精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

数学试卷 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】选项A. ,故选项A不正确. 选项B. ,故选项B不正确. 选项C. ,故选项C不正确. 选项D. ,故选项D正确. 故选：D 2. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数求瞬时速度即可 【详解】∵， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题. 3. 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 13 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，即可得答案. 【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同走法有8+2+3=13种. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 4. 设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 10 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的概念，先得到，再由导数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 即， 因此曲线在点处的切线的斜率为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查导数的概念，以及导数的几何意义，属于基础题型. 5. 已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】由题意，可得在和上单调递减，在上单调递增， 只有选项A符合， 故选：A. 6. 函数在处的切线方程为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义确定导数值和函数值． 【详解】由题意，又切线方程是时，，所以， ． 故选：B． 7. 如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】依次考虑、、、区域，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的檀入方法共有种. 故选：D. 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 9. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ） A. 504种 B. 432种 C. 384种 D. 240种 【答案】A 【解析】 分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 10. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A. 11. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数， 因为，由有：， 由有：，所以在上单调递减， 因为，，, 因为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 12. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得：原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断的单调性，结合图象分析求解. 【详解】当时，则无零点，不符合题意； 当时，令，则， 故原题意等价于与有两个交点， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，且当x趋近于时，趋近于， 所以的图象如图所示，由图象可得： 若与有两个交点，则，解得， 故的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 13. 由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________. 【答案】18 【解析】 【分析】先从1，2中选一个数排在百位，再由十位和个位各有3种选法求解. 【详解】解：先从1，2中选一个数排在百位，有2种选法， 然后十位和个位各有3种选法， 故组成的三位数（允许数字重复)的个数为， 故答案为：18 14. 已知函数，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值． 【详解】由题意，所以． 故答案为：2． 15. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 【答案】 ①. 81 ②. 64 【解析】 【分析】由乘法计数原理逐空计算即可； 【详解】要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事， 因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步． 又每人可在三项中选一项，选法为3种， 所以共有种报名方法． 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有种可能的结果． 故答案为：81；64 16. 过原点且与相切的直线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程. 【详解】设切点为，且， 由题意可得：，解得： 过原点且与相切的直线方程是. 故答案为： 17. 已知函数在处有极值为10，则等于______． 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析： ，依题意， 解得或，当时，，，所以在上单调递增，此时在处并没有取得极值，不符合要求，舍去；当时，，，所以时，，当时，，所以函数在处取得极小值10，符合要求，此时. 考点：函数的极值与导数. 18. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围. 【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是. 故答案为： 19. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】对已知式求导，然后令代入即得． 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：1． 20. 已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设将问题化为在上，并利用导数求区间上最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 由，则在、上，在上， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 而， 要使对，，使成立， 所以，只需在上，则，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在上为解题的关键. 三、解答题 21. 某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． （1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ （3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分从一班的8名优秀团员中产生、从二班的10名优秀团员中产生和从三班的6名优秀团员中产生三类即可求解； （2）按从一班的8名优秀团员中选1名小组长、从二班的10名优秀团员中选1名小组长和从三班的6名优秀团员中选1名小组长三步即可求解； （3）分从一班、二班的优秀团员中各选1人、从二班、三班的优秀团员中各选1人和从一班、三班的优秀团员中各选1人三类即可. 【小问1详解】 第一类是从一班8名优秀团员中产生， 有8种不同的选法，第二类是从二班的10名优秀团员中产生， 有10种不同的选法，第三类是从三班的6名优秀团员中产生， 有6种不同的选法，种不同的选法； 【小问2详解】 第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长， 有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长， 有10种不同的选法，第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长， 有6种不同的选法，共有种不同的选法； 【小问3详解】 每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法， 第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法， 第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法，共有种不同的选法. 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为,极小值为 【解析】 【分析】（1）先求导函数,再根据几何意义求解即可； （2）令，解得，再列表，根据导数符号与极值的关系求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即:. 【小问2详解】 令，解得． 所以列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． 23. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 24. 已知函数，，（是自然对数的底数） （1）若在点处的切线方程为，求实数a的值 （2）求的单调区间 （3）若恒成立，求实数a的取值范围 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，无减区间； 当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而求解a的值； （2）结合导函数的解析式，分类讨论，确定函数的单调区间； （3）把恒成立问题转化为恒成立，构造函数，求导，求最值即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 所以，又直线的斜率为，由导数几何意义得，解得.（本问也可直接把点代入直线方程直接求解） 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 当时，，所以函数的单调递增区间为，无减区间； 当时，令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，函数的单调递增区间为，无减区间； 当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 因为恒成立，即恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 记，则，令，得， 令，得，令，得， 列表如下： ↗ ↘ 所以函数的极大值也是最大值为， 由恒成立得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一质点做直线运动，若它所经过路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 13 D. 48 4. 设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A 10 B. 3 C. 6 D. 8 5. 已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 函数在处的切线方程为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A B. C. D. 9. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ） A. 504种 B. 432种 C. 384种 D. 240种 10. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________. 14. 已知函数，则___________. 15. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 16. 过原点且与相切的直线方程是__________. 17. 已知函数在处有极值10，则等于______． 18. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 19. 已知函数导函数为，且满足，则________． 20. 已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________. 三、解答题 21. 某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． （1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ （3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 23. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 24. 已知函数，，（是自然对数的底数） （1）若在点处的切线方程为，求实数a的值 （2）求的单调区间 （3）若恒成立，求实数a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$