第7讲 第1课时 正弦、余弦定理的综合应用讲义——2025届高三数学一轮复习

第7讲 第1课时 正弦、余弦定理的综合应用 课标要求； 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 考情分析 正弦定理、余弦定理的实际应用是高考的一个考点，预测2025年高考以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，可能与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题或填空题，中档难度. 理一理 测量中的有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西） （1）北偏东 （2）南偏西 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即 第1课时 正弦、余弦定理的综合应用（一） 核心考点⇄师生共研 考点一 解三角形的实际应用 角度1 距离问题 例1 如图，某直径为 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛与小岛相距5海里，，则小岛与小岛之间的距离为  海里；小岛，，所形成的三角形海域的面积为 平方海里. [解析]由圆的内接四边形的对角互补，得 ，,所以.在 中，由正弦定理得（为圆形海域的半径），得（海里），所以小岛 与小岛 之间的距离为 海里. 在 中，由余弦定理得，整理得，解得（负值已舍去）.所以（平方海里）,即小岛，，所形成的三角形海域的面积为15平方海里. 解题技法 解决距离问题的两个注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解；若有未知量,则把未知量放在另一个确定的三角形中求解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可以用,就选便于计算的定理,选定合适的三角形. 角度2 高度问题 例2 在杭州亚运会上，五星红旗冉冉升起，在坡角为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ B ） A. B. C. D. [解析]依题意可知 ， ， 所以 ，在 中，由正弦定理可知， 所以， 所以在 中，.故选. 解题技法 解决高度问题的关注点 （1）在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的角）是关键. （2）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 角度3 角度问题 例3 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东 方向上,距离为 海里,灯塔在的北偏西 方向上,距离为 海里,该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东 方向上,则此时灯塔位于游轮的 （ C ） A. 正西方向上 B. 南偏西 方向上 C. 南偏西 方向上 D. 南偏西 方向上 [解析]如图,在 中, ,由正弦定理得,则 海里.在 中,由余弦定理得 ,解得（负值已舍去）,由正弦定理得,则,故 或 . 因为,故 为锐角,所以 ，即此时灯塔 位于游轮的南偏西 方向上. 解题技法 解决角度问题的三个注意事项 （1）测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. （2）求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. （3）在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦、余弦定理综合使用的优点. 对点训练 1. 某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度.如图，在过点的水平面上确定两个观测点，，在处测得的仰角为 ，在的北偏东 方向上，在的正东方向处，在处测得在北偏西 方向上，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由已知得， ， ，，在 中， ，由正弦定理可得，解得 ，在 中，.故选. 2. 一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东 ；在处观察灯塔，其方向是北偏东 ，则，两点间的距离是   海里. [解析]如图，由已知可得， ， ，海里，则 .在 中，由正弦定理可得，得（海里）. 考点二 平面图形中的计算问题 例4 [2024·重庆调研]如图，在平面四边形中，，于点，，且. （1） 求的值； 【解】因为，，又因为， 所以. 所以. （2） 当时，求线段的长. [答案] 由题可得. 在 中，由正弦定理可得， 所以. 又，所以，所以. 在 中，由余弦定理可得 . 当 时，， 解得（负值已舍去）； 当 时，，解得（负值已舍去）.又，即. 综上，或. 解题技法 平面几何中解三角形问题的求解思路 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. （2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. ［注意］ 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 对点训练 如图，在平面四边形中，，，. （1） 若 ， ，求； 解：在 中，由余弦定理的推论得 ，所以，解得（负值已舍去）， 在 中，由正弦定理得， 所以. （2） 若 ，，求. [答案] 在 中，由余弦定理的推论得 ， 在 中，由余弦定理的推论得， 因为 ， 所以， 即， ， 所以，可得， 则（负值已舍去）. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 两灯塔，与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东 ，在南偏东 ，则，之间的距离为（ ） A. B. C. D. [解析]选.根据简图可知 ，在 中，，根据余弦定理得，所以（负值已舍去），即，之间的距离为. 2. 如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距的，两个观测点，并在，两点处测得建筑物顶部的仰角分别为 和 ，且 ，则此建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设，则，， 在 中，由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得 或（舍去）.故选. 3. 如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为的监测塔， ，若某科研小组在坝底点测得 ，坝底到塔顶距离，则大坝的坡角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.在 中，由正弦定理可得，即，解得，由，得，所以大坝的坡角 的余弦值为. 4. 我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域.如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面，两受灾点的视角为，且.已知地面上三处受灾点，，共线，且 ，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离的长度是（ ） A. B. C. D. [解析]选.方法一：由题意得 平面，所以.设，记 ， ，所以，，所以， 解得 或， 又在 中有，所以. 方法二：由题意，设，，，则，. 由，可得， 在 中，由余弦定理得 ，解得 或（舍去），所以. 5. （多选）如图，的三个内角，，对应的三条边分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 [解析]选.由，得，又 为钝角，解得，在 中，由余弦定理得，解得（负值已舍去），可知 为等腰三角形，即 且，为锐角，所以，解得，故 正确；可得，在 中，，得，可得，故 错误；，可得，可得，故正确；因为,所以，故错误. 6. 甲船在处观察到乙船在它北偏东 的方向，两船相距海里，乙船正在向正北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东 方向前进，才能尽快追上乙船，此时 [解析]如图所示， ， ，设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为，则，.在 中，根据正弦定理，即，得 ，又 为锐角，所以 ，得 . 7. 如图，在中，已知点在边上，，，，，则  . [解析]因为，且， 所以， 所以，在 中，由余弦定理，得 ,解得（负值已舍去）. 8. [2024·山东济南模拟]山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点与其附近一建筑物楼顶之间的距离，无人机在点测得点和点的俯角分别为 ， ，随后无人机沿水平方向飞行到点，此时测得点和点的俯角分别为 和（，，，在同一铅垂平面内），则，两点之间的距离为  . [解析]由题意， ， ， 所以 ， 所以在 中，， ， 又 ， ， 所以 ， 在 中，由正弦定理得，， 所以， 在 中， ， 由余弦定理得， ， 所以. 9. [2024·云南昆明“三诊一模”]“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具. 有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，如图所示.将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点，，都在圆周上，角，，的对边分别为，，,且满足. （1） 求； 解：由题意知，圆形木板的直径. 由于 为该圆的内接三角形，所以由正弦定理得. （2） 若的面积为，且，求的周长. [答案] 由于，所以. 又，所以，则，所以. 由余弦定理得， 所以， 则，故.所以 的周长为. B 综合运用 10. 如图，圭表是我国古代通过测量正午日影长度来确定节令的仪器，也是指导劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成的角分别为 ， ，测得表影长之差为，那么表高为（ C ） A. B. C. D. [解析]选.根据题意作出示意图，如图， ， ， ，， 方法一： ，在 中，由正弦定理，得.在 中，.故选. 方法二：在 中，，则.在 中，，则.因为，所以，解得.故选. 11. 故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为 ，冬至前后正午太阳高度角约为 .图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度约为（ ） A. B. C. D. [解析]选.如图，根据题意得 ， ， ，，所以 ，所以在 中，由正弦定理得，即，解得， 在 中，， 即，解得. 12. （多选）某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东 ，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西 ，距离为.货轮由向正北航行到时，再看灯塔在南偏东 ，则下列说法中正确的是（ ） A. 与之间的距离是 B. 灯塔与之间的距离是 C. 灯塔在的南偏西 D. 在灯塔的北偏西 [解析]选.在 中， ， 由正弦定理得 ， 所以 与 之间的距离为，故 正确； 在 中，由余弦定理得， ， 又，解得（负值已舍去）. 所以灯塔 与 之间的距离为，故 正确； 因为， 所以 ， 所以灯塔 在 的南偏西 ，故 正确； 因为灯塔 在 的南偏东 ， 所以 在灯塔 的北偏西 ，故 错误. 13. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达处，测得山顶位于北偏东 方向上，此时测得山顶的仰角为 ，若山高为. （1） 求船的航行速度； 解：由题意知, ,,在 中，，所以. 因为 , ,所以在 中， ， 由正弦定理，得，即， 解得，又由 到 行驶时间为20分钟，即行驶速度为，即船的航行速度为. （2） 若该船继续航行10分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？ [答案] 在 中，易求得， 又， ，由余弦定理，得，解得（负值已舍去）， 在 中，由正弦定理， 得， 可得， 又 ，所以 ， 所以山顶位于 处南偏东 方向上. C 素养提升 14. （人教A版必修第二册P53 T12改编）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足 （1） 求； 解：由题意及正弦定理得 ， 化简得. 又， 所以， 得， 又 为 的内角，，所以，. （2） 如图，已知，，点为的中点，点在线段上，且，点为与的交点，求的余弦值. [答案] 因为点 为 的中点，所以， 因为，，所以，所以. 因为，所以，因为，所以. 所以，，即的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 第1课时 正弦、余弦定理的综合应用 课标要求； 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 考情分析 正弦定理、余弦定理的实际应用是高考的一个考点，预测2025年高考以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，可能与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题或填空题，中档难度. 理一理 测量中的有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西） （1）北偏东 （2）南偏西 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即 第1课时 正弦、余弦定理的综合应用（一） 核心考点⇄师生共研 考点一 解三角形的实际应用 角度1 距离问题 例1 如图，某直径为 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛与小岛相距5海里，，则小岛与小岛之间的距离为  海里；小岛，，所形成的三角形海域的面积为 平方海里. 解题技法 解决距离问题的两个注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解；若有未知量,则把未知量放在另一个确定的三角形中求解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可以用,就选便于计算的定理,选定合适的三角形. 角度2 高度问题 例2 在杭州亚运会上，五星红旗冉冉升起，在坡角为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ B ） A. B. C. D. 解题技法 解决高度问题的关注点 （1）在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的角）是关键. （2）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 角度3 角度问题 例3 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东 方向上,距离为 海里,灯塔在的北偏西 方向上,距离为 海里,该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东 方向上,则此时灯塔位于游轮的 （ C ） A. 正西方向上 B. 南偏西 方向上 C. 南偏西 方向上 D. 南偏西 方向上 解题技法 解决角度问题的三个注意事项 （1）测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. （2）求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. （3）在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦、余弦定理综合使用的优点. 对点训练 1. 某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度.如图，在过点的水平面上确定两个观测点，，在处测得的仰角为 ，在的北偏东 方向上，在的正东方向处，在处测得在北偏西 方向上，则（ ） A. B. C. D. 2. 一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东 ；在处观察灯塔，其方向是北偏东 ，则，两点间的距离是   海里. 考点二 平面图形中的计算问题 例4 [2024·重庆调研]如图，在平面四边形中，，于点，，且. （1） 求的值； （2） 当时，求线段的长. 解题技法 平面几何中解三角形问题的求解思路 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. （2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. ［注意］ 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 对点训练 如图，在平面四边形中，，，. （1） 若 ， ，求； （2） 若 ，，求. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 两灯塔，与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东 ，在南偏东 ，则，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距的，两个观测点，并在，两点处测得建筑物顶部的仰角分别为 和 ，且 ，则此建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为的监测塔， ，若某科研小组在坝底点测得 ，坝底到塔顶距离，则大坝的坡角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域.如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面，两受灾点的视角为，且.已知地面上三处受灾点，，共线，且 ，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离的长度是（ ） A. B. C. D. 5. （多选）如图，的三个内角，，对应的三条边分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 6. 甲船在处观察到乙船在它北偏东 的方向，两船相距海里，乙船正在向正北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东 方向前进，才能尽快追上乙船，此时 7. 如图，在中，已知点在边上，，，，，则  . 8. [2024·山东济南模拟]山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点与其附近一建筑物楼顶之间的距离，无人机在点测得点和点的俯角分别为 ， ，随后无人机沿水平方向飞行到点，此时测得点和点的俯角分别为 和（，，，在同一铅垂平面内），则，两点之间的距离为  . 9. [2024·云南昆明“三诊一模”]“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具. 有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，如图所示.将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点，，都在圆周上，角，，的对边分别为，，,且满足. （1） 求； （2） 若的面积为，且，求的周长. . B 综合运用 10. 如图，圭表是我国古代通过测量正午日影长度来确定节令的仪器，也是指导劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成的角分别为 ， ，测得表影长之差为，那么表高为（ C ） A. B. C. D. 11. 故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为 ，冬至前后正午太阳高度角约为 .图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度约为（ ） A. B. C. D. 12. （多选）某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东 ，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西 ，距离为.货轮由向正北航行到时，再看灯塔在南偏东 ，则下列说法中正确的是（ ） A. 与之间的距离是 B. 灯塔与之间的距离是 C. 灯塔在的南偏西 D. 在灯塔的北偏西 13. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达处，测得山顶位于北偏东 方向上，此时测得山顶的仰角为 ，若山高为. （1） 求船的航行速度； （2） 若该船继续航行10分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？ C 素养提升 14. （人教A版必修第二册P53 T12改编）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足 （1） 求； （2） 如图，已知，，点为的中点，点在线段上，且，点为与的交点，求的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$