第6讲 正弦定理和余弦定理讲义——2025届高三数学一轮复习

第6讲 正弦定理和余弦定理 课标要求； 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形的度量问题. 考情分析； 利用正、余弦定理解三角形是近两年高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形边的长度、角的大小等，预测2025年高考仍会以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，试题多为中低档题. 理一理 1. 正弦定理、余弦定理（注:为外接圆的半径） 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ①   ②   ③  ； ④  ; ⑤   变形 （1）, ⑥  , ⑦  ; （2）⑧  ; （3）, ⑨  , ⑩  ; （4） ⑪  ;⑫  ;⑬   2. 三角形常用面积公式 （1）（表示边上的高）. （2）⑭  ⑮  . （3）（为三角形内切圆的半径）. 记一记 1.三角形中的边角关系 在中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，. 2.三角形中的三角函数关系 （1）. （2）. （3）. （4）. 3.三角形中的射影定理 在中，; ;. 用一用 1. 已知锐角三角形的三个内角分别为,,,则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.在锐角三角形 中，,而正切函数 在 上单调递增，所以.故选. 2. [2024·福建泉州模拟]设的内角，，所对的边分别为，，，已知，则  . [解析]由题意得，又,所以. 核心考点⇄师生共研 考点一 利用正、余弦定理解三角形 例1 [2023·天津卷节选]在中，角,,所对的边分别是,,.已知,, . （1） 求的值； 【解】在 中，由正弦定理得,则. （2） 求的值. [答案] 方法一：在 中，由余弦定理得,即 ,解得（舍去）或.故. 方法二:由（1）知.因为 为钝角，所以 为锐角，所以,所以.在 中，由正弦定理得,所以. 解题技法 应用正弦、余弦定理的解题技巧 （1）求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理等求解. （2）求角：利用正弦定理变形公式等或余弦定理的推论等求解. 对点训练 1. 已知在中，角,,的对边分别为,,，,, ，则此三角形的解的情况是（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的个数不确定 [解析]选.由正弦定理得,所以，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在. 2. 在中，角，，的对边分别为,,，且,,，则2. [解析]由正弦定理及题得， 又，, 所以， 因为 ,所以. 由余弦定理，得, 化简得，解得 或（舍去），故. 考点二 判断三角形的形状 例2 已知在中，内角,,的对边分别为,,,且还满足;中的一个条件，试判断的形状，并写出推理过程. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】 由题及正弦定理得,即,所以,所以,所以,即 为等腰三角形. 若选①,则 为等边三角形.由①及正弦定理，得,即,所以,又，所以,所以 为等边三角形. 若选②,则 为等腰直角三角形.由②及余弦定理的推论得，,又,所以,又，所以，所以 为等腰直角三角形. 解题技法 判断三角形形状的两种常用途径 ［注意］ “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. 对点训练 在中,角,,的对边分别为,,,若,则的形状为 [解析]由正弦定理， 得, 所以,故, 所以 或,即 或, 故 为直角三角形或等腰三角形. 考点三 与三角形面积有关的问题（链接高考） 例3 [2023·全国乙卷]在中，已知 ，，. （1） 求； 【解】由题意及余弦定理得, ，解得（负值已舍去）. 方法一：由正弦定理，得,即. 方法二：由余弦定理的推论，得，又, 所以. （2） 若为上一点，且 ，求的面积. [答案] 方法一： 由，得, 又，所以， 故 的面积为. 方法二：由题可得， ， 故. ［分析及溯源］ 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，及三角形的面积公式的应用，考题源于人教A版必修第二册. 解题技法 三角形面积问题的常见类型 （1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积； （2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边之间的关系; （3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 【考题变式】 在中，内角,,的对边分别为,,,,,点是线段上一点. （1） 求; 解：由题得,所以,化简得,因为,所以，所以,因为,所以. （2） 若,且,求的面积. [答案]因为,所以,所以,所以，即,又,所以,，所以. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第二册P48T1（2）改编）在中，内角，，的对边分别为，,,,,,则（ ） A. B. C. D. 或 [解析]选.在 中，，所以，又,，所以由正弦定理可得，又，所以 为锐角，所以.故选. 2. 在中， ，,,则（ ） A. B. C. 6 D. 5 [解析]选.由题及正弦定理得, 又，所以,，所以由余弦定理,得， 解得（负值已舍去）. 3. 在中，内角，，的对边分别为,,.已知下列条件：,, ；,, ；,, ;,, .其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ） A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ [解析]选.对于①，因为,且，所以三角形有两解； 对于②,因为,且，所以三角形有唯一解； 对于③，，即 ,所以三角形有唯一解； 对于④，,, ，则 ，则 ,所以三角形无解. 所以满足上述条件的三角形有唯一解的是②③. 4. [2023·全国乙卷]记的内角,,的对边分别是,,，若，且，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题及正弦定理得,则.在 中，，则，即.所以.故选. 5. （多选）在中，下列说法中正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 若,则是等腰三角形 C. 若 ,,则是等边三角形 D. 若,则 [解析]选.对于,由 可知,由正弦定理可得,反之也成立，故 正确；对于,由 可得,则,由于,,故,则 是等腰三角形，故 正确；对于，因为 ,,则,即,所以,得,则 是等边三角形，故 正确；对于,,则,故,因为,,所以,所以,所以 ,故 错误.故选. 6. 已知在中，，则 [解析]设内角，，的对边分别为,,,因为，所以，设,,,,则. 7. 已知在中，角,,所对的边分别为,,，,则的形状为 [解析]由题及余弦定理的推论得,整理得,即,所以 或,所以 为等腰三角形或直角三角形. 8. 在锐角三角形中，若,,,则的周长为 [解析]由,得,由三角形面积公式可得，则,① 由,可得,则,② 联立①②解得,所以 的周长为. 9. [2023· 新课标Ⅰ卷]已知在中，，. （1） 求; 解：方法一：在 中，, 因为，所以，所以. 因为， 所以， 展开并整理得 ， 得， 又，且， 所以. 方法二：在 中，， 因为，所以，所以. 因为， 所以， 所以, 所以， 易得，所以，又，所以. （2） 设，求边上的高. [答案] 方法一：由正弦定理，得，即， 由余弦定理,得，即， 整理得，解得 或， 由（1）得，，所以， 又，所以， 即，所以，所以， 设 边上的高为，则，即， 解得，所以 边上的高为6. 方法二：由（1）知,，所以 为锐角，所以， 所以 , 由正弦定理，得， 即， 故 边上的高为. B 综合运用 10. 在中，角,,所对的边分别为,,，已知,,则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 [解析]选.由题及正弦定理得，,所以,即,因为,所以,所以,所以.因为,所以,所以,因为,所以 或,又,所以,所以,则,所以 为等边三角形. 11. 赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，，则 [解析]由题意得 为等边三角形，则，所以，又，所以.在 中，，，所以，解得（负值已舍去）. 12. 已知的三个内角，，的对边分别为,,,从下列四个条件；；；中选出三个条件，使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是 （填序号），所选三个条件下的（或②③④）. [解析]若选①②④，由 及正弦定理，得,所以 或，不满足题意；若选①②③，由上述分析知 或,又,所以,所以,，但,,的长度均不确定，故满足条件的 不唯一，不满足题意；若选①③④，由余弦定理的推论得,解得（负值已舍去）,此时 存在且唯一，满足题意；若选②③④，由，，得此时 存在且唯一，,由正弦定理,得,即，满足题意. 13. [2024·湖北武汉质检]已知,,分别为的内角,,的对边，且. （1） 求; 解：由题意及正弦定理，得,故,由,得,代入上式，化简得,由，得,所以,于是,即,故 ,或 ,,结合，得. （2） 若,的面积为，求,. [答案] 由题得, 则,① 由余弦定理, 得,② 由①②解得. C 素养提升 14. [2024·湖北调研]在中,为边上一点, ,,. （1） 求; 解：设 ,所以 , ,在 中,由正弦定理可得,即,在 中, ,又,所以,所以 ,所以 ,所以,即. （2） 若,求内切圆的半径. [答案]因为,所以,又易知 为锐角,所以,所以,所以,,因为,所以,.，.在 中,由余弦定理可得,所以.设 的内切圆半径为,由,得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 正弦定理和余弦定理 课标要求； 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形的度量问题. 考情分析； 利用正、余弦定理解三角形是近两年高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形边的长度、角的大小等，预测2025年高考仍会以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，试题多为中低档题. 理一理 1. 正弦定理、余弦定理（注:为外接圆的半径） 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ①   ②   ③  ； ④  ; ⑤   变形 （1）, ⑥  , ⑦  ; （2）⑧  ; （3）, ⑨  , ⑩  ; （4） ⑪  ;⑫  ;⑬   2. 三角形常用面积公式 （1）（表示边上的高）. （2）⑭  ⑮  . （3）（为三角形内切圆的半径）. 记一记 1.三角形中的边角关系 在中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，. 2.三角形中的三角函数关系 （1）. （2）. （3）. （4）. 3.三角形中的射影定理 在中，; ;. 用一用 1. 已知锐角三角形的三个内角分别为,,,则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. [2024·福建泉州模拟]设的内角，，所对的边分别为，，，已知，则  . 核心考点⇄师生共研 考点一 利用正、余弦定理解三角形 例1 [2023·天津卷节选]在中，角,,所对的边分别是,,.已知,, . （1） 求的值； （2） 求的值. 解题技法 应用正弦、余弦定理的解题技巧 （1）求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理等求解. （2）求角：利用正弦定理变形公式等或余弦定理的推论等求解. 对点训练 1. 已知在中，角,,的对边分别为,,，,, ，则此三角形的解的情况是（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的个数不确定 2. 在中，角，，的对边分别为,,，且,,，则2. 考点二 判断三角形的形状 例2 已知在中，内角,,的对边分别为,,,且还满足;中的一个条件，试判断的形状，并写出推理过程. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解题技法 判断三角形形状的两种常用途径 ［注意］ “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. 对点训练 在中,角,,的对边分别为,,,若,则的形状为 考点三 与三角形面积有关的问题（链接高考） 例3 [2023·全国乙卷]在中，已知 ，，. （1） 求； （2） 若为上一点，且 ，求的面积. 解题技法 三角形面积问题的常见类型 （1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积； （2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边之间的关系; （3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 【考题变式】 在中，内角,,的对边分别为,,,,,点是线段上一点. （1） 求; （2） 若,且,求的面积. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第二册P48T1（2）改编）在中，内角，，的对边分别为，,,,,,则（ ） A. B. C. D. 或 2. 在中， ，,,则（ ） A. B. C. 6 D. 5 3. 在中，内角，，的对边分别为,,.已知下列条件：,, ；,, ；,, ;,, .其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ） A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 4. [2023·全国乙卷]记的内角,,的对边分别是,,，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. （多选）在中，下列说法中正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 若,则是等腰三角形 C. 若 ,,则是等边三角形 D. 若,则 6. 已知在中，，则 7. 已知在中，角,,所对的边分别为,,，,则的形状为 8. 在锐角三角形中，若,,,则的周长为 9. [2023· 新课标Ⅰ卷]已知在中，，. （1） 求; （2） 设，求边上的高. B 综合运用 10. 在中，角,,所对的边分别为,,，已知,,则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 11. 赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，，则 12. 已知的三个内角，，的对边分别为,,,从下列四个条件；；；中选出三个条件，使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是 （填序号），所选三个条件下的（或②③④）. 13. [2024·湖北武汉质检]已知,,分别为的内角,,的对边，且. （1） 求; （2） 若,的面积为，求,. C 素养提升 14. [2024·湖北调研]在中,为边上一点, ,,. （1） 求; （2） 若,求内切圆的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$