专题04 正切函数的图像与性质重难点题型专训（18大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题04 正切函数的图像与性质重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 正切函数的定义 题型二 求含tanx的函数的单调性 题型三 求正切型三角函数的单调性 题型四 利用正切函数的单调性求参数 题型五 比较正切值的大小 题型六 解正切不等式 题型七 求正切（型）函数的奇偶性 题型八 由正切（型）函数的奇偶性求参数 题型九 求正切（型）函数的周期 题型十 由正切函数的周期求值 题型十一 求正切（型）函数的对称中心 题型十二 求正切（型）函数的定义域 题型十三 求含tanx的函数的定义域 题型十四 求正切（型）函数的值域及最值 题型十五 求含tanx的二次式的最值 题型十六 由正切（型）函数的值域（最值）求参数 题型十七 正切函数图象的应用 题型十八 正切函数对称性的应用 知识点01 正切函数的性质 ①定义域：； ②值域：R； ③周期性：函数y＝tanx的周期都是kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为π； 函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； ④奇偶性：奇函数； ⑤单调性：在(k∈Z)上递增； ⑥零点：（观察正切曲线可以看出）正切函数的零点为 ⑦正切函数y＝sinx的图像特征 图像 对称性 对称中心 ，k∈Z 对称轴 无 二、定义 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【经典例题一 正切函数的定义】 【例1】（23-24高一下·上海金山·期末），则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）正切函数 对于任意一个角x，只要 ，，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为正切函数. 3．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数． (1)求f（x）的定义域； (2)化简并求f（x）最小正周期； (3)讨论f（x）在区间上的单调性． 【经典例题二 求含tanx的函数的单调性】 【例2】（23-24高一下·上海闵行·期中）下列叙述中，错误的是（    ） A．命题“ ， ”的否定是“ ， B．命题“若 ， 则 ”的逆否命题是真命题 C．已知 ， 则“ ”是“ ”的必要不充分条件 D．函数 是增函数 1．（23-24高一下·上海静安·期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【经典例题三 求正切型三角函数的单调性】 【例3】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）函数在一个周期内的图像是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图． (1)求，，的值； (2)求的单调增区间， 【经典例题四 利用正切函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高一下·上海长宁·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数在内是减函数，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【经典例题五 比较正切值的大小】 【例5】（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·一模）已知中，为其三个内角，且都是整数，则 ． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 【经典例题六 解正切不等式】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·全国·随堂练习）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合： (1)； (2)． 【经典例题七 求正切（型）函数的奇偶性】 【例7】（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）下列函数是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．函数可以是某个圆的“太极函数” D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 2．（2024高一下·上海宝山·模拟预测），且则 . 3．（2024高一下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【经典例题八 由正切（型）函数的奇偶性求参数】 【例8】（2024高一下·全国·专题练习）把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值 ． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知. （1）求的最小正周期； （2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值. 【经典例题九 求正切（型）函数的周期】 【例9】（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海奉贤·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 3．（24-25高一下·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 【经典例题十 由正切函数的周期求值】 【例10】（2024·上海青浦·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角； B．若是角终边上一点，则； C．若，则、的终边相同； D．的解集为． 2．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）若函数的最小正周期为，则函数在上的值域为 ． 3．（2024·上海松江·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【经典例题十一 求正切（型）函数的对称中心】 【例11】（2024·上海松江·模拟预测）已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）有下列命题： ① 函数的对称中心是； ② 函数和在的图像的交点个数为3； ③ 若函数（，）对于任意都有成立，则； ④已知定义在上的函数，当且仅当时，成立； 则其中正确的命题有 .（填写正确的序号） 3．（23-24高一下·上海·课后作业）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论． 问题 结论（不需要过程） 求的定义域 求函数的周期 写出在区间范围内的值域 写出图像的所有对称中心 【经典例题十二 求正切（型）函数的定义域】 【例12】（2024·上海徐汇·模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海崇明·三模）已知函数 的部分图像如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）用表示不超过实数的最大整数，譬如：，则方程的解为 ． 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4. (1)求的定义域（用区间表示）； (2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集. 【经典例题十三 求含tanx的函数的定义域】 【例13】（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数的定义域为 A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·期末）函数的定义域为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【经典例题十四 求正切（型）函数的值域及最值】 【例14】（2024·上海闵行·一模）已知角为锐角，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 3．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【经典例题十五 求含tanx的二次式的最值】 【例15】（2024·上海闵行·模拟预测）当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）对函数，、作的代换， 使得代换前后的值域总不改变的代换是(    A． B． C． D．， 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 3．（24-25高一下·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【经典例题十六 由正切（型）函数的值域（最值）求参数】 【例16】（2024·上海闵行·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海青浦·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数，若在区间上的最大值是，则 ；若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 【经典例题十七 正切函数图象的应用】 【例17】（24-25高一下·上海松江·阶段练习）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高一下·上海青浦·期中）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海金山·期末）已知直线（常数）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为，，，则点与点的距离 . 3．（23-24高一下·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题： (1)写出这两个函数图象的交点坐标； (2)写出使成立的x的取值范围； (3)写出使成立的x的取值范围； (4)写出使成立的x的取值范围； (5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间． 【经典例题十八 正切函数对称性的应用】 【例18】 （23-24高一下·上海宝山·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数的图像关于点成中心对称，且与直线相交两点的最短距离为，则方程，，所有实数根的和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知函数，且图象的相邻对称中心之间的距离为，，则 ；若在上有2个零点，则实数m的取值范围为 . 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 1．（24-25高一下·上海徐汇·期末）下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海金山·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 4．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）对于正数a，函数，．如图所示，直线与的图象交于O，A，B三点，过点A且与x轴平行的直线与图象交于另一点C．若 ABC为等边三角形，则ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）sin(-1)，cos(-1)，tan(-1)从小到大的顺序是 . 7．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）函数的对称中心为 ． 8．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 9．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，函数的部分图像与坐标轴分别交于点、、，则的面积为 . 10．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ；函数在不单调，则的取值范围为 ． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 12．（24-25高一下·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 13．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数满足． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 14．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“完美函数”. (1)判断函数是否是“完美函数”，并说明理由； (2)若是一个“完美函数”，求出所有满足条件的有序实数对； (3)若定义域为的函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域. 15．（2024高一下·上海青浦·专题练习）阅读与探究 人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修在第一章的小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质主要是对称性之间存在着非常紧密的联系例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想． 下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图，角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线，重足为M.根据三角函数定义.我们有： 如图.过点A(1，0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?)，设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT.我们有.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质. 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质．比如：由图可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是． (1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性； (2)根据阅读材料中图，若角为锐角，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 正切函数的图像与性质重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 正切函数的定义 题型二 求含tanx的函数的单调性 题型三 求正切型三角函数的单调性 题型四 利用正切函数的单调性求参数 题型五 比较正切值的大小 题型六 解正切不等式 题型七 求正切（型）函数的奇偶性 题型八 由正切（型）函数的奇偶性求参数 题型九 求正切（型）函数的周期 题型十 由正切函数的周期求值 题型十一 求正切（型）函数的对称中心 题型十二 求正切（型）函数的定义域 题型十三 求含tanx的函数的定义域 题型十四 求正切（型）函数的值域及最值 题型十五 求含tanx的二次式的最值 题型十六 由正切（型）函数的值域（最值）求参数 题型十七 正切函数图象的应用 题型十八 正切函数对称性的应用 知识点01 正切函数的性质 ①定义域：； ②值域：R； ③周期性：函数y＝tanx的周期都是kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为π； 函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； ④奇偶性：奇函数； ⑤单调性：在(k∈Z)上递增； ⑥零点：（观察正切曲线可以看出）正切函数的零点为 ⑦正切函数y＝sinx的图像特征 图像 对称性 对称中心 ，k∈Z 对称轴 无 二、定义 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【经典例题一 正切函数的定义】 【例1】（23-24高一下·上海金山·期末），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可. 【详解】. 故选：C 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记，设，由几何关系用逐个三角形推出，再由中，，最终求出结果. 【详解】记，根据对称性得到，， 设，， 在中，，， 在中，，， 在中，， ， 在中，， ，，得． 故选：C    2．（24-25高一下·全国·课堂例题）正切函数 对于任意一个角x，只要 ，，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为正切函数. 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数． (1)求f（x）的定义域； (2)化简并求f（x）最小正周期； (3)讨论f（x）在区间上的单调性． 【答案】(1) (2) (3)函数的减区间为，增区间为 【分析】（1）根据正切函数的性质，即可求出函数的定义域； （2）化简函数，根据正弦函数的性质，即可求出函数的周期； （3）根据正弦函数单调性，求出函数的单调区间，再根据，即可求出函数在区间上的单调性． 【详解】（1）解：∵， ∴，即函数的定义域为， （2）解： ，所以函数的周期； （3）解：由，，得， 即函数的增区间为， 当时，增区间为， ∵，∴此时； 由，得， 即函数的减区间为， 当时，减区间为， ∵， ∴此时， 综上，在区间上函数的减区间为，增区间为． 【经典例题二 求含tanx的函数的单调性】 【例2】（23-24高一下·上海闵行·期中）下列叙述中，错误的是（    ） A．命题“ ， ”的否定是“ ， B．命题“若 ， 则 ”的逆否命题是真命题 C．已知 ， 则“ ”是“ ”的必要不充分条件 D．函数 是增函数 【答案】D 【分析】根据存在命题的否定是全称命题可判断A；根据逆否命题与原命题是等价命题可判断B；利用充分条件、必要条件的定义判断即可判断C；根据正切函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，命题“ ， ”的否定是“ ，，故A正确； 对于B，命题“若，则”是真命题，则其逆否命题是真命题，故B正确； 对于C，当时，函数在上单调递增，若，则， 反之，若，当时，a，b可以都为负数，即不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， C正确； 对于D，函数的单调递增区间是，对于，函数在每一个区间内是单调递增函数，而在整个定义域不具备单调性，故D错误. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海静安·期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解. 【详解】解：对于选项A，指数函数是非奇非偶函数，故A错误； 对于选项B，函数是偶函数，故B错误； 对于选项C，幂函数既是奇函数，又是定义域上的增函数，故C正确； 对于选项D，正切函数在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【详解】因为函数的单调递增区间为，， 且函数在上为严格减函数， 所以，解得，即 . 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 【经典例题三 求正切型三角函数的单调性】 【例3】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的单调减区间，结合题意，得出不等式组求出的取值范围即可. 【详解】由 可知，解得 又，故的取值范围为 故选: 1．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）函数在一个周期内的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的周期及单调区间排除错误选项，即可得到正确结果. 【详解】函数的最小正周期， ∵选项D的最小正周期，D错误； 令，解得， 故的单调递增区间为， 取，则的单调递增区间为， 故A正确，B、C错误； 故选：A. 2．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图． (1)求，，的值； (2)求的单调增区间， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像上的特殊点求得，，的值. （2）利用整体代入法求得的递增区间. 【详解】（1）根据函数图像可知，， 所以， 过点和点， 所以， 由于，所以， 则，所以， 所以. （2）由， 解得， 所以的单调递增区间为. 【经典例题四 利用正切函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高一下·上海长宁·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数在内是减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知得为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】∵已知函数在内是减函数, ∴函数在内是单调增函数， ∴，解得，经检验，满足题意. ∴的取值范围是． 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 【经典例题五 比较正切值的大小】 【例5】（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递增，当时，单调递减， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， ，， 因（因为）， 故，故， 故选：B 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦、正切函数的单调性即可判断大小. 【详解】对于A选项，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，即，A项错误； 对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，B选项错误； 对于C选项，， 因为余弦函数在上为减函数，且， 所以，即，C选项正确； 对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，D选项错误． 故选：C 2．（2024·上海·一模）已知中，为其三个内角，且都是整数，则 ． 【答案】6 【分析】不妨令，利用正切函数的单调性，结合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得. 【详解】在中，不妨令，显然为锐角，而是整数， 若，又函数在上单调递增，则， 此时与矛盾，因此，， ，整理得， 又都是整数，且，因此， 所以. 故答案为：6 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 【答案】(1) (2) 【分析】利用正切函数的单调性，比较各组数的大小即可. 【详解】（1）由于，且函数在区间内单调递增， 因此． （2）由于，且函数在区间内单调递增， 因此． 【经典例题六 解正切不等式】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集. 【详解】设， 令，且，解得，， 令，则，则在上单调递增， ，则， 则当时，，，则满足，即， 当时，，且单调递减，，且单调递增， 则时，，即；时，，即； 综上所述：的解集为， 故选；C. 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据角的大小范围与角的正切值取值范围对应关系,结合正切函数图象即可求解. 【详解】因为角A是的一个内角， 所以，又， 所以由正切函数图象可得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·随堂练习）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，借助正切函数的图象性质解不等式得解. 【详解】（1）不等式，化为， 在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：    显然在上，满足， 由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是， 所以使不等式成立的x的集合为. （2）不等式，化为， 在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：    显然在上，满足， 由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是. 所以使不等式成立的x的集合为. 【经典例题七 求正切（型）函数的奇偶性】 【例7】（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）下列函数是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数定义域为，， 所以， 则，所以函数为奇函数； 对于B，函数定义域为，， 所以函数为偶函数； 对于C，正切函数为奇函数； 对于D，函数定义域为，， 所以不为偶函数. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．函数可以是某个圆的“太极函数” D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 【答案】D 【分析】利用给定定义结合三角函数和幂函数的奇偶性逐个分析求解即可. 【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确； 函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则是该圆的“太极函数”，故B，C正确； 函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”， 但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故D错误. 故选：D. 2．（2024高一下·上海宝山·模拟预测），且则 . 【答案】18 【分析】 构造函数，利用奇函数性质求值即可. 【详解】 令，则为奇函数， 又，故， 由，得， 故. 故答案为：18 3．（2024高一下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)既不是偶函数，也不是奇函数 (2)奇函数 【分析】(1)求函数的定义域，可得定义域不关于原点对称，由此判断函数既不是偶函数，也不是奇函数，(2)求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，再通过比较与的关系判断函数的奇偶性. 【详解】（1）由得的定义域为且， 由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数； （2）由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称， 又，所以函数是奇函数. 【经典例题八 由正切（型）函数的奇偶性求参数】 【例8】（2024高一下·全国·专题练习）把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据题意得，再得到，计算求解即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位后， 得 因为为奇函数，所以，； 因此，，结合，取得的最小值为2. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的最小正周期，可求得，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出，依据，即可求得答案. 【详解】由题意知，函数的最小正周期,则,得, 所以，将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 因为该图象关于原点对称，则 ，所以 当时，，，不合题意，当时，， 又，所以当时，取，当时，，不合题意， 故最大值为， 故选：C 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，向左平移个单位后， 得到， 所得函数为奇函数，所以， 故可取的一个值为. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知. （1）求的最小正周期； （2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案. （2）由题意得，根据其为奇函数，可得，即可求得的表达式，根据的范围，即可得答案. 【详解】（1）因为函数， 所以函数的最小正周期为； （2） 若是奇函数，则， 解得， 令，解得，且， 所以，0，1，2. 故. 【点睛】易错点为：为奇函数，不是，而是，也为奇函数. 【经典例题九 求正切（型）函数的周期】 【例9】（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由周期公式和正切函数的取值得到函数表达式，再利用换元法求出正切函数的对称中心； 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则， 又，则，故． 令，解得． 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心． 故选：B. 2．（24-25高一下·上海奉贤·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】/0.5 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正切函数的最小正周期公式计算即可; （2）由，可得，然后解正切函数方程即可. 【详解】（1）最小正周期． （2）由，， 由题意可得，，解得，， 故方程的解集为． 【经典例题十 由正切函数的周期求值】 【例10】（2024·上海青浦·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切型函数的对称性分析可得，进而可求得，再代入点，运算求解即可. 【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意可得：，解得， 故，可得， 即， 可知的图象过点，即， ∵，则， ∴，解得. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角； B．若是角终边上一点，则； C．若，则、的终边相同； D．的解集为． 【答案】D 【分析】取特例可判断AC，根据三角函数的定义判断B，利用周期解出三角方程的解集判断D. 【详解】因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故A错误； 因为是角终边上一点，所以， 所以，故B错误； 当时，满足，但、的终边不相同，故C错误； 当时，在一个周期上的解为，故在定义域上的解为，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）若函数的最小正周期为，则函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】先得到，然后根据二倍角公式以及辅助角公式得到的解析式，最后使用整体法计算函数值域. 【详解】由题可知：， 所以 由，所以 所以，所以 所以函数的值域为 故答案为： 3．（2024·上海松江·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求，即可得函数解析式； （2）根据三角函数图像变换可得，结合，分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）因为，且，解得， 又因为，则， 解得， 且，可得， 所以. （2）由题意可知：， 因为， 由，即， 可知，解得， 且，所以的最小值为． 【经典例题十一 求正切（型）函数的对称中心】 【例11】（2024·上海松江·模拟预测）已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由整体代入法求得的对称中心，即可判断； 【详解】解：， 令，即，， 即的对称中心，， ，”是“的图象关于点对称的”充分不必要条件， 故选：A 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切型函数的对称中心为 ，求解即可. 【详解】由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为图象的一个对称中心， 故选：D 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）有下列命题： ① 函数的对称中心是； ② 函数和在的图像的交点个数为3； ③ 若函数（，）对于任意都有成立，则； ④已知定义在上的函数，当且仅当时，成立； 则其中正确的命题有 .（填写正确的序号） 【答案】② 【分析】①由正切函数的性质分析即可；②令，解的个数即为图像交点个数；③利用对称性和正弦函数的图像分析即可；④画出分段函数的图像，利用图像判断即可. 【详解】的对称中心应为，①错误； 解方程，显然，所以解得或， 因为且，所以或，②正确； 由可得的对称轴为，正余弦函数在对称轴处取最值，所以，③错误； ，其图像如下， 由图像可知④错误； 故答案为：② 3．（23-24高一下·上海·课后作业）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论． 问题 结论（不需要过程） 求的定义域 求函数的周期 写出在区间范围内的值域 写出图像的所有对称中心 【答案】，， ， 【分析】由，则，然后利用复合函数的定义域，周期，单调性及值域的求解方法进行计算． 【详解】解： 问题 结论 求的定义域 求函数的周期 周期为 写出在区间范围内的值域 ，， 写出图象的所有对称中心 【经典例题十二 求正切（型）函数的定义域】 【例12】（2024·上海徐汇·模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，函数满足为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意； 对于C，函数为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意； 对于D，函数，定义域为，且满足为偶函数，符合题意. 故选：D. 1．（2024·上海崇明·三模）已知函数 的部分图像如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，且为奇函数， 对A项，由于定义域不是，则A错误； 对B项，当时， ， ；. 则函数在不是单调递增，则B错误； 对C项，，则函数在上单调递增， 又， 则函数为奇函数，则C正确； 对D项，， 则函数不是奇函数，则D错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题. 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）用表示不超过实数的最大整数，譬如：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】由范围，确定的取值，分别讨论分析即可得出方程的解. 【详解】，， ， 当时，，即，此时无意义； 当时，，可得； 当时，，此时，与假设矛盾， 则所求方程的解为，． 故答案为：， 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4. (1)求的定义域（用区间表示）； (2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件和图象首先求出，再根据正切函数的性质求解即可. （2）首先对不等式进行变形，分两个区间进行讨论，结合函数的单调性，范围和特殊值求解即可. 【详解】（1）根据题意可得，解得，则. 由， 得，即的定义域为. （2）由（1）得，其定义域为. 关于的不等式即，即. 当时，，则， 因为，所以成立. 当时，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以. 综上，关于的不等式的解集为. 【经典例题十三 求含tanx的函数的定义域】 【例13】（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围． 【详解】由题可知，， ，，   ， ． 【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题． 1．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，根据是锐角三角形求出角的取值范围，可求出的取值范围，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围. 【详解】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 所以，. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海杨浦·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】要使有意义，则有且，解三角不等式可得答案. 【详解】要使有意义，则有且 由得 由得 因为 所以原函数的定义域为 故答案为： 【点睛】本题考查求具体函数的定义域，考查解三角不等式，考查正弦函数和正切函数图像的性质，属于基础题. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 【经典例题十四 求正切（型）函数的值域及最值】 【例14】（2024·上海闵行·一模）已知角为锐角，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的平方关系弦化切结合导数求最值计算. 【详解】. 令，因为为锐角，所以. 令， 则，设， 所以，在时是单调递增函数. 又，所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以. 所以当时，的最小值为2. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用正弦定理及三角形面积公式求得，进而求得，再利用正弦定理及两角和正弦公式化简得，再利用正切函数性质结合锐角三角形的性质求解范围即可. 【详解】由正弦定理得，所以， 又三角形面积公式，可知，所以， 又，所以， 由正弦定理得， 锐角中，有，因为正切函数在上单调递增， 所以，从而. 故选：A 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 3．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 【经典例题十五 求含tanx的二次式的最值】 【例15】（2024·上海闵行·模拟预测）当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）对函数，、作的代换， 使得代换前后的值域总不改变的代换是(    A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】因为f（x）的定义域为R，要使代换前后f（x）的值域总不改变，必须x＝h（t）的值域为R．依次求函数的值域可得选项. 【详解】因为f（x）的定义域为R，要使代换前后f（x）的值域总不改变， 必须x＝h（t）的值域为R，由此排除A，B， D中函数的值域中没有0，值域也不是R，故排除D． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，属于基础题． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 【经典例题十六 由正切（型）函数的值域（最值）求参数】 【例16】（2024·上海闵行·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 1．（23-24高一下·上海青浦·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的性质，求得当时，集合，再结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由，解得， 当时，可得，此时集合， 又由，所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，以及正切函数的性质的应用，着重考查推理与运算能力. 2．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数，若在区间上的最大值是，则 ；若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解. 【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以． 因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=． 由，得． 令，得，即在区间上单调递增． 又因为在区间上单调递增，所以<，即． 所以的取值范围是． 故答案为：1， 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论． （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围． （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围． 【详解】解：（1）由于，，， 的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在，上严格递增，则，求得， 即的范围为． （3）方程在，上至少存在2021个根， 故当，时，至少有2021个根， 即，，至少有2021个根， 即当，时， 至少有2021个根． 且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021， 故至少包含2020个周期，即， 所以． 【经典例题十七 正切函数图象的应用】 【例17】（24-25高一下·上海松江·阶段练习）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海青浦·期中）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得在上的图象关于原点对称，从而可得选项A和C错误，再利用时，，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误， 又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海金山·期末）已知直线（常数）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为，，，则点与点的距离 . 【答案】 【分析】根据直线与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离. 【详解】解：根据直线与曲线的图象交点成周期性出现， 其中3个相邻的交点自左至右分别为，，， 则点与点的距离恰好是1个周期，且的最小正周期为， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题： (1)写出这两个函数图象的交点坐标； (2)写出使成立的x的取值范围； (3)写出使成立的x的取值范围； (4)写出使成立的x的取值范围； (5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)，. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）在同一坐标系内作出两个函数的图象，再依次求出对应问题即可. 【详解】（1）在同一坐标系内，作出函数和，的图象，如图，    由图象知，两个函数的交点坐标为. （2）由图象知，当或时，， 所以使成立的x的取值范围是. （3）由图象知，当或或时，， 所以使成立的x的取值范围是. （4）由图象知，当或时，， 所以使成立的x的取值范围是. （5）由图象知，当时，两个函数都为增函数，当时，两个函数都为增函数， 所以使这两个函数有相同的单调性的区间是，. 【经典例题十八 正切函数对称性的应用】 【例18】 （23-24高一下·上海宝山·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数的图像关于点成中心对称，且与直线相交两点的最短距离为，则方程，，所有实数根的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与直线相交两点的最短距离为，求出，由图像关于点成中心对称，求出，整体代换结合正切值，即可求解. 【详解】与直线相交两点的最短距离为， 周期为， 函数的图像关于点成中心对称， ， ， ， 或或， 方程，，所有实数根的和为. 故选:A. 【点睛】本题考查正切函数的性质、简单三角方程，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题. 2．（2024·上海·模拟预测）已知函数，且图象的相邻对称中心之间的距离为，，则 ；若在上有2个零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由图象的相邻对称中心之间的距离为，所以函数的最小正周期为3，可求出的值，再根据，，可求出的值，从而得到的解析式, 当时，作出的大致图象，结合函数在上的图象,可得出的图象与直线有两个交点时，实数m的取值范围，得到答案. 【详解】因为图象的相邻对称中心之间的距离为， 所以函数的最小正周期为3，即，解得，则. 又，，所以，所以. 当时，的大致图象如图. .在上有2个零点, 即的图象与直线有两个交点. 结合函数在上的图象知，当时满足条件. 则实数m的取值范围为. 故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质、函数的零点，考查数形结合思想及学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解. （2）由，得,解不等式组即可得解. 【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称， ， 即． ， 故． 令， 得， 即． 函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，． 由， 得， 即． 不等式的解集为. 1．（24-25高一下·上海徐汇·期末）下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，由诱导公式及三角函数单调性可比较大小；对于C，由同角三角函数关系可比较大小. 【详解】对于A，因，又在上递增， 则，可得A选项错误； 对于B，因，又在上递增，则， 可得B选项错误； 因.则，可得C选项正确； 因，又在上递减，则，可得D选项错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一下·上海金山·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象、性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期是，A错误； 对于B，由，得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误； 对于D，不等式，则， 解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知：（）， ∴，则， 显然当时， 是的一个最小正周期． 不存在，使得，或. 故选：B 5．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）对于正数a，函数，．如图所示，直线与的图象交于O，A，B三点，过点A且与x轴平行的直线与图象交于另一点C．若 ABC为等边三角形，则ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的周期，得到，由 ABC为等边三角形和对称性，得到，代入求解. 【详解】函数的周期是，故， ∵ ABC为等边三角形， ∴， 由函数图象的对称性可知， ∵OB与x轴的夹角为60°， ∴， 把B点坐标代入函数，得， 故， ∴． 故选：B 6．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）sin(-1)，cos(-1)，tan(-1)从小到大的顺序是 . 【答案】tan(-1) <sin(-1) <cos(-1)/tan(-1),sin(-1),cos(-1) 【分析】由于，可得范围，即可得出． 【详解】解：由题得， 由于，所以， 由于，所以， 所以tan(-1) <sin(-1) <cos(-1) 故答案为：tan(-1) <sin(-1) <cos(-1) 7．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）函数的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数的性质，令求，即可写出其对称中心． 【详解】由正切函数性质，令，可得． 函数的对称中心为． 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由对称中心求得，再通过正切函数的单调区间整体代换即可. 【详解】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 9．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，函数的部分图像与坐标轴分别交于点、、，则的面积为 . 【答案】 【分析】先根据函数解析式求出点,再根据周期求出,利用面积公式求出面积即可. 【详解】在中，令，得，故； 又函数的最小正周期为，所以． ∴ 故答案为: 10．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ；函数在不单调，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数周期可得，代入点可得；根据解析式，分和两种情况，去绝对值化简函数解析式，结合正切函数单调性分析求解即可. 【详解】由可知函数的最小正周期，解得， 又，故． 由图象得，且，则； 所以， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 要使其不单调，只需，解得， 的取值范围是． 故答案为：；． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【详解】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2）， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 12．（24-25高一下·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 13．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数满足． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）由，结合，求得解析式，然后利用周期公式求解； （2）根据平移变换得到，然后由得到求解. 【详解】（1）∵， ∴，而， ∴，即， ∴的最小正周期为：； （2）由题意，， ∵， ∴， ∴Z， ∴， ∴的最小值为． 14．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“完美函数”. (1)判断函数是否是“完美函数”，并说明理由； (2)若是一个“完美函数”，求出所有满足条件的有序实数对； (3)若定义域为的函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域. 【答案】(1)不是“完美函数”， 是“完美函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义计算，求出常数，即是“完美函数”，求不出，即不是“完美函数”； （2）根据新定义计算，结合诱导公式求出常数． （3）先利用求出时，的范围，然后再由求出时的范围，归纳出（）时，的范围．从而可得结论． 【详解】（1）若是“完美函数”，则存在实数对，使得， 即对恒成立，而关于的方程最多有两个解，不符合题意， 因此不是“完美函数”. 若是“完美函数”，则存在实数对，使得， 即存在常数对满足条件，因此是“完美函数”. （2）是一个“完美函数”， 存在有序实数对满足恒成立， 当时，，不是常数. 当时， 有恒成立， 即恒成立. 则 因此满足是一个“完美函数”时， 实数对. （3）函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和， ， 时，， 时，， . 时，时， 以此类推可知：时，， 当时，， 因此当时，； 当时，. 综上可知当时函数的值域为. 15．（2024高一下·上海青浦·专题练习）阅读与探究 人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修在第一章的小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质主要是对称性之间存在着非常紧密的联系例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想． 下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图，角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线，重足为M.根据三角函数定义.我们有： 如图.过点A(1，0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?)，设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT.我们有.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质. 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质．比如：由图可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是． (1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性； (2)根据阅读材料中图，若角为锐角，求证：． 【答案】(1)在区间上单调递增；奇函数 (2)证明见解析 【分析】（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增，且为奇函数； （2）当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，根据图形判断出，即可证明 【详解】（1）当时，增大时正切线的值越来越大； 当时，正切线与区间上的情况完全一样； 随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现， 故可得出正切函数在区间上单调递增； 由题意知正切函数的定义域关于原点对称， 在坐标系中画出角和，它们的终边关于轴对称， 在单位圆中作出它们的正切线， 可以发现它们的正切线长度相等，方向相反， 即，得出正切函数为奇函数． （2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线， 又因为，所以， 又，， ， 而， 故，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$