七年级数学下学期期中测试卷【苏科版2024，测试范围：幂的运算～图形的变换】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年七年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：幂的运算~图形的变换（苏科版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•苏州期中）为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）（2024春•工业园区校级期中）下列运算正确的是（　　） A．（x3）2＝x5 B．x2+x3＝x5 C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝a2﹣b2 3．（3分）（2024春•工业园区校级期中）为了运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z），下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（3y+z）]2 B．[（x﹣3y）+z][（x﹣3y）﹣z] C．[x﹣（3y﹣z）][x+（3y﹣z）] D．[（x+3y）﹣z][（x﹣3y）+z] 4．（3分）（2024秋•通州区期中）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n用含a，b式子表示的为（　　） A．3a+2b B．a3+b2 C．6ab D．a3b2 5．（3分）（2024春•灌云县期中）通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 6．（3分）（2024春•新邵县期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到三角形ADE，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 7．（3分）（2024春•惠山区校级期中）若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 8．（3分）（2024春•高邮市期中）小明制作了如图所示的A类，B类，C类卡片各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个宽为（4a+5b），长为（7a+4b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余1张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺5张 9．（3分）（2024春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则下列结论①AC∥DF；②ED⊥DF；③四边形ABFD的周长是16．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 10．（3分）（2024春•定陶区期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等． 有如下四个结论，其中正确的是（　　） ①（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； ②当a＝2，b＝﹣1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是﹣1； ③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a＝﹣1，b＝1； ④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•亭湖区校级期中）用简便方法计算：502﹣49×51＝　 　． 12．（3分）（2024春•天宁区校级期中）0.52024×22025＝　 　． 13．（3分）（2024春•淮安期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 　 　（填“A”“B”“C”或“D”） 14．（3分）（2024春•宿城区期中）若（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5对任意x恒成立，其中a，b，m均为整数，则m的值为 　 　． 15．（3分）（2024春•涟水县期中）阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　 　． 16．（3分）（2024春•仪征市期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•阜宁县期中）计算： （1）x3y2•（xy2）2•（x）； （2）[（﹣a5）4÷a12]2•（﹣2a4）． 18．（8分）（2024春•鼓楼区期中）化简：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）． 19．（8分）（2024春•晋江市期中）如图，在12×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心、顺时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2C2B2是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 20．（8分）（2024春•灌南县期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如ambm＝（ab）m，则（ab）m＝ambm.（a、b为非负数、m为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：2x+3•3x+3＝36x﹣2，求x的值． （2）已知：3×2x+1×4x+1＝192，求x的值． 21．（8分）（2024春•江都区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝　 　． （2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值． （3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值． 22．（10分）（2024春•安溪县期中）已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 23．（10分）（2024春•惠山区校级期中）[知识生成] （1）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1，有四张长为b、宽为a的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出（b+a）2、ab、（b﹣a）2之间的等量关系是 　 　． [知识应用] （2）若2a﹣b＝5，ab＝2，求（2a+b）2的值； [知识迁移] （3）如图2，为创办文明校园，美化校园环境，某校计划要在面积为165m2的长方形空地ABCD（AB＞AD）中划出长方形AEFG和长方形PQCH，两个长方形重合部分刚好建一个长为3m，宽为2m的喷泉水池PMFN，现将图中阴影部分区域作为花圃，且花圃总周长为42m，则AB﹣AD的长度为多少米？ 24．（12分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　 　时，x2+6x﹣15有最小值是 　 　（2）多项式﹣x2+2x+18有最 　 　（填“大”或“小”）值，该值为 　 　（3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：幂的运算~图形的变换（苏科版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•苏州期中）为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（2024春•工业园区校级期中）下列运算正确的是（　　） A．（x3）2＝x5 B．x2+x3＝x5 C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝a2﹣b2 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则判断即可． 【解答】解：A、原式＝x6，不符合题意； B、原式不能合并，不符合题意； C、原式＝﹣8a6b3，符合题意； D、原式＝﹣a2+2ab﹣b2，不符合题意， 故选：C． 3．（3分）（2024春•工业园区校级期中）为了运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z），下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（3y+z）]2 B．[（x﹣3y）+z][（x﹣3y）﹣z] C．[x﹣（3y﹣z）][x+（3y﹣z）] D．[（x+3y）﹣z][（x﹣3y）+z] 【分析】原式利用平方差公式的结构特征变形即可． 【解答】解：运用平方差公式计算（x+3y﹣z）（x﹣3y+z）， 应变形为[x+（3y﹣z）][x﹣（3y﹣z）]， 故选：C． 4．（3分）（2024秋•通州区期中）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n用含a，b式子表示的为（　　） A．3a+2b B．a3+b2 C．6ab D．a3b2 【分析】根据同底数幂的乘法知23m+10n＝23m•210n，再根据幂的乘方和积的乘方可得23m＝（2m）3＝a3，210n＝（25n）2＝（32n）2＝b2即可得答案． 【解答】解：23m+10n＝23m•210n＝（2m）3•（25n）2＝（2m）3•（32n）2＝a3b2， 故选：D． 5．（3分）（2024春•灌云县期中）通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到． 【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2； 第二个图形是梯形，其面积是：（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）． 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 6．（3分）（2024春•新邵县期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到三角形ADE，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【分析】由旋转的性质得出∠BAD＝∠CAE＝60°，∠DAE＝∠BAC＝40°，由∠CAD＝∠CAE﹣∠DAB即可． 【解答】解：∵将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°，∠DAE＝∠BAC＝40°， ∵∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE， ∴∠CAD＝60°﹣40°＝20°， 故选：A． 7．（3分）（2024春•惠山区校级期中）若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【分析】先根据多项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关，可知含x的项的系数为0，据此求解即可． 【解答】解：2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3 ＝2x2﹣（2x2﹣4nx+mx﹣2mn）+3 ＝2x2﹣2x2+4nx﹣mx+2mn+3 ＝（4n﹣m）x+2mn+3， ∵多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关， ∴4n﹣m＝0， ∴m＝4n． 故选：A． 8．（3分）（2024春•高邮市期中）小明制作了如图所示的A类，B类，C类卡片各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个宽为（4a+5b），长为（7a+4b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余1张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺5张 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为（4a+5b）（7a+4b）＝28a2+51ab+20b2， ∵C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是51， ∴C类卡片不够用，还缺1张． 故选：C． 9．（3分）（2024春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则下列结论①AC∥DF；②ED⊥DF；③四边形ABFD的周长是16．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】根据平移的性质得到AC∥DF，∠EDF＝∠BAC＝90°，则可对①②进行判断；根据平移的性质得到AD＝CF＝2，DF＝AC＝4，然后计算四边形ABFD的周长，则可对③进行判定． 【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AC∥DF，所以①正确； ∴∠EDF＝∠BAC＝90°， ∴ED⊥DF，所以②正确； ∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝CF＝2，DF＝AC＝4， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+FD+AD＝3+5+2+4+2＝16，所以③正确． 故选：C． 10．（3分）（2024春•定陶区期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等． 有如下四个结论，其中正确的是（　　） ①（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； ②当a＝2，b＝﹣1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是﹣1； ③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a＝﹣1，b＝1； ④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【分析】结合“杨辉三角”进行分析即可求解． 【解答】解：由“杨辉三角”得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故①结论正确； ∵a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3， ∴当a＝2，b＝﹣1时， a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3＝（2﹣1）3＝1，故②结论错误； ∵a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4＝（a+b）4， 代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0， ∴a＝﹣1，b＝1或a＝1，b＝﹣1，故③结论错误； ∵a+b的各项系数之和为：1+1＝2＝21， （a+b）2的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22， （a+b）3的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23， …， ∴（a+b）n的各项系数之和为：2n，故④结论正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•亭湖区校级期中）用简便方法计算：502﹣49×51＝　1　． 【分析】按照平方差公式将49×51进行转化为（50﹣1）×（50+1），即可简便计算结果． 【解答】解：502﹣49×51 ＝502﹣（50﹣1）×（50+1） ＝502﹣（502﹣1） ＝502﹣502+1 ＝1． 故答案为：1． 12．（3分）（2024春•天宁区校级期中）0.52024×22025＝　2　． 【分析】逆用积的乘方法则进行简便运算即可， 【解答】解：0.52024×22025 ＝0.52024×22024×2 ＝（0.5×2）2024×2 ＝12024×2 ＝1×2 ＝2， 故答案为：2． 13．（3分）（2024春•淮安期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 　B　（填“A”“B”“C”或“D”） 【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，由此不难找到答案． 【解答】解：如图连接HF，EN，作线段HF，EN的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为点B． 14．（3分）（2024春•宿城区期中）若（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5对任意x恒成立，其中a，b，m均为整数，则m的值为 　±4　． 【分析】先根据多项式乘多项式法则进行计算得a+b＝m，ab＝﹣5，然后根据a，b，m均为整数，分类讨论，求出m的值即可． 【解答】解：（x+a）（x+b） ＝x2+bx+ax+ab ＝x2+（a+b）x+ab， ∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5， ∴a+b＝m，ab＝﹣5， ∵a，b均为整数， ∴a＝1，b＝﹣5或a＝﹣1，b＝5， ∴a+b＝±4， ∵a+b＝m， ∴m＝±4， 故答案为：±4． 15．（3分）（2024春•涟水县期中）阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　﹣1　． 【分析】根据题意，先求出1+2+22+23+24+25+…+22023＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1）＝22024﹣1，再计算1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024即可． 【解答】解：根据题意可得： 1+2+22+23+24+25+…+22023 ＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1） ＝22024﹣1， ∴1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024 ＝22024﹣1﹣22024 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 16．（3分）（2024春•仪征市期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为 　10　． 【分析】首先设甲的边长为a，乙的边长为b（a＞b），根据已知条件求出a+b，从而求出a2+b2的值，然后由图1阴影部分的面积＝（甲的面积+乙的面积）﹣△DAH的面积﹣△FEH的面积求出答案即可． 【解答】解：设甲的边长为a，乙的边长为b（a＞b），由题意得：a+b＝6， ∴（a+b）2＝36， ∵图2的阴影部分面积＝（a﹣b）2＝2， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36①， （a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝2②， ①+②得：a2+b2＝19， ∵甲的边长为a，乙的边长为b， ∴AD＝AB＝a，BE＝EF＝b， ∴AE＝AB+BE＝a+b， ∵点H为AE的中点， ∴HE， ∵图1阴影部分的面积＝（甲的面积+乙的面积）﹣△DAH的面积﹣△FEH的面积， ∴， ＝19﹣9 ＝10． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•阜宁县期中）计算： （1）x3y2•（xy2）2•（x）； （2）[（﹣a5）4÷a12]2•（﹣2a4）． 【分析】（1）运用单项式乘以单项式，幂的乘法运算法则运算即可， （2）运用单项式乘以单项式，幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则运算即可． 【解答】解：（1）原式x3y2.x2y4.x ＝x6y6； （2）原式＝[a20÷a12]2．（﹣2a4） ＝[a8]2．（﹣2a4） ＝a16．（﹣2a4） ＝﹣2a20． 18．（8分）（2024春•鼓楼区期中）化简：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）． 【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b） ＝（b﹣3）2+（2a）2﹣（b﹣3）2﹣4a2+b2 ＝b2． 19．（8分）（2024春•晋江市期中）如图，在12×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心、顺时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2C2B2是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）根据轴对称的性质画出对称轴即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）△A1B1C1与△A2C2B2关于直线l成轴对称， 如图，直线l即为所求． 20．（8分）（2024春•灌南县期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如ambm＝（ab）m，则（ab）m＝ambm.（a、b为非负数、m为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：2x+3•3x+3＝36x﹣2，求x的值． （2）已知：3×2x+1×4x+1＝192，求x的值． 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可； （2）利用积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）∵2x+3•3x+3＝36x﹣2， ∴（2×3）x+3＝62（x﹣2）， 6x+3＝62x﹣4， ∴x+3＝2x﹣4， 解得：x＝7； （2）∵3×2x+1×4x+1＝192， ∴3×（2×4）x+1＝192， 3×8x+1＝192， 8x+1＝64， 8x+1＝82， ∴x+1＝2， 解得：x＝1． 21．（8分）（2024春•江都区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝　31　． （2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值． （3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值． 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到（a+b）2+（a﹣b）2＝30，根据完全平方公式得出a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝30，化简即可求解． （3）两边同时除以x得，，两边平方得，化简即可求解． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝3， ∴（a﹣b）2＝25，2ab＝6， ∴a2﹣2 a b+b2＝2 5，即a2﹣6+b2＝25， ∴a2+b2＝31． 故答案为：31； （2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13， ∴（a+b）2+（a﹣b）2＝30， a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝30， 2a2+2b2＝30， ∴a2+b2＝15； （3）∵x2+3x﹣1＝0， ∴， 即， ， ， ∴． 22．（10分）（2024春•安溪县期中）已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　100°　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【分析】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10； （2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数． 【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H， ∴OG＝OP，OM⊥GP， ∴OM平分∠POG， 同理可得ON平分∠POH， ∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°， 故答案为：100°； ②∵PO＝5， ∴GO＝HO＝5， 当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°， ∴点G，O，H在同一直线上， ∴GH＝GO+HO＝10； （2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B， 连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠OPA＝∠OP'A＝30°， 同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°， ∴∠APB＝30°+30°＝60°． 23．（10分）（2024春•惠山区校级期中）[知识生成] （1）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1，有四张长为b、宽为a的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出（b+a）2、ab、（b﹣a）2之间的等量关系是 　（b+a）2﹣（b﹣a）2＝4ab　． [知识应用] （2）若2a﹣b＝5，ab＝2，求（2a+b）2的值； [知识迁移] （3）如图2，为创办文明校园，美化校园环境，某校计划要在面积为165m2的长方形空地ABCD（AB＞AD）中划出长方形AEFG和长方形PQCH，两个长方形重合部分刚好建一个长为3m，宽为2m的喷泉水池PMFN，现将图中阴影部分区域作为花圃，且花圃总周长为42m，则AB﹣AD的长度为多少米？ 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积，进而求解即可； （2）利用完全平方公式的变形求解即可； （3）设AB＝a，AD＝b，根据题意得到ab＝165，然后由花圃总周长得到a+b＝26，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【解答】解：（1）（b+a）2，（b﹣a）2、ab之间的等量关系是：（b+a）2﹣（b﹣a）2＝4ab．理由如下： 由图1可知4个小长方形的面积和为：4ab， 由图1可知：大正方形的面积为：（b+a）2，中间小正方形的面积为：（b﹣a）2， ∵大正方形的面积﹣中间小正方形的面积＝4个长方形的面积和， ∴（b+a）2﹣（b﹣a）2＝4ab． 故答案为：（b+a）2﹣（b﹣a）2＝4ab； （2）∵2a﹣b＝5，ab＝2， 由（1）可得， （2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab， ∴（2a+b）2﹣52＝8×2， 解得（2a+b）2＝41； （3）设AB＝a，AD＝b， 根据题意得，ab＝165，PN＝MF＝2，PM＝NF＝3， ∴GD+QN+ME+BH＝2（b﹣2）＝2b﹣4，BE+MH+GN+DQ＝2（a﹣3）＝2a﹣6， ∵花圃总周长为42m， ∴2b﹣4+2a﹣6＝42， ∴a+b＝26， 由（1）可得， （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴262﹣（a﹣b）2＝4×165， ∴（a﹣b）2＝16， 解得a﹣b＝4或a﹣b＝﹣4， ∵AB＞AD， ∴a﹣b＝4， ∴AB﹣AD＝4． 24．（12分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　﹣3　时，x2+6x﹣15有最小值是 　﹣24　（2）多项式﹣x2+2x+18有最 　大　（填“大”或“小”）值，该值为 　19　（3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成y＝x2﹣5x﹣20再利用完全平方公式计算y+x即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0， ∴（x+3）2﹣24≥﹣24， ∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24， ∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24； 故答案为：﹣3，﹣24； （2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19， ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0， ∴﹣（x﹣1）2+19≤19， ∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）∵﹣x2+5x+y+20＝0， ∴y＝x2﹣5x﹣20， ∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0， ∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24， ∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24； ∴y+x的最小值是﹣24； （4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a＝1，b＝4， ∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1． ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴△ABC的周长为1+4+4＝9． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$