第2章 《相交线与平行线》培优讲义 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师版七年级下册《相交线与平行线》培优训练 【知识清单】 知识点一：两条直线的位置关系 1、 同一平面内：相交与平行；　　　 2、空间中：相交，平行，异面 知识点二：相交线： 1、相交线：在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交； 2、余角与补角： （1）定义：两角之和等于90度，则称两角互余；两角之和等于180度，则称两角互补； （2）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等； 3、对顶角： （1）定义：两个角的两边分别互为反向延长线，则这两个角互为对顶角； （2）性质：对顶角相等； 4、垂线 （1）垂直：两条直线相交构成的四个角中，有一个是直角，则称这两条直线互相垂直； （2）垂线的性质： ①在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（垂直公理） ②直线外一点与直线上各点的所有连线中,垂线段最短.简称为“垂线段最短”； （3）点到线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫这点到这条直线的距离； 知识点三：平行线： 1、 三线八角：两条直线被第三条直线所截 ( l l 1 l 2 1 4 2 3 5 6 7 8 ) （1）同位角：在两条直线的同旁，第三条直线的同侧。形如字母“F” （2）内错角：在两条直线之间，第三条直线的异侧。形如字母“Z” （3）同旁内角：在两条直线之间，第三条直线的同侧。形如字母“U” 说明：（1）同位角，内错角和同旁内角只有位置关系，而无数量关系。 （2）判断这三角的关键：找准被截线和截线，两个角共线边一定是截线，另外两条边为被截线。 2、平行线：在同一平面，不相交的两条直线叫平行线； 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 3、平行线的判定方法：（1）平行线的定义； （2）同位角相等，两直线平行； （3）内错角相等，两直线平行； （4）同旁内角互补，两直线平行； （5）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行； （6）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【典例精析】 【例1】（1）下列说法中：①两条不相交的直线叫做平行线；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等；其中不正确的有_________ （2）①一个锐角的补角比它的余角大___________度。 ②若一个角的度数为50°，它的两边与另一个角的两边分别平行，则另一个角的度数为________. （3） 在同一平面内有2002条直线a1，a2，…a2002，如果a1⊥a2，a2//a3，a3⊥a4，a4//a5，…，那么a1与a2002的位置关系是________ 【例2】（1）如图，点O是直线AB上一点，∠AOE＝ ∠FOD=90°,OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有 ________,互补的有 _________________。 （2） 如图：①∠ACB与∠1是两条直线 和 被第 三条直线 所截，构成的 角；②∠A 与∠1是两条直线 和 被直线 所截的，构 成的 角；③∠2和∠ACD是两条直线 和 被直线 所截，构成的 角； ( A B C D 1 2 3 4 ) 【例3】（1）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为_________________ （2）如图，AB//CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是_____________ （3）如图，AB//CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=__________ （4）如图，a∥b ,∠1＋∠2＝75°,则∠3＋∠4＝ . ( C F B E D A ) 【例4】如图，已知∠1=∠2，∠E=∠F，试猜想AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由。 【例5】如图BD//FG//CE，∠ABD=62°，∠ACE=34°， AP平分∠BAC，则∠PAG的度数＝ . 【例6】如图，已知点A、C、B不在同一直线，AD//BE. （1）求证：∠B+∠C-∠A=180°； （2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有AC//BQ，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC︰∠ACB︰∠CBE=_____ 【例7】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E.EM平分∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点。（1）求证：∠HPE=∠PHF+∠PED； （2）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数； （3）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论。 【例8】（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并证明； （2）如图2，AB//CD，AB的下方两点E、F满足BF平 分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB=20°， ∠CDE=70°，求∠ABE的度数； （3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ//GN，GM平分∠DGP，下列结论①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变，可以证明，只有一个是正确的，请选择正确的结论并求值。 【例9】如图，CB//OA，∠C=∠A，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF， （1）若∠C=100°求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，其它条件不变，那么∠OBC︰ ∠OFC的值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，若∠OEC=∠OBA，则有①为定值；②为定值；其中有一个结论是正确的，找出正确结论并求该定值。 【例10】已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　　； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数． 【例11】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补。 （1）判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P， PF∥GH，求证：GH⊥EG； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由。 【挑战自我】 1、如图，CF是∠ACB的平分线，CG是∠ACB外角的平分线，PG∥BC交CG于点G，已知∠A=46°，∠B=58°， 则∠FGC的度数为______________。 2、 已知，如图，E、F分别是AB、CD上的动点，P也 为一动点。AB∥CD，移动E、F，使∠EPF=90°，作 ∠PEG=∠BEP，则的值为_____________。 3、 下列说法：①有公共点，且相等的角是对顶角； ②一个角的补角必大于这个角的余角；③互余的两 个角一定都是锐角；④若∠1+∠2+∠3=180°，则它 们互为补角；⑤在同一平面内两条直线的位置关系 是平行、相交和垂直。正确的是 4、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD∥BE。 5、如图，AB∥CD，∠CDE=120°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F的度数． 6、如图1，AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点 F，点G在CD上，点P在直线EF左侧，且在直线AB与CD之间，连接PE、PG。 （1）求证：∠EPG=∠AEP+∠PGC； （2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE=110°， 2∠PGC=∠EFC，求∠AEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，探究∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由。 ( 1 ) ( ) 学科网（北京）股份有限公司 $$