高考重难突破二 三角函数与解三角形讲义——2025届高三数学一轮复习

高考重难突破二 三角函数与解三角形 三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等. 类型一 三角函数与解三角形的结合 例1 [2024·安徽合肥质检]将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象. （1） 求函数的解析式，并写出的单调递增区间； （2） 的内角，，的对边分别为,,，若,,,求. 解题技法 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 （1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数的问题; （2）用定理、公式、性质:利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化; （3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等. 对点训练 [2024·四川成都模拟]已知向量，，若函数，且函数的最小正周期为 . （1） 求函数的解析式； （2） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，且，试判断的形状. 类型二 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 技法1 利用的性质 例2 已知函数.在中，,,分别是角,,的对边，若，,求周长的取值范围. 解题技法 与三角函数、解三角形有关的最值（范围）问题的解题思路，一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为问题的已知量，然后利用三角恒等变换，将所求的量化为或的形式，利用三角函数的单调性求出最终结果. 对点训练 在中，,,分别为角,,所对的边，,.求： （1） 角； （2） 的取值范围. 技法2 利用基本不等式 例3 [2024·辽宁沈阳模拟]在中，内角,,所对的边分别为,,,. （1） 求； （2） 若,求的中线的最小值. 解题技法 求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立,,之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解. 对点训练 在;这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题:在中，内角,,的对边分9别为,,,且   . （1） 求角; （2） 在中，,求周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 技法3 利用导数法 例4 [2022·全国乙卷]函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 解题技法 用导数法求解三角函数最值的两种方法 （1）单调性法：通过换元，借用导数，判断函数的单调性，得出函数的最值； （2）比较法：计算出函数在所求区间内所有使的点处的函数值和区间端点处的函数值，然后比较大小，即可得出三角函数的最值. 对点训练 函数的最大值为 （ ） A. B. C. D. 3 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 2. 设,,是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 记的内角,,所对的边分别为,,,若,,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. （多选）设的内角，，所对的边分别为,,，,且，若点是外一点，，,则下列结论一定正确的是（ ） A. 的内角 B. 的内角 C. 的面积为 D. 四边形面积的最大值为 6. 在平面直角坐标系中，，，在轴正半轴有点，则的最大值为  ,此时 7. 函数的最大值是 ，最小值是 8. [2024·陕西西安五校高三联考]已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为 . 9. 已知函数,且函数的最大值为3. （1） 求实数的值； （2） 已知的内角，，的对边分别是,,，若,,求面积的最大值. B 综合运用 10. 如图，已知圆心为坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处按逆时针方向以相同速率同时做圆周运动. （1） 当点运动的路程为时，求线段的长度； （2） 记,,求的最大值. 11. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为,,两点在半圆弧上，且，设 . （1） 当时，求四边形的面积. （2） 若要在景区内铺设一条由线段,,和组成的观光道路，则当 为何值时，观光道路的总长最长？并求出的最大值. C 素养提升 12. [2024·福建毕业班适应性练习]记的内角,,的对边分别为,,,且. （1） 求; （2） 若,为的外接圆上的点，,求四边形面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考重难突破二 三角函数与解三角形 三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等. 类型一 三角函数与解三角形的结合 例1 [2024·安徽合肥质检]将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象. （1） 求函数的解析式，并写出的单调递增区间； 【解】因为, 所以. 由， 得， 所以 的单调递增区间为. （2） 的内角，，的对边分别为,,，若,,,求. [答案] 由,得. 因为 ,所以 为锐角，所以. 由正弦定理,得, 从而. 易得, 结合余弦定理的推论，, 得,解得（负值已舍去）. 解题技法 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 （1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数的问题; （2）用定理、公式、性质:利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化; （3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等. 对点训练 [2024·四川成都模拟]已知向量，，若函数，且函数的最小正周期为 . （1） 求函数的解析式； 解：由题意得，, 因为, ,所以, 所以. （2） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，且，试判断的形状. [答案] 由题意及正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，即. 又因为，所以， 即，则， 则，即. 由,得, 因为，所以,所以， 解得，所以 是等边三角形. 类型二 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 技法1 利用的性质 例2 已知函数.在中，,,分别是角,,的对边，若，,求周长的取值范围. 【解】 由题意得,则 ,,可得 ,,又，所以，由正弦定理得, 则,, 则 的周长为,又,所以, 则, 故 周长的取值范围是. 解题技法 与三角函数、解三角形有关的最值（范围）问题的解题思路，一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为问题的已知量，然后利用三角恒等变换，将所求的量化为或的形式，利用三角函数的单调性求出最终结果. 对点训练 在中，,,分别为角,,所对的边，,.求： （1） 角； 解：由题意及正弦定理得， ， 整理得, 又,所以, 因为,所以. （2） 的取值范围. [答案] 在 中，由（1）及,结合正弦定理得,故,, 则 , 因为,所以, 所以, 所以. 所以 的取值范围是. 技法2 利用基本不等式 例3 [2024·辽宁沈阳模拟]在中，内角,,所对的边分别为,,,. （1） 求； 【解】由题意得，， 由正弦定理可得,所以, 因为,所以. （2） 若,求的中线的最小值. [答案] 由题意知，,则 ,当且仅当 时，等号成立， 则，即 的中线 的最小值为. 解题技法 求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立,,之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解. 对点训练 在;这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题:在中，内角,,的对边分9别为,,,且   . （1） 求角; 解：选择条件①:由题意得，, 由正弦定理可得, 在 中，因为,， 所以,, 所以,且,即,所以. 选择条件②:由题意得，, 即, 在 中，因为, 所以,则, 所以，所以. （2） 在中，,求周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 由（1）及题意知，,,由余弦定理知,所以，得, 所以,当且仅当 时,等号成立, 所以 周长的最大值为. 技法3 利用导数法 例4 [2022·全国乙卷]函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， [解析],,则.令,解得（舍去），或.因为,,又,,所以,.故选. 解题技法 用导数法求解三角函数最值的两种方法 （1）单调性法：通过换元，借用导数，判断函数的单调性，得出函数的最值； （2）比较法：计算出函数在所求区间内所有使的点处的函数值和区间端点处的函数值，然后比较大小，即可得出三角函数的最值. 对点训练 函数的最大值为 （ ） A. B. C. D. 3 [解析]选.,设,, 所以, 因为 恒成立, 所以令,解得,,此时函数 单调递增，令，解得,此时函数 单调递减，所以当 时，取得最大值，所以,即 的最大值为.故选. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 [解析]选.由题意知,,解得,又,所以令,即得. 2. 设,,是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,,是钝角三角形的三边长，所以,且,所以.设最长边所对的角为,由题意知，,即,所以，即,解得,所以. 3. 记的内角,,所对的边分别为,,,若,,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,,所以 解得,所以，由正弦定理得，得,所以,所以.故选. 4. 已知函数的定义域为，值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由已知，得，令，则，函数 可转换为,因为,所以根据二次函数的图象与性质可得,所以,又,所以根据三角函数的图象与性质可得，所以实数 的最大值为 .故选. 5. （多选）设的内角，，所对的边分别为,,，,且，若点是外一点，，,则下列结论一定正确的是（ ） A. 的内角 B. 的内角 C. 的面积为 D. 四边形面积的最大值为 [解析]选.由题意及正弦定理得,即,又,,所以， 所以,所以，故 正确; 又因为,所以,故 正确; 由于，由于角 无法确定，故 不一定正确; 在等边三角形 中，设，, 在 中，由余弦定理可得, 由于,,代入上式可得, 所以四边形 的面积. 所以当 时，四边形 的面积取最大值，最大值为,故 正确. 6. 在平面直角坐标系中，，，在轴正半轴有点，则的最大值为  ,此时 [解析]设坐标原点为，因为，，，且，所以,当且仅当,即 时取等号. 7. 函数的最大值是 ，最小值是 [解析]方法一：原函数可化为,而,所以,解得,因此原函数的最大值是6,最小值是. 方法二:.当 时，;当 时，，因此原函数的最大值是6,最小值是. 8. [2024·陕西西安五校高三联考]已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为 . [解析]在平面四边形 中，因为，所以，，，四点共圆，如图所示，连接， 在 中，有，即，① 在 中，有，即.② 因为 ，所以, ，③ 由①②③得，，所以.四边形 的面积. 9. 已知函数,且函数的最大值为3. （1） 求实数的值； 解：因为， 所以，解得. （2） 已知的内角，，的对边分别是,,，若,,求面积的最大值. [答案] 由（1）知， 因为, 可得, 因为 ,则, 所以，解得， 由余弦定理可得,即， 当且仅当 时，等号成立， 因此, 即 面积的最大值为. B 综合运用 10. 如图，已知圆心为坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处按逆时针方向以相同速率同时做圆周运动. （1） 当点运动的路程为时，求线段的长度； 解：设两个同心圆的半径分别为 和,因为点 运动的路程为,,,所以,,则.在 中，由余弦定理,得, 所以. （2） 记,,求的最大值. [答案] 设 ,则 , 所以,, 则,所以当 时，取得最大值，最大值为. 11. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为,,两点在半圆弧上，且，设 . （1） 当时，求四边形的面积. 解：连接,因为,所以,. 所以四边形 的面积. （2） 若要在景区内铺设一条由线段,,和组成的观光道路，则当 为何值时，观光道路的总长最长？并求出的最大值. [答案] 由题意,在 中,, 由正弦定理得, 所以. 同理在 中, , ,由正弦定理得, 所以 . 所以，其中.令,则. 所以,所以当,即 时，取得最大值，最大值为5. C 素养提升 12. [2024·福建毕业班适应性练习]记的内角,,的对边分别为,,,且. （1） 求; 解：在 中，由题意及正弦定理得，, 又, 所以, 展开得, 即,又， ,所以,即. 又,所以. （2） 若,为的外接圆上的点，,求四边形面积的最大值. [答案] 如图,设 的外接圆的圆心为，半径为. 因为,所以,即，所以, 故 是 的直径，所以. 在 中，,，所以. 在 中,. 设四边形 的面积为,,,则, , 当且仅当 时，等号成立. 所以四边形 面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$