第2章《相交线与平行线》培优讲义 2 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师版七年级下册《相交线与平行线》培优训练 【典例精析】 【例1】（1）下列命题：①同位角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③如果线段AB与线段CD不相交，则线段AB与线段CD平行．④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，∠2＝500，则∠1的度数为500。其中真命题有___________ （2）如图，P是直线l外一点，点A、B、C在l上，且PB⊥l，下列说法：①PA、PB、PC这3条线段中，PB最短；②点P到直线l的距离是线段PB的长；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段PA是点P到直线l的距离．其中正确的是________________ （3）如图，若FG//BE，则∠1+∠2－∠3等于_____度 （4）如图，已知直线AB∥CD，M、N分别是直线AB和CD上的点． MB平分∠EMF，NE平分∠DNF，且∠F与2∠E互补，则∠FME的度数为_______． （5）如图，AB∥CD，∠CFE的平分线与∠EGB平分线 的反向延长线交于点P，若∠E=20°，则∠FPH的度数为______. 【例2】（1）光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=52°，∠3=70°，则∠2的度 ( 1 6 4 2 5 3 A B C D )数为__________度。 ( O P 1 C Q P B A )（2）两条射线OA、OB相交成50°角，假定OA、OB是两面墙壁，从OA上的一点P以(即∠APQ)（0°＜＜180°）角发射一小球，小球是直线滚动，撞击到OB墙的Q点后，反射时有∠PQB=∠OQP1，小球撞击到OA墙的P1点后，又反射，沿平行OB的P1C方向滚动（如图），则的度数为_________. 【例3】已知EF//GH，直线KL与EF、GH分别交于 点A、B。 （1）如图1，∠FAB与∠ABH的角平分线相交于点C，则∠ACB的度数为__________； （2）如图2，∠FAB与∠ABH的三等分线分别相交于点M、N、P、Q，①求∠AMB和∠ANB的度数； ②猜想∠APB与∠AQB的数量关系，并证明。 【例4】已知AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，线段EF可左右平移。 （1） 如图1，当点E与点A重合时， 求证：∠AFD=∠FAC+∠ACF； （2） 将线段EF向左平移，当点E在A左侧，点F在 点C右侧时（如图2），作EP平分∠AEF，CP平分 ∠ACD，两条角平分线交于点P，若∠AEF=m°， ∠ACD=n°，求∠EPC的度数（用含m、n的代数式 表示）； （3）将线段EF向右平移，当点E在点A右侧，点F在点C右侧，∠AEF和∠ACD的平分线交于Q点时（如图3），直接写出∠EAC、∠EFC与∠EQC数量关系式。 【例5】已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1） 如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2） 如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3） 如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN， 且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG， 2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数． 【例6】已知：射线OP∥AE. （1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP=58°，求∠A的度数． （2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO=39°， 求∠ABO-∠AOB的度数． （3）如图3，若∠A=m，依次作出∠AOP的角平分线OB， ∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2， ∠Bn-1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn-1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数． 【例7】如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与 ∠AEM的数量关系为__________________∠PFD+∠AEM=90° ； （2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证： ∠PFD-∠AEM=90°； （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且 ∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数． 【挑战自我】 1、如图，若∠AOB＝180º，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ） A、∠2－∠1 B、∠2－∠1 C、（∠2－∠1） D、（∠2＋∠1） 2、如图， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，则∠GEF的度数为____。 3、如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1=50°．则∠AFG的度数为__________；若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=15°，则∠ACB的度数为________. 4、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=58°，那么∠BEG=__________ º. ( A B E C D F G ) 5、已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、 F， 点P为射线EF上的 点，点Q为CD上一点，已 知∠MEB=α，（90°＜α＜180°） （1）如图1，点P在线段EF上，点Q在点F的左侧，∠DFN比∠MEB小20°，若∠PQF为∠MEB的一半， 求∠EPQ的度数． （2）如图2，EH平分∠AEF交CD于点H，若PQ∥EH， 求∠EPQ（用含α的式子表示）； （3）如图3，EH平分∠AEF交CD于点H，∠PQF比 ∠EHF小20°，若∠MEB=100°，求∠EPQ的70 度数． 6、已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1） 如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则 ∠AED=________70 °； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE 交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样 的关系，请说明你的结论； （3） 如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点 I， 且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°， 求∠EKD的度数． ( ) 学科网（北京）股份有限公司 $$