压轴题07 正切函数的图像与性质（六类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题07 正切函数的图像与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、正切函数图象的应用 1 类型二、求正切函数的周期 7 类型三、求正切函数的单调性 13 类型四、由正切函数的值域（最值）求参数 15 类型五、求正切函数的对称中心 17 类型六、解正切不等式 21 压轴能力测评（13题） 22 知识点 正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 类型一、正切函数图象的应用 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）设函数，则在上所有零点的和为（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海松江·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 4．（2023·上海·模拟预测）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是 ；（填写你认为正确的序号） ①；②③；④； 5．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 6．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）数，的部分图像如下图，则 .    7．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为.设直线与的图象交于点，求线段的长. 类型二、求正切函数的周期 1．（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 3．（2021高一·上海·专题练习）①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 5．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 6．（20-21高一下·上海·课后作业）已知函数． （1）当时，求的最小正周期及单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 7．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 类型三、求正切函数的单调性 1．（20-21高一下·上海·课后作业）下列命题中，为真命题的是（    ） A．函数既是偶函数又是周期函数 B．函数既是奇函数，又是增函数 C．函数的最小正周期为 D．函数的最大值为 2．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数在第一象限内是严格增函数 B．函数的图象是中心对称图形 C．函数在其定义域中是严格增函数 D．函数是周期函数 3．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 类型四、由正切函数的值域（最值）求参数 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 2．（23-24高三下·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． (1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 4．（20-21高一下·上海闵行·期中）已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 类型五、求正切函数的对称中心 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（    ） A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B．关于直线成轴对称，且以2π为周期 C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 2．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 类型六、解正切不等式 1．（2022·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是 . 2．（20-21高一下·上海·单元测试）设函数，已知的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点对称. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角； B．若是角终边上一点，则； C．若，则、的终边相同； D．的解集为． 2．（21-22高一下·上海宝山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①A、B可能都是锐角；②A、B中一定存在钝角； ③；④． 正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、填空题 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 6．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 7．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知， 且， 则的最大值为 . 三、解答题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在，上的最小值、最大值分别为1和7，求m和n的值. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 12．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 13．（20-21高一下·上海·课后作业）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论． 问题 结论（不需要过程） 求的定义域 求函数的周期 写出在区间范围内的值域 写出图像的所有对称中心 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题07 正切函数的图像与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、正切函数图象的应用 1 类型二、求正切函数的周期 7 类型三、求正切函数的单调性 13 类型四、由正切函数的值域（最值）求参数 15 类型五、求正切函数的对称中心 17 类型六、解正切不等式 21 压轴能力测评（13题） 22 知识点 正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 类型一、正切函数图象的应用 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）设函数，则在上所有零点的和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正切型三角函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、求零点的和 【分析】将函数的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案. 【详解】令，则， 故在上所有零点问题，即为函数的图象的交点问题； 作出函数在 上的大致图象，如图示： 由于的最小正周期 ,故在上正好有的11个周期， 每个周期内图象和直线 都有一个交点， 故在上共有 个交点， 由于点 为的对称中心， 故在 上，图象的交点也有12个， 且和上的交点两两关于对称， 因此图象所有交点的横坐标之和为 ， 即在上所有零点的和为 ， 故选：D 2．（22-23高一下·上海松江·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、由正切函数的周期求值、正切函数图象的应用 【分析】根据已知条件得，求出，可得①为假命题；令，求出，解不等式可得②为真命题.从而可得答案. 【详解】依题意得，因为，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4049个零点，故②为真命题. 故选：D 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】正切函数图象的应用、求正切（型）函数的周期 【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，即可判断②. 【详解】依题意得，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4048个零点，故②为真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键. 4．（2023·上海·模拟预测）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是 ；（填写你认为正确的序号） ①；②③；④； 【答案】③ 【知识点】识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性即可排除②④，然后根据趋近的函数值可排除①，从而得到结果. 【详解】由图像对称性可知，应为偶函数， 对于②，∵，∴为奇函数，②错误； 对于④，∵，∴为奇函数，④错误； 对于③，，∴为偶函数，满足； 由图像可知，当x从正方向无限接近0时，； 对于①，当x从正方向无限接近0时，，，，①错误． 对于③，当x从正方向无限接近0时，，，，满足； 故排除可得③正确 故答案为: ③. 5．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 【答案】答案见解析 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求正切（型）函数的定义域、画出正切函数图象 【分析】由和去掉上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变，当时，函数在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，画出即可. 【详解】由已知，设， 可知，函数的定义域为： ，值域为R； 当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变； 当时，在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实线部分）. 6．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）数，的部分图像如下图，则 .    【答案】/ 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值． 【详解】由题意的最小正周期是，所以， ，而，所以， ，，所以， ． 故答案为：． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为.设直线与的图象交于点，求线段的长. 【答案】 【知识点】正切函数图象的应用、余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】作出函数，，的图象，将线段的长转化为的值，再由得出线段的长. 【详解】由题意知，函数，，的图象，如下图所示： 由正弦线的定义知，线段的长即为的值， 且其中满足 变形为， 即， ， ，即线段的长为. 类型二、求正切函数的周期 1．（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求正切（型）函数的周期、求含sinx的函数的奇偶性、求sinx的函数的单调性 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 3．（2021高一·上海·专题练习）①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是 ． 【答案】④ 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、求含tanx的函数的单调性 【分析】对于①，举特值：，可得答案；对于②，举特值：，可得答案；对于③，举特值：可得答案；对于④，利用的最小正周期和图象的翻折变换可得答案. 【详解】对于①，函数的定义域为，当时，；当时，，所以函数在它的定义域内不是增函数，故①不正确； 对于②，当，时，满足、是第一象限角，且，但是，故②不正确； 对于③，当时，为偶函数，故③不正确； 对于④，因为的最小正周期为，而函数的图象是由函数的图象保留轴上方的图象，将轴下方的图象沿轴翻折到轴上方而得到的，所以函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即函数的最小正周期是，故④正确. 故答案为：④ 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角函数的单调性、奇偶性和周期性是解题关键. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. (2)； (3)答案见解析. 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性、画出具体函数图象 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 5．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）由正切函数的最小正周期公式计算即可; （2）由，可得，然后解正切函数方程即可. 【详解】（1）最小正周期． （2）由，， 由题意可得，，解得，， 故方程的解集为． 6．（20-21高一下·上海·课后作业）已知函数． （1）当时，求的最小正周期及单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）4，，；（2）. 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间； （2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4； 要求的单调区间，只需，解得：， 故的增区间为，，无单减区间. （2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴． ∵，∴，即，即，∴，∴． 7．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期、利用正切函数的单调性求参数 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 类型三、求正切函数的单调性 1．（20-21高一下·上海·课后作业）下列命题中，为真命题的是（    ） A．函数既是偶函数又是周期函数 B．函数既是奇函数，又是增函数 C．函数的最小正周期为 D．函数的最大值为 【答案】D 【知识点】求含tanx的函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】对于A，可由奇偶性的概念及周期性即可得出结果，对于B，利用正切函数性质可得函数是奇函数，但是不单调；对于C，化简求得，得出结论；对于D，函数的最大值是2，利用复合函数单调性求得函数的最大值，即可判断出结论. 【详解】解：A.函数定义域关于原点对称，, 所以是偶函数，但不是周期函数,A错误. B.函数定义域关于原点对称，， 所以是奇函数,但定义域不连续，不能说是增函数,B错误. C.函数， 利用得最小正周期不为，C错误, D.函数的最大值是2， 又在其定义域内单调递增， 所以的最大值是lg2,D正确, 故选：D. 2．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数在第一象限内是严格增函数 B．函数的图象是中心对称图形 C．函数在其定义域中是严格增函数 D．函数是周期函数 【答案】B 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求含sinx的函数的最小正周期、求sinx的函数的单调性、余弦函数图象的应用 【分析】在第一象限内取两特殊值可判断A;根据余弦函数的图象和性质判断B;在正切函数的定义域内取两特殊角，可判断C；根据函数式的特征可判断D. 【详解】取 ，都是第一象限角，但是，故A错误； 根据余弦函数的图象和性质知，函数的图象是中心对称图形，故B正确； 取，两角都在定义域内，但，故C错误； 函数 具有周期性，而 不具有周期性，因此函数不是周期函数，故D错误； 故选：B. 3．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 类型四、由正切函数的值域（最值）求参数 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 2．（23-24高三下·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． (1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 【答案】(1)是；理由见解析 (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由正切（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据定义结合即可判断； （2）将原问题等价转换为在有解，且在上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】（1）根据题意，，可得，故是“函数”； （2）因为为“函数”，所以存在，使， 即， 整理得在有解． 因为，所以，可得， 结合在上恒成立，可得， 综上所述，，即实数的取值范围是. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【知识点】基本不等式求和的最小值、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 4．（20-21高一下·上海闵行·期中）已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论． （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围． （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围． 【详解】解：（1）由于，，， 的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在，上严格递增，则，求得， 即的范围为． （3）方程在，上至少存在2021个根， 故当，时，至少有2021个根， 即，，至少有2021个根， 即当，时， 至少有2021个根． 且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021， 故至少包含2020个周期，即， 所以． 类型五、求正切函数的对称中心 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（    ） A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B．关于直线成轴对称，且以2π为周期 C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 【答案】C 【知识点】分段函数的值域或最值、求正切（型）函数的对称中心、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时； 当时，； 综上，在一个周期内的， 在一个周期内的图象如下： 由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为. 故选：C 2．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 类型六、解正切不等式 1．（2022·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解正切不等式、比较余弦值的大小、解正弦不等式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可. 【详解】由题，当时，原不等式可化为，解得， 当时，由原不等式可得，解得， 综上. 故答案为： 2．（20-21高一下·上海·单元测试）设函数，已知的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点对称. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】解正切不等式、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由题意求出函数的周期，代入周期公式求得，再图象关于点对称．求得，则函数解析式可求； （2）由已知求得，利用正切函数的图象及性质即可求得的取值集合． 【详解】解：（1）函数的图象与轴相邻两交点的距离为，即，， ， 图象关于点对称．，， ，， 则． （2）由（1）知，． 由， 得，， 即，， 不等式的解集为，． 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角； B．若是角终边上一点，则； C．若，则、的终边相同； D．的解集为． 【答案】D 【知识点】由正切函数的周期求值、由终边或终边上的点求三角函数值、找出终边相同的角 【分析】取特例可判断AC，根据三角函数的定义判断B，利用周期解出三角方程的解集判断D. 【详解】因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故A错误； 因为是角终边上一点，所以， 所以，故B错误； 当时，满足，但、的终边不相同，故C错误； 当时，在一个周期上的解为，故在定义域上的解为，故D正确. 故选：D 2．（21-22高一下·上海宝山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①A、B可能都是锐角；②A、B中一定存在钝角； ③；④． 正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【知识点】比较正切值的大小、求含sinx(型)函数的值域和最值、正切函数的诱导公式 【分析】利用选项对的大小情况进行分类讨论，根据三角形内角和以及正切函数的单调性得出结论，进一步再说明结论③④的正确与否. 【详解】假设都是锐角，则 当时，，，则，矛盾； 当时，不存在，舍去； 当时，，， 且中至少有一个小于等于1，所以， 综上所述，A、B不可能都是锐角，一定存在钝角，①错，②对； 由上知为锐角，则，③错，④对. 故选：B. 二、填空题 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由余弦（型）函数的周期性求值、求正切（型）函数的周期 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【答案】 【知识点】由正切函数的奇偶性求函数值、由正弦函数的奇偶性求函数值、诱导公式二、三、四、函数奇偶性的应用 【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果. 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【知识点】由正切函数的周期求值、由正切函数的奇偶性求函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 6．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求含tanx的函数的单调性 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【详解】因为函数的单调递增区间为，， 且函数在上为严格减函数， 所以，解得，即 . 故答案为：. 7．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知， 且， 则的最大值为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求含tanx的函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由，通过研究函数单调性可得，后设，则，其中，. 【详解】因，则. 因函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，故有：. 设，其中，则 ， 当且仅当时取等号，则此时，得 又函数在时单调递减，在时单调递增，， 则， 此时. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x，y式子后，通过构造函数得到.后将问题化为求含参二次函数的最值问题. 三、解答题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 【答案】. 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求正切型三角函数的单调性、求二次函数的值域或最值 【分析】应用复合函数的单调性，结合正切函数及二次函数求值域即可. 【详解】. ∵，∴. 当，即时，y取最小值-1； 当，即时，y取最大值. ∴函数的值域为. 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【答案】答案见解析. 【知识点】基本不等式求和的最小值、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】用换元，结合分离常数法与基本不等式求最值，然后根据正切函数性质即可求解. 【详解】解：令（，），则. 当时，； 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以，所以，时取到等号； 当时，所以， ，当且仅当， 即时，所以，所以，时取到等号. 所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，. 所以当时，函数为常数函数； 当时，函数取得最小值，自变量的集合为， 当时，函数取得最大值，自变量的集合为. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在，上的最小值、最大值分别为1和7，求m和n的值. 【答案】或. 【知识点】复合函数的最值、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据的正负分类讨论，利用函数的单调性分别表达出最值关系式，解方程组可得. 【详解】正切函数在，单调递增， 且， ， 由题意函数最小值、最大值分别为1和7，可知， ①当时，函数在，单调递增， ，解得； ②当时，函数在，单调递减， 即. 综上所述，或. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、复合函数的值域、求含tanx的二次式的最值 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 12．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明见解析. 【知识点】函数新定义、由不等式的性质证明不等式、求含tanx的函数的定义域、函数周期性的应用 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 13．（20-21高一下·上海·课后作业）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论． 问题 结论（不需要过程） 求的定义域 求函数的周期 写出在区间范围内的值域 写出图像的所有对称中心 【答案】，， ， 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】由，则，然后利用复合函数的定义域，周期，单调性及值域的求解方法进行计算． 【详解】解： 问题 结论 求的定义域 求函数的周期 周期为 写出在区间范围内的值域 ，， 写出图象的所有对称中心 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$