培优8 射影定理的应用讲义——2025届高三数学一轮复习

培优8 射影定理的应用 三角形中的定理与性质多而重要，其中，解三角形常用的是正弦定理：（是三角形外接圆的半径）；余弦定理:,,与面积公式. 由正弦定理或余弦定理推证出射影定理：,,. 利用射影定理解题的关键在于观察问题的结构是否满足射影定理的整体形式，恰当使用射影定理，可达到事半功倍的效果. 应用一 直接求角 典例1 已知的内角,,的对边分别为,,,若,则  . 应用二 转化求角 典例2 已知的内角，，的对边分别为,,.若. （1） 求； （2） 若的面积为，求的最小值. 应用三 求三角函数值 典例3 在中，角，，的对边分别为,,,若,则2. 应用四 证明恒等式问题 典例4 已知的内角，，的对边分别为,,，若，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优8 射影定理的应用 三角形中的定理与性质多而重要，其中，解三角形常用的是正弦定理：（是三角形外接圆的半径）；余弦定理:,,与面积公式. 由正弦定理或余弦定理推证出射影定理：,,. 利用射影定理解题的关键在于观察问题的结构是否满足射影定理的整体形式，恰当使用射影定理，可达到事半功倍的效果. 应用一 直接求角 典例1 已知的内角,,的对边分别为,,,若,则  . [解析]方法一：依题意及余弦定理的推论得,即,所以,,又 ,所以. 方法二：由射影定理得, 又, 则, 即,又,故. 应用二 转化求角 典例2 已知的内角，，的对边分别为,,.若. （1） 求； 【解】由正弦定理与射影定理得， , 所以，即. 又,所以, 所以,故. （2） 若的面积为，求的最小值. [答案] 由题得，, 所以. 由余弦定理得， ， 当且仅当 时，等号成立，所以. 故 的最小值为4. 应用三 求三角函数值 典例3 在中，角，，的对边分别为,,,若,则2. [解析]由题意得，所以由射影定理得，所以. 应用四 证明恒等式问题 典例4 已知的内角，，的对边分别为,,，若，则（ ） A. B. C. D. [解析]由题意得，,即. 由正弦定理得，. 因为,所以， 所以.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $$