精品解析：天津市武清区城关中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第一次月考试卷 高二数学 一､单选题（每题4分，共9个小题） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案. 【详解】当时，；当时，. 所以函数在区间上的平均变化率为. 故选：C 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 3. 甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有种可能选法， 故共有种选法. 故选：B. 4. 若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 的解集为 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 是函数的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的单调性与导数图象之间关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的导函数图象， 可得在区间上单调递增，在单调递减，在上单调递增， 所以的解集为，所以A不正确； 对于B中，由的图象可得，当时，，当时，，所以在在上单调递减，在单调递增， 所以不是函数的极值点，所以B不正确； 对于C中，由的图象可得，当时，， 所以单调递减区间为，所以C不正确； 对于D中，由函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 5. 过点作函数的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切线方程. 【详解】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C 6. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意转化导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 7. 若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数的导数，由题意转化为导函数有两个不相等的正零点，即可求解. 【详解】因为既有极大值又有极小值， 且， 所以有两个不相等的正实数解，所以且，解得且. 故选：B 8. 已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的导函数,即， 令，可得x的值，讨论函数的极值及单调性，结合在区间上的最大值为28，即可求出k的取值范围. 【详解】因为，所以， 令，解得， 所以在和时，，在时，， 所以函数和上单调递增，函数在上单调递减， 则在内单调递增，所以在内，最大； 在时单调递减，所以在内，最大； 在时单调递增，所以在内，最大； 因为，且在区间上的最大值为28， 所以，即k的取值范围是， 故选：A. 9. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果. 【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减； 又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增； 又，则，画出的模拟草图如下所示： 当时，，则，数形结合可知，此时； 当，因为为上的奇函数，故，不满足题意； 当，，则，数形结合可知，此时； 综上所述：的解集为. 故选：A. 二､填空题（每题4分，共6个小题） 10. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求值. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 11. 若曲线在点处的切线方程是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为： 12. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】对已知式求导，然后令代入即得． 【详解】因为，则， 令，可得，解得 故答案为：1． 13. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，构建，若函数有三个不同的零点，即与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故答案为：. 14. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】（1）根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解. 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种. 故答案为：144种. 15. 已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】的导函数为，当时，， 由时，，时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为，最大值为， 所以对于任意的，． 因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在上的值域为， 又因为存在． 由题意，得， 可得，解得． 故答案为: ． 三､解答题（每题12分，共5个大题） 16. 解答下列问题，要求列式并计算结果： （1）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片､3部文艺片､2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有多少种； （2）用0~6这7个自然数，可以组成多少个没有重复数字的三位数； （3）有9本不同的语文书，7本不同的数学书，4本不同的英语书，从中选出不同学科的2本书，则不同的选法有多少种； （4）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盆子放球的数量不限，共多少种放法？ 【答案】（1）7种不同的选法 （2）180个没有重复数字的三位数 （3）127种不同的选法 （4）125种不同的放法 【解析】 【分析】（1）由分类计数原理可求解； （2）由分步计数原理可求解； （3）由分类计数原理可求解； （4）由分步计数原理可求解. 小问1详解】 小明从中任选1部电影观看，则小明可以选择科幻片､文艺片或喜剧片， 不同的选法种数有种； 【小问2详解】 百位数字有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，个位有5种不同的选法， 由分步计数原理可得共有种； 【小问3详解】 从语文和数学中选择有，从语文和英语中选择有，从数学和英语中选择有， 总共有种不同的选择； 【小问4详解】 每个球可以放入5个盒子中的任何一个盒子有5种放法， 故由分步计数原理可得共有种不同的放法. 17. 设函数. （1）求在处的切线方程； （2）求的极大值点与极小值点； 【答案】（1）； （2）极大值点为，极小值点为-1. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，结合直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求出函数的导数，分别求解不等式和即可求出函数的单调区间，结合极值点的定义即可得出结果. 【小问1详解】 由题意知， ，即切点为， 又，所以， 所以在处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 ， 令得；令得或， 故的增区间为，减区间为和， 当时，函数有极大值， 当时，函数有极小值， 故函数有极大值点为，极小值点为-1. 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由导数的几何意义得到方程即可求解； （2）对进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 当时，则，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即，令，解得或，令，解得； 故函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即，令在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即，令，解得或，令，解得； 故函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 19. 已知函数，且函数在和处都取得极值. （1）求实数与的值； （2）对任意，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据，即可求得参数，再检验即可； （2）根据（1）中所求，求得在区间的最大值，再解关于的一元二次不等式，则问题得解. 【详解】（1） 由题意可知解得： 故可得， 令，故可得或， 则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增. 故的两个极值点为和. 故当时，满足题意. （2）由（1）所以 又， 即在区间上， 所以，解得：或. 故实数的取值范围为：. 【点睛】本题考查利用导数由极值点求参数值，以及利用导数求函数最值，属综合基础题. 20. 已知函数． （1）若是极值点，求a的值； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果； （2）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图象交点问题，结合图象即可得到结果. 【小问1详解】 因为 则，即，所以， 此时，满足题意，故. 【小问2详解】 当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一次月考试卷 高二数学 一､单选题（每题4分，共9个小题） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A B. C. D. 3. 甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 4. 若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 的解集为 B. 是函数极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 是函数的极小值点 5. 过点作函数的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题4分，共6个小题） 10. 若，则_____. 11. 若曲线在点处的切线方程是，则__________． 12. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 13. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______. 14 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 15. 已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________． 三､解答题（每题12分，共5个大题） 16. 解答下列问题，要求列式并计算结果： （1）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片､3部文艺片､2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同选法种数有多少种； （2）用0~6这7个自然数，可以组成多少个没有重复数字的三位数； （3）有9本不同的语文书，7本不同的数学书，4本不同的英语书，从中选出不同学科的2本书，则不同的选法有多少种； （4）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盆子放球的数量不限，共多少种放法？ 17. 设函数. （1）求在处的切线方程； （2）求的极大值点与极小值点； 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）讨论函数的单调性. 19. 已知函数，且函数在和处都取得极值. （1）求实数与的值； （2）对任意，，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）若是的极值点，求a的值； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$