式等知识点， (1)把代入，再根据一次函数的性质即可求解； (2)根据一次函数的性质，分三种情况讨论，即可求解； 熟练掌握绝对值的性质，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】(1)当时，， ∵， ∴y随着x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， 当时，， .∵， ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴ ∴y的取值范围为：， 故答案为：； (2)  当时，， ∵，x越大，越小， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，x越大，越大， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，y在时取得最小值， ∵y有最小值5， ∴， ∴， ∵不满足这个条件， ∴舍去， 综上所述：a的值是8或， 故答案为：8或． 【变式7-1】已知关于x，y的方程满足方程组， （1）若，求m的值； （2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； （3）在（2）的条件下求的最小值及最大值． 【答案】（1）；（2）2；（3）的最小值为，最大值为9 【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组， （1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x、y，代入求出m的值即可； （2）根据x、y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （3）把表示出的x与y代入s，利用求出最大值与最小值即可． 解：（1） 得：得： 将代入②得， 解得③ 把和代入， ， 解得； （2）∵x，y，m均为非负数， ∴ ∴； （3）∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 答：的最小值为，最大值为9． 【变式7-2】已知，则代数式最大值与最小值的差是 ． 【答案】/ 【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，；当a为0时，；当a为负时，． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式组得：； ①当时，， ∵， ∴， 即此时有最小值，最大值6； ②当时，， ∴当时的值恒等于6； 综上所述：的最小值是，最大值是6 ∴最大值与最小值的差是. 故答案为：. 【点拨】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质． 【解题技巧总结】 应用分类讨论思想解“绝对值不等式” ①根据绝对值的意义对绝对值里的代数式进行正负分类讨论——去绝对值； ②分别解不等式：在含有其他未知字母的不等式中，必要时可利用数轴进行分析，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 例8．当三个非负实数x、y、z满足关系式与时，的最小值和最大值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关系式与求出y和z与x的关系式，又因x、y、z均为非负实数，求出x的取值范围，于是可以求出M的最大值和最小值． 解：由得： ， 代入M的表达式中得， ， 又因x、y、z均为非负实数， 所以， 即， 当时，M有最小值为， 当时，M有最大值为7． 故选：B． 【点拨】本题主要考查函数最值问题的知识点，解答本题的关键是把y和z用x表示出来，此题难度不大． 【变式8-1】已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可． 【详解】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最大值为， ∴， ∴， 解得，， ∴的最大值为， 同理，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式8-2】已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了整式的混合运算和完全平方的非负性，及不等式的基本性质． 先将整理成，然后将已知条件所给的式子整体代入得结果为．根据和，求出的取值范围，即可求出的最小值，即的最小值． 熟练掌握完全平方的非负性，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ． ， ． ， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 【解题技巧总结】 应用“换元”、“消元”法解求代数式的最值 ①换元：将多元方程变形，用一个未知元表示其他未知元； ②消元：代入消元 与不等式运算相关的新定义型数学阅读理解 例9．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ，， ； （2）解：， 不等式可转化为：， ； （3）解：， 不等式可转化为：， ， 不等式组组的解集为， ， ． 【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． 例10．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 【变式10】若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是 (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 例11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 【变式11】我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 一元一次不等式的系数含字母时没有对系数进行分类讨论 解关于的不等式：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：可化为 ． 当，即时，不成立，所以无解； 当，即时，依据不等式的性质，可得； 当，即时，依据不等式的性质，可得． 【防错警示】 本题易错误地认为，而直接得出． 因为的值未知，的符号不明确，所以当不等式的两边都除以时应分类讨论的取值，的取值不同，的取值范围也不同． 1.不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合该解集的不等式组为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集以及解一元一次不等式组，先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可． 解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，该不等式组的解集为：， A、的解集是：，故本选项不合题意； B、的解集是：，故本选项符合题意； C、无解，故本选项不合题意； D、的解集是：，故本选项不合题意． 故选：B． 2.已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A 3.已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 4.（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于 x 的不等式组有且仅有2个偶数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 . 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程，先求得每个不等式组的解集，再根据已知不等式组解集满足的条件得到关于a的不等式，然后求得a的范围，再根据一元一次方程解的情况可得所有a的值，然后求和即可． 【详解】解：解不等式组得， ∵该不等式组有且仅有2个偶数解， ∴，解得； 解得， ∵该方程的解为非负整数， ∴a的值为，和， 它们的和为， 故答案为：． 5.关于x的不等式组 （1）当m=1时，解该不等式组； （2）若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是______________________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将m=1代入不等式组，求出两个不等式的解集，再求交集即可； （2）同（1）求出不等式组的解集为，由该不等式组有解但无整数解，可得，解不等式组即可求出m的取值范围． 解：（1）解：当m=1时，不等式组为 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集为：． （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集为：， 该不等式组有解，但无整数解， ， 解得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，根据“该不等式组有解，但无整数解”得到关于m的不等式组． 6.已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 7．（1）关于的不等式有 个整数解； （2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ； （3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和． 【答案】 4 2 4 【知识点】一元一次方程解的综合应用、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式，不等式组的整数解问题，解一元一次方程，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接找出的范围内的整数即可； （2）先求出不等式组的解集为，满足题意得，解方程即可； （3）由题意得：，化简得到，由于和为常数，且为整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：在的范围内整数为， ∴有4个， 故答案为：4． （2）解： 由①得：； 由②得：， 则不等式组的解集为：， ∵方程组恰有5个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：2． （3）解：由题意得：， 化简得：， ∵和为常数，且为整数， ∴只有或， ∴有， ∴有4组满足题意的和， 故答案为：4． 8.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 【答案】（1）3；（2）①点的坐标为或；②2；（3）点与的“识别距离”的最小值为 【知识点】绝对值的意义、不等式的性质、坐标与图形 【分析】（1）根据新定义分别计算，，结合，可得答案； （2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得；②先求出时a的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可； （2）参考②，先求出时m的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可． 【详解】解：（1）∵点， ∴，，而， ∴点与点的“识别距离”为； （2）①设点B的坐标为，而， 点与的“识别距离”为 解得 则点B的坐标为或； ②由得：， 因此，分以下两种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当或时，， 则点A与点的“识别距离”为， 综上，点与点的“识别距离”大于或等于2， 故点A与点的“识别距离”的最小值为2； （3）由得：或， 解得或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时，， 则点C的坐标为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，点坐标、绝对值运算，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． 9.新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． ※（柯西不等式）10.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，…，；，，，…，，则，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立． (1)请你写出并证明柯西不等式的二元形式（即取2）； (2)设是边长为1的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值； (3)已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值． 【答案】(1)，证明见详解 (2) (3)2 【知识点】运用完全平方公式进行运算、不等式的性质 【分析】本题以柯西不等式为背景考查完全平方公式和不等式的性质， 根据题意即可得，结合，得到，即有； 根据题意得，结合柯西不等式和三角形面积得即可； 根据题意得，则，可得，结合完全平方公式有，则，整理化简得，即可求的范围． 【详解】（1）解：， 证明：∵， ∴， ∴， 则 ， 故有成立； （2）解：∵边长为1的正三角形 ∴三角形的高为， 则， 根据柯西不等式得 ， 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴，解得， 故的最大值为2． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$