培优7 三角函数解析式中讲义——2025届高三数学一轮复习

培优7 三角函数解析式中“ ω”的求解 在三角函数的图象与性质中，求 的值或取值范围是高考命题中的一个热点，与其有关的问题灵活多样，涉及的知识点多，是历来学习的难点，以下举例说明在不同条件下 的求法. 类型一 根据三角函数的周期性求 的最小正周期为，解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期与所给区间的关系，从而建立不等关系. 典例1 为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. [解析]因为至少出现50次最大值，即至少需要 个周期，所以,所以. 类型二 根据三角函数的单调性求 函数的单调性一方面与 的正负、 的值有关，另一方面，单调区间的长度也与周期有关，而周期的大小由 决定，因此函数的单调性、单调区间与 的值密切相关，根据函数在相应区间上的单调性可以确定 的值或取值范围. 典例2 已知函数在区间上单调递增，则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. [解析]方法一：由题意得 .解得 . 又，所以. 所以,则.故选. 方法二：取,则,令 ,,得 ,, 当 时，函数 在区间 上单调递减，与函数 在区间 上单调递增矛盾，故，结合四个选项可知选. 类型三 根据三角函数的对称性求 利用图象的对称中心为,令,利用图象的对称轴方程为，令,结合已知的对称轴或对称中心，可求解 . 典例3 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间,上单调，则 的值是（ ） A. B. C. D. 2 [解析]因为函数 为奇函数，所以，， 又函数 的图象关于直线 对称，所以 ，， 所以，， 又函数 为奇函数且在区间,上单调， 所以函数 在区间，上单调，所以函数 的周期，即,所以，又，所以.故选. 类型四 根据三角函数的最值（极值）求 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 典例4 已知函数在区间上的最小值为，则实数 的取值范围是 [解析]显然，若,当 时，,因为函数 在区间 上的最小值为，所以 或，解得. 若，当 时，,因为函数 在区间 上的最小值为，所以 或，解得. 综上所述，符合条件的实数 的取值范围是. 类型五 根据三角函数的零点求 研究函数的零点个数等问题时，往往都是采取整体换元的思想，即通过 的取值情况确定函数零点的情况，因此可根据函数零点情况来确定 的值或取值范围. 典例5 （多选）已知函数，若函数在区间内没有零点，则 的取值可以是（ ） A. B. C. D. [解析]，当时，，因为函数在区间内没有零点，所以,因此.由得,由,知,所以,而,所以或.当时,,当时,,对照各选项,,,满足题意.故选. 【跟踪训练】 1. 函数在区间上是单调的,若的最大值为 ,则 的值为（ ） A. B. 1 C. D. [解析]选.,，由于函数 在区间 上是单调的，且 的最大值为 ，所以最小正周期 ，因此 ，即.故选. 2. 函数在区间内单调递减，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 [解析]选.因为，则， 因为函数 在区间 内单调递减，则， 所以，解得, 由，可得， 因为 且，所以，则，故 的最大值为. 3. 设函数，函数图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.，令，解得,由于函数 图象的一条对称轴在区间 内,因此，使得 成立,即,由 的最小正周期大于 ,得 且,解得.综上可得.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优7 三角函数解析式中“ ω”的求解 在三角函数的图象与性质中，求 的值或取值范围是高考命题中的一个热点，与其有关的问题灵活多样，涉及的知识点多，是历来学习的难点，以下举例说明在不同条件下 的求法. 类型一 根据三角函数的周期性求 的最小正周期为，解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期与所给区间的关系，从而建立不等关系. 典例1 为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 类型二 根据三角函数的单调性求 函数的单调性一方面与 的正负、 的值有关，另一方面，单调区间的长度也与周期有关，而周期的大小由 决定，因此函数的单调性、单调区间与 的值密切相关，根据函数在相应区间上的单调性可以确定 的值或取值范围. 典例2 已知函数在区间上单调递增，则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 类型三 根据三角函数的对称性求 利用图象的对称中心为,令,利用图象的对称轴方程为，令,结合已知的对称轴或对称中心，可求解 . 典例3 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间,上单调，则 的值是（ ） A. B. C. D. 2 类型四 根据三角函数的最值（极值）求 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 典例4 已知函数在区间上的最小值为，则实数 的取值范围是 类型五 根据三角函数的零点求 研究函数的零点个数等问题时，往往都是采取整体换元的思想，即通过 的取值情况确定函数零点的情况，因此可根据函数零点情况来确定 的值或取值范围. 典例5 （多选）已知函数，若函数在区间内没有零点，则 的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【跟踪训练】 1. 函数在区间上是单调的,若的最大值为 ,则 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 函数在区间内单调递减，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 3. 设函数，函数图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$