第7讲 第2课时 正弦、余弦定理的综合应用讲义——2025届高三数学一轮复习

第7讲 第2课时 正弦、余弦定理的综合应用（二） 核心考点⇄师生共研 考点一 与解三角形有关的证明问题 例1 [2022·全国乙卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知 （1） 证明：; （2） 若,,求的周长. 解题技法 证明与三角形有关等（或不等）式的一般思路 （1）利用正、余弦定理完成边角转化.把已知条件或待证等（或不等）式转化为以角为研究对象的三角等（或不等）式或以边为研究对象的代数等（或不等）式. （2）充分利用三角形中的隐含条件： ；;以及三角函数的性质、三角恒等变换等公式来推导证明. 对点训练 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 求； （2） 若，证明：是直角三角形. 考点二 三角形的中线与角平分线问题 例2 [2024·四川南充模拟]已知在中，角，，的对边分别为，，， . （1） 若，求的值； （2） 若的平分线交于点，且，，求的面积. 解题技法 三角形中的中线、角平分线问题的求解策略 对点训练 在中，点在边上，，. （1） 若是的平分线，求； （2） （一题多解）若是边上的中线，且，求的长. 思路一：利用补角的余弦值之和为0，列方程求解. 思路二：利用平面向量数量积结合余弦定理求解. 考点三 三角形中的存在性问题 例3 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1） 若，求的面积； （2） 是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解题技法 （1）先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么. （2）将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质. （3）观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件. 对点训练 [2024·辽宁沈阳模拟]在中，内角，，的对边分别为，，，且 （1） 若，则此时是否存在？若存在，求的面积；若不存在，请说明理由； （2） 若的外接圆半径为4，且，求的面积. 课后达标⇄分级演练 1. （人教A版必修第二册P54T22改编）记的内角，，的对边分别为，，，，且. （1） 求证：； （2） 若的面积为，求. 2. 已知的内角，，的对边分别为,,,且满足;;. （1） 从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； （2） 若为线段上一点，且，，求的面积. 注:如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 3. 在中，内角，，所对的边分别为,,,. （1） 求角的大小； （2） 设是的角平分线，求证：. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，现有三个条件： ，，为连续自然数；；. （1） 从上述三个条件中选出两个，使得不存在，并说明理由； （2） 从上述三个条件中选出两个，使得存在，并求的面积.（写出一组作答即可） 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1） 求角的大小； （2） 若边上的中线，且，求的周长； （3） 若角的平分线，且，求的周长. 6. [2024·江苏南通质量监测]在中，内角，，的对边分别为，，. （1） 若，，，求； （2） 若，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 第2课时 正弦、余弦定理的综合应用（二） 核心考点⇄师生共研 考点一 与解三角形有关的证明问题 例1 [2022·全国乙卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知 （1） 证明：; 【解】证明：因为, 所以, 即, 整理得.由正弦定理得, 又由余弦定理的推论知， 所以,故. （2） 若,,求的周长. [答案] 由（1）知,因为,,所以. 又, 所以,, 故 的周长为14. 解题技法 证明与三角形有关等（或不等）式的一般思路 （1）利用正、余弦定理完成边角转化.把已知条件或待证等（或不等）式转化为以角为研究对象的三角等（或不等）式或以边为研究对象的代数等（或不等）式. （2）充分利用三角形中的隐含条件： ；;以及三角函数的性质、三角恒等变换等公式来推导证明. 对点训练 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 求； 解：由题意可得， 即，解得， 又 ，所以. （2） 若，证明：是直角三角形. 证明：由正弦定理及题意可得， . 由（1）知， 所以， 即， 即. 由于，所以， 所以,故.从而 是直角三角形. 考点二 三角形的中线与角平分线问题 例2 [2024·四川南充模拟]已知在中，角，，的对边分别为，，， . （1） 若，求的值； 【解】由 以及正弦定理得， 所以，. （2） 若的平分线交于点，且，，求的面积. [答案] 依题意， ， 由正弦定理得 ， ， 由于， 所以，， 所以，， 由， 得 ，即，， 由余弦定理得， 即， 即，， 因为,所以， 则由 得，，， 所以. 解题技法 三角形中的中线、角平分线问题的求解策略 对点训练 在中，点在边上，，. （1） 若是的平分线，求； 解：在 和 中，由题意及正弦定理，得 ，. 因为 是 的平分线， 所以， ， 所以. （2） （一题多解）若是边上的中线，且，求的长. [答案] 方法一：因为 是边 上的中线， 所以设，， 因为， ， ， 所以， 化简可得， 解得 或（舍去）, 所以. 方法二：由题意知，,两边平方得,即, 即. 在 中,. 所以. 思路一：利用补角的余弦值之和为0，列方程求解. 思路二：利用平面向量数量积结合余弦定理求解. 考点三 三角形中的存在性问题 例3 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1） 若，求的面积； 【解】由 及正弦定理，得， 又，所以，，所以， 由余弦定理的推论得 ， 又，所以. 所以. （2） 是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. [答案] 由题意知，则. 要使 为钝角三角形，需 ， 解得， 由三角形的三边关系可得， 可得，故， 因为 为正整数，所以，所以存在正整数，使得 为钝角三角形. 解题技法 （1）先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么. （2）将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质. （3）观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件. 对点训练 [2024·辽宁沈阳模拟]在中，内角，，的对边分别为，，，且 （1） 若，则此时是否存在？若存在，求的面积；若不存在，请说明理由； 解：不存在.理由如下： 由题意得， 在 中，由正弦定理得，又，则，即， 因为 ，则 ，则，解得，若，则，必有 ，所以 不存在. （2） 若的外接圆半径为4，且，求的面积. [答案] 由（1）得.因为 的外接圆半径，由正弦定理得，则， 由余弦定理得，，即，解得， 因此 的面积. 课后达标⇄分级演练 1. （人教A版必修第二册P54T22改编）记的内角，，的对边分别为，，，，且. （1） 求证：； 解：证明：依题意得，，又，所以，由正弦定理得.由余弦定理的推论，得，将 代入，得，整理得. （2） 若的面积为，求. [答案]由（1）知，所以，整理得，解得 或（舍去），所以. 2. 已知的内角，，的对边分别为,,,且满足;;. （1） 从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； 解：. 由③及余弦定理的推论， 得, 因为，所以. 所以由，可得，所以，则有, 所以,故②成立. . 由②及正弦定理，得, 所以, 因为，，所以，即. 所以由 及 ，得，. 由余弦定理，得,即,故③成立. . 由③及余弦定理的推论， 得, 因为，所以. 由②及正弦定理，得 ， 所以, 又，，所以，即， 所以，故①成立. （2） 若为线段上一点，且，，求的面积. 注:如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. [答案] 由（1）可知，，所以，则. 所以. 3. 在中，内角，，所对的边分别为,,,. （1） 求角的大小； 解：由题意及正弦定理得 因为, 所以, 所以. 因为,所以,所以. 又,所以. （2） 设是的角平分线，求证：. 证明：因为 是 的角平分线，且， 所以. 在 中，， 则由面积公式得 ， 即， 两边同时除以,得. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，现有三个条件： ，，为连续自然数；；. （1） 从上述三个条件中选出两个，使得不存在，并说明理由； 解：选②③时 不存在，理由如下： 由，得，在 中，结合正弦定理，得， 又，所以，而，此时 不存在，所以 不存在. （2） 从上述三个条件中选出两个，使得存在，并求的面积.（写出一组作答即可） 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. [答案] 选①②时 存在.因为，，为连续自然数， ，所以，，又， 所以，得，，， 在 中，由余弦定理的推论得 ， 所以， 则. 选①③时 存在.因为，，为连续自然数，，所以，， 在 中，由余弦定理的推论得， 由 得，， 所以由正弦定理得， 则，得，，， 所以， 故，则. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1） 求角的大小； 解：由已知及正弦定理，得， 所以. 因为，所以. （2） 若边上的中线，且，求的周长； [答案] 由，得.① 由（1）知，即.② 在 中，由余弦定理的推论，得,在 中，由余弦定理的推论，得， 因为，所以.③ 由①②③，得，，， 所以， 故 的周长为. （3） 若角的平分线，且，求的周长. [答案] 由，得. 因为角 的平分线，所以，因此，解得. 又由余弦定理得， 所以，故 的周长为. 6. [2024·江苏南通质量监测]在中，内角，，的对边分别为，，. （1） 若，，，求； 解：因为，所以，所以 ， 由正弦定理得， 整理得， 解得， 则， 由余弦定理得， 解得（负值已舍去）. （2） 若，求证：. 证明：因为， 所以，， 由余弦定理的推论， 得，① ，② 由，得， 所以， 两边同除以，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$